【数学】2019届一轮复习人教A版应用正弦定理、余弦定理解三角形学案（文）

【数学】2019届一轮复习人教A版应用正弦定理、余弦定理解三角形学案（文）

母题十五 应用正弦定理、余弦定理解三角形 ‎【母题原题1】【2018天津，文16】‎ 在中，内角所对的边分别为．已知．‎ ‎（I）求角的大小；‎ ‎（II）设，求和的值．‎ ‎【考点分析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ 由，可得．，故．‎ 因此， ‎ ‎．‎ ‎【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ ‎【母题原题2】【2017天津，文15】‎ 在中，内角所对的边分别为．已知，．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求的值．‎ ‎【答案】（I） ；（II）．‎ 试题解析：（Ⅰ）由及得，‎ 由及余弦定理得．‎ ‎【考点】1．正余弦定理；2．三角恒等变换．‎ ‎【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．‎ ‎【母题原题3】【2016天津，文15】‎ 在中，内角所对应的边分别为，已知．‎ ‎（I）求B；‎ ‎（II）若，求sinC的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：，再根据三角形内角范围化简得，；（Ⅱ）问题为“已知两角，求第三角”，先利用三角形内角和为，将 考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理 ‎【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换．角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证．‎ ‎【母题原题4】【2015天津，文16】△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为， ‎ ‎（I）求a和sinC的值；‎ ‎（II）求 的值．‎ ‎【答案】（I）a=8，；（II）．‎ ‎（II），‎ ‎【考点定位】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查基本运算求解能力．‎ ‎【名师点睛】解三角形问题实质是附加条件的三角变换，因此在解三角形问题的处理中，正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用，分析近几年的高考试卷，有关的三角题，大部分以三角形为载体考查三角变换．‎ ‎ ‎ ‎【命题意图】考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，考查三角函数中同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差三角函数公式、二倍角公式在恒等变形中的应用，考查化简变形能力、数形结合思想、等价转换思想． 学 ‎ ‎【命题规律】解三角形是高考的必考内容，重点是正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，考题灵活多样，选择题、填空题和解答题都有考到，难度中低中档题均有．以求边长、求角（三角函数值）或研究三角形的面积为目标，往往是利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式进行有效的边角转换，利用和差倍半的三角函数公式，对等式进行恒等变形，有时会结合角的范围，研究三角函数式的取值范围等． ‎ ‎【答题模板】‎ ‎(1)通过正弦定理实施边角转换；‎ ‎（II）通过余弦定理实施边角转换；‎ ‎(3)通过三角变换找出角之间的关系；‎ ‎(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；学； ‎ ‎(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解．‎ ‎【方法总结】学 ‎ ‎1．三角形中判断边、角关系的具体方法：‎ ‎(1)通过正弦定理实施边角转换；‎ ‎（II）通过余弦定理实施边角转换；‎ ‎(3)通过三角变换找出角之间的关系；‎ ‎(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；‎ ‎(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解．‎ ‎2．三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A＋B)＝sin C，sin＝cos 等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题，如：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数．‎ ‎3． 如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．已知两角和一边或两边及夹角，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性．‎ ‎4． 在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．‎ ‎ | ． ．X．X． 学+ + ‎ ‎1．【2018天津部分区二模】已知的内角所对的边分别为，且．‎ ‎（I）求和的值；‎ ‎（II）求的值．‎ ‎【答案】（I）， （II） ‎ ‎【解析】分析：（I）根据题意，利用余弦定理和正弦定理，即可求得c和sinA的值；‎ ‎（II）根据同角的三角函数关系和三角恒等变换，计算即可．‎ 详解：（I）由余弦定理，得，‎ 又，所以，解得 ‎【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．‎ 第三步：求结果．‎ ‎2．【2018天津河东区二模】在中，角A、B、C所对的边分别为，已知， ，，角A为锐角．‎ ‎（I）求与的值；‎ ‎（II）求的值及三角形面积．‎ ‎【答案】（I） ；（II） ．‎ ‎【解析】 分析：第一问首先利用题中的条件，，利用倍角公式，结合A为锐角的条件，求得的值，之后可以借助于同角三角函数关系式求得的值，在求边长的时候，就利用正弦定理可以求得结果；第二问结合题中所给的条件，利用余弦定理建立边所满足的等量关系式，求得结果，之后应用面积公式求得三角形的面积．‎ 详解：（I）由正弦定理，代入，，，解得，．∵角A为锐角，．‎ ‎（II），代入为 ，解为，‎ ‎．‎ ‎【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，需要把握正弦定理、余弦定理、倍角公式、同角三角函数关系式以及三角形的面积公式，在做题的过程中，在求的时候，也可以应用倍角公式求解．‎ ‎3．【2018天津河北区二模】在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B=2C，2b=3c．‎ ‎（I）求cosC的值；‎ ‎（II）求sin(2C+)的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴， ‎ ‎∴，． ‎ ‎∴．‎ ‎【名师点睛】解三角形的问题和三角变换常常综合在一起考查，解题时要根据所给出的条件利用正弦定理、余弦定理将边角之间进行合理的转化，然后再根据题意进行求解，进行变换时要注意对所用公式的选择．‎ ‎4．【2018天津市十二校二模】在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）已知，的面积为，求边长的值．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】分析：(1)由，利用正弦定理得，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得，进而可得结果；（２）利用（I），由已知及正弦定理可得 ，结合的面积为，可得 ，由余弦定理可得结果 由余弦定理 ，得 ．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题． 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径．学 - / ‎ ‎5．【2018四川南充三模】在中，内角的对边分别为，已知．‎ ‎（Ⅰ）若，，求边；‎ ‎（Ⅱ）若，求角．‎ ‎【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）利用正弦定理和余弦定理代入可得边；‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理得，将代入，结合可得的方程，解方程即可得解．‎ 因为，所以．‎ ‎【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．‎ 第三步：求结果．‎ ‎6．【2018天津滨海新区七校模拟】锐角中， 分别为角的对边， ，‎ ‎（I）若求的面积；‎ ‎（II）求的值． ‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】试题分析：（I）由正弦定理化角，可得，再由角A的余弦定理，可求得，进一步求得三角形面积；（II）由正弦和角公式和倍角公式可求值．‎ 试题解析：（I） ， ．‎ ‎， ， 是锐角， ．‎ ‎【名师点睛】（1）一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化．‎ ‎（2）‎ 在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．‎ ‎7．【2018天津十二校重点模拟一】已知函数．‎ ‎（I）求的单调递增区间；‎ ‎（II）设的内角的对边分别为，且，若 ，求的面积．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】试题分析：（I）利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调增区间即可确定的单调递增区间；（II）根据，求出，利用正弦定理及余弦定理，结合题设条件即可求出， ，从而可求出的面积．‎ 试题解析：（I） 由，得 ‎∴由①②解得，．‎ ‎8．【2018天津十二校重点模拟二】在中，角的对边分别为，，，‎ 的面积为．‎ ‎（I）求及的值； ‎ ‎（II）求的值．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】试题分析：（I）由，，的面积为可求得的值，利用余弦定理可求得，再利用正弦定理可求得的值；（II）利用（I）的结论，由同角三角函数之间的关系可求得，再利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式可得的值．‎ 试题解析：（I）由已知，，，且 ‎ ， ， ‎ ‎ 在中，， ．‎ ‎（II），又，，，‎ ‎ ．‎ ‎9．【2018天津上学期期末考】在中，角的对边分别为，且满足．‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）若，求的值．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ 整理得，由余弦定理得，又，所以．‎ ‎（II）由知为锐角，又，所以 ，‎ 故 ， ，‎ 所以．‎ ‎10．【2018天津红桥区学期期末考】在中，内角所对的边分别是，已知， ， ．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求的值．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】试题分析：（I）由正弦定理可得a=3c，再由余弦定理可得b；（II）由已知得cosB和sinB，利用二倍角公式求得， ，将展开代入求解即可．‎ ‎11．【2018天津静海一中模拟】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且满足．‎ ‎（I）若，求的值；‎ ‎（II）若的面积为3，求证为等腰三角形．‎ ‎【答案】（I）；（II）见解析．‎ 那么，由此得，所以为等腰三角形．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，判断三角形形状问题，属于中档题．判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；（II）利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形．‎ ‎12．【2018天津河西模拟】在中， ， ， 分别是角， ， 的对边，若， ．‎ ‎（I）求的值．‎ ‎（II）若，求的面积．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】试题分析：（I）由正弦定理求得，进而得，再由诱导公式和两角和的正弦公式可求得；（II）由已知计算出，再由（I）计算出，最后由三角形面积公式可得面积．‎ 试题解析：（I）∵，∴，∵，∴，‎ ‎．‎ ‎（II）∵， ，∴，∵， ，∴，‎ ‎∴．‎ ‎13．【2018天津一中月考五】的内角、、的对边分别为、、，已知．‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）如图，为外一点，若在平面四边形中，，且，，，求的长．‎ ‎【答案】(1)；（II）．‎ ‎【解析】分析：（I）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出cosB的值． （II）利用（I）的结论，进一步利用余弦定理求出结果．‎ ‎（II）∵，∴，又在中，，，‎ ‎∴由余弦定理可得 ，∴，‎ 在中，，，，∴由余弦定理可得，‎ 即，化简得，解得．故的长为．‎ ‎【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用．对公式灵活运用与结合是解题关键．‎ ‎14．【2018天津耀华中学模拟】设函数，其中向量，，．‎ ‎（I）求的最小正周期及单调减区间；‎ ‎（II）若，求函数的值域；‎ ‎（III）在中，，，，求与的值．‎ ‎【答案】（I），；（II），．‎ ‎【解析】试题分析：（I），，令即 所以单调减区间为：．‎ ‎（II）当时．由（I）易知在上单调递增，上单调递减．∴．，，则．∴在上值域为．‎ ‎（III）．∴．‎ 又∵，则，．．‎ 由余弦定理，得．即．∴，．‎ ‎∴，得或（舍）．∴，．‎