内蒙古呼和浩特市2020届高三下学期第一次质量普查调研考试数学（文）试题

内蒙古呼和浩特市2020届高三下学期第一次质量普查调研考试数学（文）试题

‎2020年呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上本试卷满分150分，考试时间120分钟.‎ ‎2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.‎ ‎3.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.‎ ‎4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若复数，则当时，复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.在等差数列中，若，，则（ ）‎ A．10 B．‎20 ‎C．25 D．30‎ ‎4.如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》问题的调查问卷统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），由此可知，以下结论错误的是（ ）‎ A．回答该问卷的总人数不可能是100个 B．回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多 C．回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少 D．回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个 ‎5.若5件产品中包含2件废品，今在其中任取两件则取出的两件中至少有一件是废品的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球若球的表面积等于圆柱的侧面积，则球的体积与圆柱的体积之比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知抛物线，是焦点，是抛物线准线上一点，为线段抛物线的交点，定义.当点坐标为时，（ ）‎ A． B．‎4 ‎C． D．2‎ ‎9.如图，已知正三棱柱的侧棱长为底面边长的2倍，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知定义在上的偶函数，当时，其解析式为，则在点处的切线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11.已知函数，给出下列四个结论：‎ ‎①函数的最小正周期是；‎ ‎②函数在区间上是减函数；‎ ‎③函数的图象关于直线对称；‎ ‎④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到其中所有正确结论的编号是（ ）‎ A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④‎ ‎12.已知定义在实数集的函数满足，且的的导函数在上恒有，则不等式的解集为：‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须做答；第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）‎ ‎13.已知，，若与共线，则_______.‎ ‎14.在一次电子邮件传播病毒的事例中，已知第一轮感染的计算机数是6台，并且从第一轮开始，以后各轮的每一台计算机都会感染下一轮的10台，那么到第6轮后，被感染的计算机的台数为_____（用数字作答）.‎ ‎15.给出下列四个命题：‎ ‎①“”是“”的必要不充分条件 ‎②函数的最小值为2‎ ‎③命题“，”的否定是“，”‎ ‎④已知双曲线过点，且渐近线为，则离心率，其中所有正确命题的编号是：_______.‎ ‎16.动直线与圆交于点，则动直线必过定点______；当弦最短时，直线的方程为______.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.在中，，，且 ‎（Ⅰ）求边长；‎ ‎（Ⅱ）求边上中线的长.‎ ‎18.呼和浩特市地铁一号线于‎2019年12月29日开始正式运营有关部门通过价格听证会，拟定地铁票价后又进行了一次调查.调查随机抽查了50人，他们的月收入情况与对地铁票价格态度如下表：‎ 月收入（单位：百元）‎ 认为票价合理的人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ 认为票价偏高的人数 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（Ⅰ）若以区间的中点值作为月收人在该区间内人的人均月收入求参与调查的人员中“认为票价合理者”的月平均收人与“认为票价偏高者”的月平均收人的差是多少（结果保留2位小数）；‎ ‎（Ⅱ）由以上统计数据填写下面列联表分析是否有的把握认为“月收入以5500元为分界点对地铁票价的态度有差异”‎ 月收入不低于5500元人数 月收入低于5500元人数 合计 认为票价偏高者 认为票价合理者 合计 附：‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎19.如图，在矩形中，，，在边上，且，将沿折到的位置，使得平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积.‎ ‎20.已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点.‎ ‎（Ⅰ）求关于的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（Ⅱ）证明：.‎ ‎21.已知椭圆的离心率是，、分别是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，面积的最大值为 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作关于轴对称的两条不同直线，分别交椭圆于点，，且，证明直线过定点，并求的面积的取值范围.‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.‎ ‎22.已知椭圆的普通方程为：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，正方形的顶点都在上，且逆时针依次排列，点的极坐标为 ‎（Ⅰ）写出曲线的参数方程，及点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）设为椭圆上的任意一点，求：的最大值.‎ ‎23.已知函数，‎ ‎（Ⅰ）当时，求关于的不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）已知，若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎2020高三年级第一次质量普查调研考试数学文科答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B B C D D A B B C A C D ‎13. 14.666666 15.1，4 16.，‎ ‎17.解：（1），，‎ ‎.‎ 由，得，，‎ ‎，‎ ‎（2），‎ 为中点，‎ ‎18解：（1）设表示“认为价格合理者”的月平均收入，表示“认为价格偏高者”的月平均收入 所以“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距为11.81（百元）‎ ‎（2）根据条件可到列联表如下：‎ 月收入不低于5500元人数 月收入低于5500元人数 合计 认为票价偏高者 ‎3‎ ‎29‎ ‎32‎ 认为票价合理者 ‎7‎ ‎11‎ ‎18‎ 合计 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ 因为 所以没有的把握认为“月收入以5500元为分界点对地铁定价的态度有差异.‎ ‎19.（1）证明：连接设，‎ 在矩形中，‎ ‎，‎ 平面，‎ ‎（2）解：平面，‎ ‎20.解：（1），，，‎ 是的零点，‎ 即，‎ ‎，‎ 又 ‎，‎ ‎（2）要证，‎ 只要证 只要证 只要证 设，，‎ ‎，‎ ‎21.解：（1），，‎ ‎，，‎ 椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）从特殊位置分析，定点可能在轴上，‎ 设直线方程为，，代入椭圆，‎ 得 ‎，，‎ 设：点关于轴的对称点 与关于轴对称，‎ 三点共线 即 整理得 直线过定点 点到直线的距离 则 ‎，‎ ‎22.（1），为参数，‎ 的极坐标为 的直角坐标为 旋转得 同理 ‎（2）‎ 的最大值为100‎ ‎23.解（1）当时，，‎ 不等式 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 不等式的解集是 ‎（2），‎ 由题意得 或 的取值范围是