新教材数学人教B版必修第二册课件：6-4-3 余弦定理、正弦定理 第3课时　余弦定理、正弦定理应用

新教材数学人教B版必修第二册课件：6-4-3 余弦定理、正弦定理 第3课时　余弦定理、正弦定理应用

精读教材·必备知识互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 第六章　平面向量及其应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第 一 篇 教 材 过 关 第3课时　余弦定理、正弦定理应用 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 探究一　利用正、余弦定理解三角形 例1　(1)在△ABC中,D为边BC的中点,已知AC=  ,CD=2,∠CDA= ,则AD=     　　    ;sin B=　　　    . (2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知  =  . ①求  的值; ②若cos B= ,△ABC的周长为5,求b的长. 7 π 3 cos -2cos cos A C B 2 -c a b sin sin C A 1 4 互动探究·关键能力 3 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　(1)在△ADC中,由余弦定理的推论,知 cos∠CDA=  , 即 =  , 解得AD=3(负值舍去). 在△ADB中,由余弦定理,知 2 2 2- 2 AD CD AC AD CD  1 2 2 4-7 4 AD AD  互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=9+4+2×3×2× =19, 所以AB=  (负值舍去), 又由正弦定理,知  =  , 所以sin B=  =  =  . (2)①由正弦定理,设  =  =  =k, 则  =  =  , 1 2 19 sin AB ADB sin AD B sinAD ADB AB   33 2 19  3 57 38 sin a A sin b B sin c C 2 -c a b 2 sin - sin sin k C k A k B 2sin -sin sin C A B 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 所以  =  , 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)·cos B, 化简,得sin(A+B)=2sin(B+C), 又A+B+C=π,所以sin C=2sin A. 所以  =2. ②由  =2,得c=2a.由余弦定理及cos B= , cos -2cos cos A C B 2sin -sin sin C A B sin sin C A sin sin C A 1 4 得b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-4a2× =4a2, 所以b=2a,又a+b+c=5,所以a=1,因此b=2. 1 4 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 思维突破 与解三角形有关的问题,首先要结合已知条件,选用恰当的余弦定理或正弦定 理求解,过程中注意边角的互化和等式的恒等变形. 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 跟踪训练 1-1　在△ABC中,已知A=30°,AB=2,BC=  ,则cos∠ACB=　　　    ,AC=　　        .6 解析　根据正弦定理,得  =  , 可得sin∠ACB=  =  = ,故cos∠ACB=  , 因为cos A=  =  = , 所以AC=  +  (负值舍去). sin BC A sin AB ACB sinAB A BC  12 2 6  6 6 30 6 2 2 2- 2 AB AC BC AB AC  2 2 22 -( 6) 2 2 AC AC    3 2 3 5 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 1-2　△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A= ,cos C= ,a=1, 则b=    　　    . 4 5 5 13 解析　在△ABC中,由cos A= ,cos C= ,可得sin A= ,sin C= , 所以sin B=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C= , 由正弦定理得b=  = . 4 5 5 13 3 5 12 13 63 65 sin sin a B A 21 13 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 探究二　判定三角形的形状 例2　若a2+b2-c2=ab,且2cos Asin B=sin C,试确定△ABC的形状. 解析　解法一:(利用边的关系来判断) 由正弦定理得  = , 由2cos Asin B=sin C,得cos A=  = . 又由余弦定理的推论,得cos A=  ,∴ =  , sin sin C B c b sin 2sin C B 2 c b 2 2 2- 2 b c a bc  2 c b 2 2 2- 2 b c a bc  即c2=b2+c2-a2,所以a2=b2,所以a=b. 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 又∵a2+b2-c2=ab,∴2b2-c2=b2, 所以b2=c2, ∴b=c,∴a=b=c. ∴△ABC为等边三角形. 解法二:(用角的关系来判断) ∵A+B+C=180°,∴sin C=sin(A+B), 又∵2cos Asin B=sin C, ∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 ∴sin(A-B)=0. 又∵A与B均为△ABC的内角, ∴A=B. 又由a2+b2-c2=ab, 由余弦定理的推论,得cos C=  =  = , 又0° , 又∠A>0,∴0<∠A< , 则0  , ∴ > + ×  =2. 故 的取值范围为(2,+∞). 1 tan A 3 c a 1 2 3 2 3 c a 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 3-2　在△ABC中,BC=2  ,AC=3,∠BAC=2∠B,D是BC上一点且AD⊥AC,则△ ABD的面积为　　　    . 3 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　如图所示,   ∵BC=2  ,AC=3,∠BAC=2∠B, ∴在△ABC中,由正弦定理  =  =  , 可得  =  =  , 解得cos B= ,可得sin B=  = , 3 sin BC BAC sin AC B sin AB C 2 3 sin BAC 3 sin B 2 3 2sin cosB B 3 3 21-cos B 6 3 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 ∴cos∠BAC=cos 2B=2cos2B-1=- . ∵AD⊥AC, ∴sin∠BAD=sin  =-cos∠BAC= , 可得cos∠BAD=  =  , ∴sin∠ADB=sin(∠BAD+B)= × +  × =  . 1 3 π- 2BAC    1 3 21-sin BAD 2 2 3 1 3 3 3 2 2 3 6 3 5 3 9 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 ∵在△ABC中,由余弦定理可得32=AB2+(2  )2-2AB×2  × ,解得AB=1或AB= 3. 若AB=AC=3,则B=C. 由∠BAC=2∠B可得B=C= ,A= ,即B和D重合,矛盾,∴AB=3舍去. ∴AB=1, ∴在△ABD中,由正弦定理,得  =  , ∴AD=  =  , 3 3 3 3 π 4 π 2 sin AB ADB sin AD B sin sin AB B ADB   3 2 5 ∴S△ABD= AB·AD·sin∠BAD= ×AB×AD× = .1 2 1 2 1 3 2 10 评价检测·素养提升互动探究·关键能力 1.在△ABC中,内角C为钝角,sin C= ,AC=5,AB=3  ,则BC=  (　　) A.2　    B.3　    C.5　    D.10  3 5 5 课堂检测 评价检测·素养提升 解析　由题意知,cos C=- ,设BC=x,4 5 由余弦定理,得(3  )2=52+x2-2×5x·  , 化简,得x2+8x-20=0,解得x1=2,x2=-10(舍去),所以BC=2. 5 4- 5      A 评价检测·素养提升互动探究·关键能力 2.在△ABC中,已知BC=1,B= ,则△ABC的面积为  ,则AC的长为　　 　    .π 3 3 解析　由三角形面积公式得 ·BC·AB·sin B=  , 解得AB=4, 由余弦定理,得AC2=1+16-2×1×4× =13, 所以AC的长为  . 1 2 3 1 2 13 评价检测·素养提升互动探究·关键能力 3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=  ,b=2,A=60°,则sin B= 　    　    ,c=　　　    . 7 3 解析　因为a=  ,b=2,A=60°, 所以由正弦定理,得sin B=  =  =  . 7 sinb A a 32 2 7  21 7 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, 可得c2-2c-3=0,所以c=3(负值舍去). 评价检测·素养提升互动探究·关键能力 4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 sin2C-sin2B=sin2A-  sin Asin B. (1)求角C; (2)若A= ,△ABC的面积为4  ,M为AB的中点,求CM的长.  3 π 6 3 解析　(1)由正弦定理,知sin2C-sin2B=sin2A-  sin A·sin B可化为3 c2-b2=a2-  ab,3 评价检测·素养提升互动探究·关键能力 即c2=a2+b2-  ab. 又由余弦定理,得cos C=  = ,0

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