数学卷·2017届重庆市云阳县江口中学高三下学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2017届重庆市云阳县江口中学高三下学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年重庆市云阳县江口中学高三（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则|z|为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎2．已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|1﹣x2＞0}，则A∩（∁RB）=（　　）‎ A．{x|0≤x≤1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|﹣1＜x≤0} D．{x|0≤x＜1}‎ ‎3．执行如图的程序框图，如果输入的x的值为1，则输出的x的值为（　　）‎ A．4 B．13 C．40 D．121‎ ‎4．数列{an}中，a2=2，a6=0且数列{}是等差数列，则a4=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知直线m、l与平面α、β、γ满足β∩γ=l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则下列命题一定正确的是（　　）‎ A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ ‎6．已知a＞0，b＞0，则的最小值是（　　）‎ A．2 B． C．4 D．5‎ ‎7．如图，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是半径为的半圆和相同的正三角形，其中三角形的上顶点是半圆的中点，底边在直径上，则它的表面积是（　　）‎ A．6π B．8π C．10π D．11π ‎8．函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则φ的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知O为原点，点A、B的坐标分别为（a，0），（0，a）其中常数a＞0，点P在线段AB上，且=t（0≤t≤1），则•的最大值为（　　）‎ A．a B．2a C．3a D．a2‎ ‎10．若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且|PF2|=|1FF2|，F2到直线PF1‎ 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数f（x）满足下列条件：①定义域为[1，+∞）；②当1＜x≤2时f（x）=4sin（x）；③f（x）=2f（2x）．若关于x的方程f（x）﹣kx+k=0恰有3个实数解，则实数k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（ax+）3的展开式中x3项的系数为20，则实数a=　　．‎ ‎14．已知变量x，y满足，则的取值范围是　　．‎ ‎15．从圆x2+y2=4内任取一点p，则p到直线x+y=1的距离小于的概率　　．‎ ‎16．空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是　　．‎ ‎　‎ 三.解答题（共8题，共70分）‎ ‎17．设数列{an}满足a1=2，a2+a5=14，且对任意n∈N*，函数f（x）=an+1x2﹣（an+2+an）x满足f′（1）=0．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，记数列{bn}的前n项和为Sn，求证Sn＜．‎ ‎18．由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如图：‎ ‎（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；‎ ‎（Ⅱ）若视力测试结果不低丁5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；‎ ‎（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎19．如图，如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面梯形ABCD中，BC∥AD，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等边三角形，已知．‎ ‎（I）求证：平面SAB⊥平面SAC；‎ ‎（II）求二面角B﹣SC﹣A的余弦值．‎ ‎20．已知椭圆C：的离心率为e=，过点（，）‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）过A（﹣a，0）且互相垂直的两条直线l1、l2与椭圆C的另一个交点分别为P、Q．问：直线PQ是否经过定点？若是，求出该定点；否则，说明理由．‎ ‎21．已知a∈R，函数f（x）=ln（x+a）﹣x，曲线y=f（x）与x轴相切．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数m使得恒成立？若存在，求实数m的值；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ 四、解答题（共1小题，满分10分）‎ ‎22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．‎ ‎　‎ 五、解答题（共1小题，满分0分）‎ ‎23．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2‎ ‎（Ⅰ）解不等式f（x）≥0‎ ‎（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年重庆市云阳县江口中学高三（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则|z|为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1+i）z=（1﹣i）2，∴（1﹣i）（1+i）z=﹣2i（1﹣i），2z=﹣2﹣2i，即z=1﹣i．‎ 则|z|==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|1﹣x2＞0}，则A∩（∁RB）=（　　）‎ A．{x|0≤x≤1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|﹣1＜x≤0} D．{x|0≤x＜1}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】先分别求出集合A，B，从而得到CRB，由此能求出A∩（∁RB）．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|0＜x＜2}，‎ B={x|1﹣x2＞0}={x|﹣1＜x＜1}，‎ ‎∴CRB={x|x≤﹣1或x≥1}，‎ ‎∴A∩（∁RB）={x|1≤x＜2}．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．执行如图的程序框图，如果输入的x的值为1，则输出的x的值为（　　）‎ A．4 B．13 C．40 D．121‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出得到的x，n的值，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 x=4，n=2‎ 满足条件n≤3，x=13，n=3，‎ 满足条件n≤3，x=40，n=4，‎ 不满足条件n≤3，‎ 输出x的值为40．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．数列{an}中，a2=2，a6=0且数列{}是等差数列，则a4=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】先求出数列{}的公差，进而可得的值，进而求出a4的值．‎ ‎【解答】解：设数列{}的公差为d，‎ 由4d=﹣得d=，‎ ‎∴=+2×，解得a4=．‎ 故选A ‎　‎ ‎5．已知直线m、l与平面α、β、γ满足β∩γ=l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则下列命题一定正确的是（　　）‎ A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】利用线面平行和线面垂直的判定定理和性质定理判断即可．‎ ‎【解答】解：设底面ABCD为平面γ，平面CDEF为平面α，平面ABFE为平面β，‎ ‎∵m⊥γ，m⊂α，‎ ‎∴α⊥γ．（面面垂直的判定定理）‎ 设α∩γ=b，‎ ‎∵l∥α，l⊂β，α∩γ=b，‎ ‎∴l∥b，（线面平行的性质定理）‎ 又∵m⊥γ，b⊂γ，‎ ‎∴m⊥b，（线面垂直的性质）‎ 又∵l∥b，‎ ‎∴l⊥m．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．已知a＞0，b＞0，则的最小值是（　　）‎ A．2 B． C．4 D．5‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】a＞0，b＞0，即，给出了基本不等式使用的第一个条件，而使用后得到的式子恰好可以再次使用基本不等式．‎ ‎【解答】解：因为 当且仅当，且，即a=b时，取“=”号．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．如图，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是半径为的半圆和相同的正三角形，其中三角形的上顶点是半圆的中点，底边在直径上，则它的表面积是（　　）‎ A．6π B．8π C．10π D．11π ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球挖去一个圆锥所得的组合体，进而可得几何体的表面积．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球挖去一个圆锥所得的组合体，‎ 由正视图和侧视图都是半径为的半圆和相同的正三角形，‎ 故半球的半径为，‎ 圆锥的底面半径为1，母线长为2，‎ 故组合体的表面积S=+（﹣π•12）+π•1•2=10π，‎ 故选：C ‎　‎ ‎8．函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则φ的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．‎ ‎【分析】利用诱导公式将y=f（x）=cos（2x+φ）转化为f（x）=sin[+（2x+φ）]，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得φ的值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=cos（2x+φ）=sin[+（2x+φ）]=sin（2x++φ），‎ ‎∴f（x﹣）=sin[2（x﹣）++φ）]=sin（2x﹣+φ），‎ 又f（x﹣）=sin（2x+），‎ ‎∴sin（2x﹣+φ）=sin（2x+），‎ ‎∴φ﹣=2kπ+，‎ ‎∴φ=2kπ+，又﹣π≤φ＜π，‎ ‎∴φ=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．已知O为原点，点A、B的坐标分别为（a，0），（0，a）其中常数a＞0，点P在线段AB上，且=t（0≤t≤1），则•的最大值为（　　）‎ A．a B．2a C．3a D．a2‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】首先分析题目已知A、B的坐标，点P在线段AB上，且=t（0≤t≤1），求•的最大值．故可考虑根据向量的坐标及加减运算表示出与．然后根据平面向量的数量乘积运算求出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为点A、B的坐标分别为（a，0），（0，a）‎ 所以， =（a，0）‎ 又由点P在线段AB上，且=t=（﹣at，at）‎ 所以=+=（a，0）+（﹣at，at）=（﹣at+a，at）‎ 则•=（a，0）•（﹣at+a，at）=﹣a2t+a2，‎ 当t=0时候取最大为a2．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】对数函数的图象与性质．‎ ‎【分析】由条件可得 y=，显然定义域为R，且过点（0，1），当x＞0时，y=，是减函数，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则得 y=，显然定义域为R，且过点（0，1），故排除C、D．‎ 再由当x＞0时，y=，是减函数，故排除A，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且|PF2|=|1FF2|，F2到直线PF1‎ 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知：‎ 可知|PF1|=2=4b；‎ 根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=．‎ ‎∴该双曲线的离心率e====．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）满足下列条件：①定义域为[1，+∞）；②当1＜x≤2时f（x）=4sin（x）；③f（x）=2f（2x）．若关于x的方程f（x）﹣kx+k=0恰有3个实数解，则实数k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】直线y=k（x﹣1）过定点M（1，0），画出y=f（x）在（1，+∞）上的函数图象，再结合函数的图象根据题意求出参数k的范围即可．‎ ‎【解答】解：画出y=f（x）在（1，+∞）上的部分图象如图，‎ ‎∵关于x的方程f（x）﹣kx+k=0恰有3个实数解，‎ ‎∴y=f（x）与直线y=kx﹣k有3个交点，‎ 当y=kx﹣k经过点（8，）时，两图象恰有3个交点，此时k=，‎ 当直线经过点（4，1）时，两图象恰有2个交点，此时k=．‎ ‎∴k的范围是[，）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（ax+）3的展开式中x3项的系数为20，则实数a=　　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】二项式展开式的通项公式求出展开式中x3‎ 项的系数，列出方程求出a的值．‎ ‎【解答】解：（ax+）3的展开式的通项公式为：‎ Tr+1=•（a）3﹣r•，‎ 令3﹣r=3，‎ 解得r=0；‎ 所以展开式中x3项的系数为：‎ ‎•a3=a3=20，‎ 解得a=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知变量x，y满足，则的取值范围是　[，]　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出可行域，变形目标函数可得=1+表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，数形结合可得．‎ ‎【解答】解：作出所对应的区域（如图阴影），‎ 变形目标函数可得==1+，‎ 表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，‎ 由图象可知当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最小值1+=；‎ 当直线经过点C（0，2）时，目标函数取最大值1+=；‎ 故答案为：[，]‎ ‎　‎ ‎15．从圆x2+y2=4内任取一点p，则p到直线x+y=1的距离小于的概率　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】利用点到直线的距离公式求出满足条件的点的弧长、几何概型的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由点到直线的距离公式得点O到直线x+y=1的距离为=，‎ 故到直线x+y=1距离为的点在直线x+y=0和x+y+2=0上，‎ 满足P到直线x+y=1的距离小于的点位于两直线之间的弧上，且两段弧度和为90°．‎ 故概率P==．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是　3πa2　．‎ ‎【考点】球内接多面体．‎ ‎【分析】PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，求出对角线长，即可求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为，所以这个球面的面积．‎ 故答案为：3πa2‎ ‎　‎ 三.解答题（共8题，共70分）‎ ‎17．设数列{an}满足a1=2，a2+a5=14，且对任意n∈N*，函数f（x）=an+1x2﹣（an+2+an）x满足f′（1）=0．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，记数列{bn}的前n项和为Sn，求证Sn＜．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，由条件可得2an+1=an+2+an，由等差数列的性质可得数列{an}为等差数列，设公差为d，运用等差数列的通项公式，可得d=2，即可得到通项公式；‎ ‎（2）由bn==（﹣），运用裂项相消求和，由不等式的性质，即可得证．‎ ‎【解答】（1）解：函数f（x）=an+1x2﹣（an+2+an）x的导数为f′（x）=2an+1x﹣（an+2+an），‎ 由f′（1）=0，可得2an+1=an+2+an，‎ 由等差数列的性质可得数列{an}为等差数列，设公差为d，‎ 则a1=2，a2+a5=2a1+5d=14，‎ 解得d=2，‎ 即有an=a1+2（n﹣1）=2n．‎ ‎（2）证明：bn===（﹣），‎ 则Sn=（1﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎=（1﹣）＜．‎ 则Sn＜．‎ ‎　‎ ‎18．由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如图：‎ ‎（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；‎ ‎（Ⅱ）若视力测试结果不低丁5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；‎ ‎（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据所给的茎叶图看出16个数据，找出众数和中位数，中位数需要按照从小到大的顺序排列得到结论．‎ ‎（2）由题意知本题是一个古典概型，至多有1人是“好视力”包括有一个人是好视力和有零个人是好视力，根据古典概型公式得到结果．‎ ‎（3）由于从该校任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，得到变量的可能取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列和期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵4.6和4.7都出现三次，‎ ‎∴众数：4.6和4.7；中位数：4.75‎ ‎（Ⅱ）由题意知本题是一个古典概型，‎ 设Ai表示所取3人中有i个人是“好视力”，‎ 至多有1人是“好视力”记为事件A，包括有一个人是好视力和有零个人是好视力，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅲ）ξ的可能取值为0、1、2、3‎ ‎∴分布列为 ‎∴Eξ=1×+2×+3×=0.75‎ ‎　‎ ‎19．如图，如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面梯形ABCD中，BC∥AD，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等边三角形，已知 ‎．‎ ‎（I）求证：平面SAB⊥平面SAC；‎ ‎（II）求二面角B﹣SC﹣A的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明AC⊥平面SAB，由此能证明平面SAB⊥平面SAC；‎ ‎（II）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣SC﹣A的余弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：在△BCA中，由于AB=2，CA=4，BC=2，‎ ‎∴AB2+AC2=BC2，故AB⊥AC．…‎ 又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD=AB，…‎ ‎∴AC⊥平面SAB 又AC⊂平面SAC，故平面SAB⊥平面SAC …‎ ‎（II）解：如图建立A﹣xyz空间直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），S（1，0，），C（0，4，0），=（1，﹣4，），=（﹣2，4，0），=（0，4，0）…‎ 设平面SBC的法向量=（x，y，z），‎ 由，则=（2，1，）．…‎ 设平面SCA的法向量=（a，b，c），‎ 由，∴=（﹣，0，1）…‎ ‎∴cos＜，＞=﹣…‎ ‎∴二面角B﹣SC﹣A的余弦值为…‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C：的离心率为e=，过点（，）‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）过A（﹣a，0）且互相垂直的两条直线l1、l2与椭圆C的另一个交点分别为P、Q．问：直线PQ是否经过定点？若是，求出该定点；否则，说明理由．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（I）利用椭圆的离心率公式求得a与c的关系，则b2=a2﹣c2=3c2，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；‎ ‎（II）由A点坐标，当直线PQ斜率不存在时，代入椭圆方程，求得交点坐标，当直线的斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理，向量数量积的坐标运算，即可求得定点．‎ ‎【解答】解：（I）椭圆的离心率e==，则a=2c，‎ 由b2=a2﹣c2=3c2，‎ 将（，）代入=1，解得：c=1，‎ 则a=2，b=，‎ ‎∴椭圆方程为：；‎ ‎（II）由（I）知A（﹣2，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ ‎①当Q⊥x轴时，不妨设l1、l2的斜率分别为1，﹣1，则l1：y=x+2，‎ ‎，解得：x1=﹣，同理x2=﹣，‎ 此时直线PQ与x轴交于点M（﹣，0）…‎ ‎②当直线PQ与x轴不垂直时，设线PQ方程为y=k（x﹣m），（k≠0），‎ 代入，整理得：（4k2+3）x2﹣8k2mx+（4k2m2﹣12）=0，‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=，…‎ ‎∵AP⊥AQ， =（x1+2，y1），=（x2+2，y2），∴•=（x1+2）（x2+2）+y1y2=0，‎ 即（x1+2）（x2+2）+k2（x1﹣m）（x2﹣m）=0，‎ ‎∴（k2+1）x1x2+（2﹣k2m）（x1+x2）+k2m2=0…‎ ‎∴（k2+1）×+（2﹣k2m）×+k2m2=0．‎ 化简得7m2+16m+4=0，解得m=﹣或m=﹣2，…‎ 当m=﹣2时，直线PQ与x轴交点与A重合，不合题意．‎ ‎∴直线PQ与x轴交于点M（﹣，0），…‎ 综上所述，直线PQ经过定点M（﹣，0）．…‎ ‎　‎ ‎21．已知a∈R，函数f（x）=ln（x+a）﹣x，曲线y=f（x）与x轴相切．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数m使得恒成立？若存在，求实数m的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出切点坐标，由即可求得a值，把a值代入函数解析式，得到当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况表，由图表可得f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）等价于，或，令g（x）=f（x）﹣mx（1﹣ex）=ln（x+1）﹣x﹣mx（1﹣ex），x∈（﹣1，+∞），求其二阶导数，然后对m分类讨论得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设切点为（x0，0），则f′（x）=，‎ 依题意，即，‎ 解得．‎ ‎∴f（x）=ln（x+1）﹣x，f′（x）=．‎ 当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：‎ ‎ x ‎ （﹣1，0）‎ ‎ 0‎ ‎ （0，+∞）‎ ‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ ‎ f（x）‎ ‎ 单调递增 ‎ 极大值 ‎ 单调递减 ‎∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减；‎ ‎（Ⅱ）存在m=，理由如下：‎ 等价于，或．‎ 令g（x）=f（x）﹣mx（1﹣ex）=ln（x+1）﹣x﹣mx（1﹣ex），x∈（﹣1，+∞），‎ 则g′（x）=，g″（x）=，‎ ‎①若m=，‎ 当﹣1＜x＜0时，﹣＜﹣1，m（x+2）ex＜1，∴g″（x）＜0；‎ 当x＞0时，﹣＞﹣1，m（x+2）ex＞1，∴g″（x）＞0，‎ ‎∴g′（x）在单调递减区间为（﹣1，0），单调递增为（0，+∞），‎ 又g′（0）=0，∴g′（x）≥0，当且仅当x=0时，g′（x）=0，‎ 从而g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，又g（0）=0，‎ ‎∴或，即＞m（1﹣ex）成立．‎ ‎②若m，∵g″（0）=2m﹣1＞0，‎ g″（）=＜﹣4m2+m（）＜0，‎ ‎∴存在x1∈（，0），使得g″（x1）=0，‎ ‎∵g″（x）在（﹣1，0）上单调递增，‎ ‎∴当x∈（x1，0）时，g″（x）＞0，g′（x）在（x1，0）上递增，‎ 又g′（0）=0，∴当x∈（x1，0）时，g′（x）＜0，‎ 从而g（x）在（x1，0）上递减，又g（0）=0，‎ ‎∴当x∈（x1，0）时，g（x）＞0，‎ 此时＞m（1﹣ex）不恒成立；‎ ‎③若m＜，同理可得＞m（1﹣ex）不恒成立．‎ 综上所述，存在实数m=．‎ ‎　‎ 四、解答题（共1小题，满分10分）‎ ‎22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，‎ ‎∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：‎ ρ2=4ρcosθ，‎ ‎∴x2+y2=4x，‎ ‎∴（x﹣2）2+y2=4．‎ ‎（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：‎ ‎（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，‎ 化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．‎ 设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，‎ 则，‎ ‎∴|AB|=|t1﹣t2|==，‎ ‎∵|AB|=，‎ ‎∴=．‎ ‎∴cos．‎ ‎∵α∈[0，π），‎ ‎∴或．‎ ‎∴直线的倾斜角或．‎ ‎　‎ 五、解答题（共1小题，满分0分）‎ ‎23．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2‎ ‎（Ⅰ）解不等式f（x）≥0‎ ‎（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．‎ ‎（Ⅱ）不等式即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，由此求得a的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，‎ 当x＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．‎ 当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得 x∈∅．‎ 当x≥0时，由x﹣1≥0，求得 x≥1．‎ 综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}．‎ ‎（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．‎ 由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈[﹣，]，‎ 故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．‎