山西省阳泉市2020届高三上学期期末考试数学（文）试题

山西省阳泉市2020届高三上学期期末考试数学（文）试题

山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试试题 高三文科数学 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ‎ ‎1.已知集合则等于 A. B. C. D. ‎ ‎2.复数的虚部为 A. B. C. D. ‎ ‎3.若满足，则的最大值为 A. B. C. D.‎ ‎4.已知向量，则向量与的夹角是 A. B.C. D.‎ ‎5.已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.程大位是明代著名的数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．‎ 卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个，问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．‎ 执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为 A．120 B．‎84 C．56 D．28‎ ‎7.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为 A．B． C． D．‎ ‎8.函数的大致图像为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A. B.‎ C． D.‎ ‎　‎ ‎10.设的内角所对的边分别为，且，已知的面积等于，，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎11.关于函数，有下列命题：‎ ‎①对任意x1，x2∈R，当x1－x2＝π时，f(x1)＝f(x2)成立；②f(x)在区间上单调递增；‎ ‎③函数f(x)的图象关于点对称；④将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后所得到的图象与函数y＝2sin 2x的图象重合．其中正确的命题是 A. ①②③B. ②④ C.①③ D. ①②④‎ ‎12.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 A．B．C．D．‎ 第II卷（非选择题共90分）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上.‎ ‎13.天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数。依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组。得到的10组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353。则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率的近似值是 ；‎ 三天中有两天下雨的概率的近似值为 . （第一问2分，第二问3分）‎ ‎14.已知函数若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .‎ ‎15.已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆 心为半径的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是 .‎ ‎16.已知四面体内接于球O，且，若四面体的体积为，球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分12分）数列中，，，数列满足．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，为正三角形，为棱的中点，，，‎ 平面平面．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥体积．‎ ‎19．（本小题满分12分）近年来，新高考改革打破文理分科的“”模式，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目。选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分，假定省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体、、、分别赋分分、分、分、分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，省某高中高一（）班（共人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单科全班排名），已知这次摸底考试中的物理成绩（满分分）频率分布直方图，化学成绩（满分分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中物理分，化学多分．‎ ‎ ‎ ‎（1）采用赋分制后，求小明物理成绩的最后得分；‎ ‎（2）若小明的化学成绩最后得分为分，求小明的原始成绩的可能值；‎ ‎（3）若小明必选物理，其他两科从化学、生物、历史、地理、政治五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率．‎ ‎20.（本小题满分12分）已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，‎ 当时，有.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设过椭圆右焦点的动直线与椭圆交于两点，试问在铀上是否存在与不重合的定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数 (，是自然对数的底数).‎ ‎ （1）设 (其中是的导数)，求的极小值；‎ ‎ （2）若对，都有成立，求实数的取值范围．‎ 选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分．‎ ‎22.（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，，均异于原点，且，求的值.‎ ‎23.（本小题满分10分）已知的最小值为t.‎ ‎（1）求t的值；（2）若实数a，b满足，求的最小值.‎ 山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试 高三文科数学参考答案与评分标准 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分。 ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C B C A D B A B D C A 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，‎ ‎13.,（第一问2分，第二问3分） 14.‎ ‎15..16.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．‎ ‎17.（1）由，即．‎ 而，∴，即．‎ 又，∴数列是首项和公差均为1的等差数列.‎ 于是，∴.……………..6分 ‎（2）∵，∴.‎ ‎∴‎ ‎……………..12分 ‎18.（1）为等边三角形，且为的中点，.‎ 平面平面，平面平面，平面，‎ 平面，平面，.‎ 又，，、平面，平面；…………….6分 ‎（2），且，，.‎ 又是边长为的等边三角形，且为的中点，则，‎ 且，的面积为.‎ 因此，三棱锥的体积为.……………..12分 ‎19．（1）∵，，‎ ‎∴此次考试物理成绩落在，内的频率依次为，，频率之和为，且小明的物理成绩为分，大于分，处于前 ‎，∴小明物理成绩的最后得分为分.……………..4分 ‎（2）因为名学生中，赋分分的有人，这六人成绩分别为，，，，，；赋分分的有人，其中包含多分的共人，多分的有人，分数分别为，，，；因为小明的化学成绩最后得分为分，且小明化学多分，‎ 所以小明的原始成绩的可能值为，，，.……………..8分 ‎（3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为，，，，，，小明的所有可能选法有，，，，， ，，，，共10种，‎ 其中包括化学的有，，，共4种，‎ ‎∵若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率为：‎ ‎.……………..12分 ‎20．（1）由题知，椭圆的半焦距为c=2，又由椭圆的定义可知，即，∴，∴‎ ‎∴椭圆的方程为1. ……………..5分 ‎（2）假设存在符合条件的点T满足，则x轴为的角平分线，即直线AT与BT的斜率之和为0，设T（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为y＝k（x﹣2），‎ 由，可得（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣8＝0，‎ ‎∴，，…………….8分 由，得0，‎ ‎∴0，∴，‎ 解得t＝4，即T（4， 0），‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，‎ 与椭圆的交点坐标分别为（2，），（2，），显然满足kAT+kBT＝0，‎ ‎∴存在点T（4，0），满足题意.……………..12分 ‎21.(Ⅰ)，.‎ 令，∴，‎ ‎∴在上为增函数，.‎ ‎∵当时，；当时，，‎ ‎∴的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为，‎ ‎∴..……………..6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上单调递增，在(0，1)上单调递减，‎ ‎∴.‎ 当时，，在上单调递增，，满足条件；‎ 当时，.‎ 又∵，∴，使得，‎ 此时，，；，，‎ ‎∴在上单调递减，，都有，不符合题意.‎ 综上所述，实数的取值范围为..……………..12分 选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分．‎ ‎22.（1）由消去参数，得的普通方程为.‎ 由，得，又，，‎ 所以的直角坐标方程为..……………..5分 ‎（2）由（1）知曲线的普通方程为，所以其极坐标方程为.‎ 设点，的极坐标分别为，，则，，‎ 所以，‎ 所以，即，解得，‎ 又，所以..……………..10分 ‎23.（1），‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f（x）min＝f（﹣1）＝2，∴t＝2；.……………..5分 ‎（2）由（1）可知‎2a2+2b2＝2，则a2+b2＝1，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即，时取等号，‎ 故的最小值为9．.……………..10分