天津市南开区南开中学2020届高三下学期第一次月考数学试题

天津市南开区南开中学2020届高三下学期第一次月考数学试题

‎2020届天津市南开中学高三第四次月考数学试卷（线上考试）‎ 一、选择题（共9小题；共45分）‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 集合， ‎ ‎ 故 ‎ 故答案为C．‎ ‎2.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意分别判断命题充分性与必要性，可得答案.‎ ‎【详解】解：由题意，若、的体积不相等，则、在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，、在等高处的截面积不恒相等，但、的体积可能相等，例如是一个正放的正四面体，一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以是的充分不必要条件，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.‎ ‎3.已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若 ，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简，根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出 ，的取值范围，结合的单调性与奇偶性即可得结果.‎ ‎【详解】，是偶函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又因为在上递减，‎ ‎，‎ ‎，即，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，以及指数函数与对数函数的性质，属于综合题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．‎ ‎4.函数的一个单调递增区间是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可.‎ ‎【详解】函数的解析式即：，‎ 其单调增区间满足：，‎ 解得：，‎ 令可得函数的一个单调递增区间为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5.数列满足：，若数列是等比数列，则的值是（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的定义，可知，根据式子恒成立，可知对应项系数相同，从而求得结果.‎ ‎【详解】数列为等比数列 ‎ 即：‎ 上式恒成立，可知： ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用等比数列的定义求解参数问题，关键是能够通过对应项系数相同求解出结果.‎ ‎6.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线与双曲线交于两点，且的面积为（为原点），则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线焦点坐标即得椭圆焦点坐标，可得，由的面积为可得，联立两式求得的值，从而可得结果.‎ ‎【详解】，‎ 即焦点为，‎ 即焦点为，‎ ‎，①‎ 又的面积为，‎ 时，,，‎ ‎，得，②‎ 由①②得，，‎ 双曲线的方程为,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质以及双曲线的方程与性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.‎ ‎7.设，分别为具有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先求得的长度，然后结合勾股定理整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】设椭圆、双曲线的长轴长分别为，焦距为，‎ 则：，解得：，‎ 由勾股定理可得：，‎ 即：，整理可得：.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、勾股定理、|PF1|＋|PF2|＝‎2a，得到a，c的关系．‎ ‎8.已知函数的图象过点，且在上单调，把 的图象向右平移个单位之后与原来的图象重合，当且时，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入点求出，根据平移关系和在上单调，确定，从而得到；找到区间内的对称轴，由对称性可得的值，进而代入求得结果.‎ ‎【详解】过点 ，即 又 ‎ 又的图象向右平移个单位后与原图象重合 ‎ ‎ 在上单调 ‎ 令，，解得，‎ 当时，为的一条对称轴 又 当，且时，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够通过三角函数的图象平移、周期、特殊点等求解出函数解析式，再利用三角函数的对称性将问题转化为特定角的三角函数值求解.‎ ‎9.已知函数在上的最大值为，若函数有4个零点，则实数的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据三次函数单调性确定，再结合函数图象确定实数的取值范围.‎ ‎【详解】因为在R上单调递增，‎ 所以,‎ 即，作图象，‎ 由图象 可知，‎ 当时有 即 从而实数的取值范围为选C.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象与性质，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ 二、填空题（共6小题；共30分）‎ ‎10.若是复数，，则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数除法运算的法则，化简复数，求出它的共轭复数，然后利用复数的乘法运算法则，计算出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】本题考查了复数的乘法、除法、共轭复数，正确应用运算法则是解题的关键.‎ ‎11.二项式的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值,则展开式中项的系数是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件确定n值，再根据二项展开式通项公式求结果.‎ ‎【详解】因为仅有第六项的二项式系数取得最大值,所以，‎ 因为，‎ 所以 ‎【点睛】本题考查二项式系数与二项展开式项的系数，考查基本分析与求解能力，属基本题.‎ ‎12.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据在频率直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等进行求解即可.‎ ‎【详解】设中位数为，则有.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了在频率直方图中求中位数问题，考查了中位数的性质，考查了数学运算能力.‎ ‎13.在平行四边形中，，分别是的中点，与交于，则的值是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点作，交于点，利用平行线的性质，结合平面向量基本定理、平面向量数量积的定义和运算性质进行求解即可.‎ ‎【详解】过点作，交于点，如下图所示：‎ 平行四边形中, .‎ 因为分别是的中点，所以，‎ 由，‎ 因为，‎ ‎，‎ 所以，‎ 因此 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求平面向量数量积的值，考查了平面向量的数量积的定义和运算性质，考查了平面向量基本定理，考查了数学运算能力.‎ ‎14.已知实数满足，则的最小值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎15.已知函数，函数有四个零点，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为与有四个不同的交点的问题；画出图象后可知，当与在和上分别相切时，两切线斜率之间的范围即为所求的范围，利用导数几何意义和二次函数的知识分别求解出两条切线斜率，从而得到所求范围.‎ ‎【详解】有四个零点等价于与有四个不同的交点 当时，，‎ 当时，；当时，‎ 即在上单调递减，在上单调递增 ‎ 当时，，此时 由此可得图象如下图所示：‎ 恒过，由图象可知，直线位于图中阴影部分时，有四个不同交点 即临界状态为与两段图象分别相切 当与相切时，可得：‎ 当与相切时 设切点坐标为，则 又恒过，则 即，解得： ‎ 由图象可知：‎ ‎【点睛】本题考查利用函数零点个数求解参数范围的问题，其中还涉及到导数几何意义的应用、二次函数的相关知识.解决零点问题的常用方法为数形结合的方法，将问题转化为曲线与直线的交点问题后，通过函数图象寻找临界状态，从而使问题得以求解.‎ 三、解答题（共5小题；共75分）‎ ‎16.某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务，环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生，每名学生必须且只能选择1项．‎ ‎（1）求恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率；‎ ‎（2）求“环保宣传”被这4名学生选择的人数的分布列及其数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）的分布列如下表：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 的数学期望为：.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先计算出基本事件的个数，再计算出恰有2个项目没有被这4名学生选择的基本事件的个数，最后利用古典概型的计算公式进行求解即可；‎ ‎（2）根据题意可知：的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，最后列出分布列计算数学期望即可.‎ ‎【详解】（1）甲、乙、丙、丁4名学生，每名学生必须且只能选择1项，则基本事件的个数为：‎ ‎，2个项目没有被这4名学生选择所含的基本事件的个数为：‎ ‎，因此恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率为：；‎ ‎（2）根据题意可知：的可能取值为0，1，2，3，4，‎ ‎；；；‎ ‎；，‎ 所以“环保宣传”被这4名学生选择的人数的分布列如下表：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 所以的数学期望为：.‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型的计算公式的应用，考查了排列组合的应用，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，考查了数学运算能力.‎ ‎17.在四棱锥中，平面，，，，.‎ ‎（1）证明；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）设点为线段上一点，且直线平面所成角的正弦值为，求的值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，表示直线方法向量，再根据向量数量积为零进行证明（2）先利用方程组解得各面法向量，再根据向量数量积求两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得二面角的余弦值；（3）根据共线关系设点坐标，利用线面角得等量关系，解方程可得的值.‎ 试题解析：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，，，‎ ‎（1），，‎ ‎∵∴‎ ‎（2），，平面的法向量为 ‎，，平面的法向量为.‎ ‎，二面角的余弦值为.‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴‎ 设为直线与平面所成的角 ‎，解得（舍）或.‎ 所以，即为所求.‎ ‎18.已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.‎ ‎(I)求椭圆的方程;‎ ‎(II)设与圆相切的直线交椭圆于,两点(为坐标原点)，的最大值.‎ ‎【答案】I. ；Ⅱ.2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ I:根据离心率得到，由三角形面积公式得到，进而求出参数值，和方程；Ⅱ：当ABx轴时，，当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，根据直线和圆的位置关系得到，由=，借助于韦达定理表示求解即可.‎ 详解】I.由题设：‎ 两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为，‎ 解得 ‎∴椭圆C的方程为 ‎ Ⅱ.设 ‎1.当ABx轴时， ‎ ‎2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为 由已知，得 ‎ 设三角形OAB的高为h即圆的半径,直线和圆的切点为M点，根据几何关系得到：=，‎ 把代入椭圆方程消去y，‎ 整理得,‎ 有 得 当且仅当，即时等号成立. ‎ 当时， ‎ 综上所述 ‎【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎19.已知数列满足.‎ ‎（1）设，求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和；‎ ‎（3）记，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ 详解】（1）由得，得；‎ ‎（2）易得， ‎ 错位相减得 所以其前项和；‎ ‎（3）‎ ‎，‎ ‎ 或写成.‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）求的极值；‎ ‎（2）证明：时，‎ ‎（3）若函数有且只有三个不同的零点，分别记为，设且的最大值是，证明：‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先求导数，再根据讨论导函数零点情况，最后根据导函数零点以及导函数符号变化规律确定极值，（Ⅱ）作差函数，先利用导数研究导函数单调性，确定导函数零点，再根据导函数符号确定函数最小值，最后根据基本不等式证得结论，（Ⅲ）先利用导数研究有两个零点时，其两个零点对应区间，再令，根据条件用表示，利用导数求其最大值，即得结论.‎ ‎【详解】（Ⅰ）函数的定义域为.‎ 由已知可得． ‎ ‎（1）当时，，故在区间上单调递增； 无极值.‎ ‎（2）当时，由，解得；由，解得．所以函数在上单调递增，在上单调递减. 的极大值为，无极小值.‎ ‎（Ⅱ）证明：令，故只需证明.‎ 因为 所以函数在上为增函数，且，．‎ 故在上有唯一实数根，且． ‎ 当时，，当时，,‎ 从而当时，取得最小值． ‎ 由，得，即， ‎ 故 ，‎ 因，所以等于号取不到，即 综上，当时， 即．‎ ‎（Ⅲ）∵ 函数有且只有三个不同的零点，而是其零点，‎ ‎∴ 函数存在两个零点（不等于），即有两个不等且不等于的实数根．‎ 可转化为方程在区间上有两个不等且不等于的实数根，‎ 即函数的图象与函数的图象有两个交点.‎ ‎∵， ‎ ‎∴ 由，解得，故在上单调递增；‎ 由，解得，故在上单调递减；‎ 故函数的图象与的图象的交点分别在，上，‎ 即的两个根分别在区间，上，‎ ‎∴的三个不同的零点分别是，且. ‎ 令，则．‎ 由，解得故， ．-令，则．‎ 令，则．‎ 所以在区间上单调递增，即． ‎ 所以，即区间上单调递增，‎ 即，‎ 所以，即，‎ ‎【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将问题转化为一元函数，再根据对应函数最值问题加以解决.‎ ‎ ‎