高中数学第一章解三角形1-1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理达标检测含解析新人教A版必修5

高中数学第一章解三角形1-1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理达标检测含解析新人教A版必修5

正弦定理 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．在△ABC中，若a＝3，cos A＝，则△ABC外接圆的半径为(　　)‎ A．6 B．2 C．3 D. 答案：D ‎2．在△ABC中，a＝3，b＝，A＝60°，那么角B等于(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．30°或150° D．60°或120°‎ 解析：因为a＝3，b＝，A＝60°，所以sin B＝＝.因为a>b，所以A>B，所以B＝30°.‎ 答案：A ‎3．在△ABC中，b＝5，B＝，tan A＝2，则a的值为(　　)‎ A．10 B．2 C. D. 解析：因为在△ABC中，b＝5，B＝，‎ tan A＝＝2，sin2A＋cos2A＝1，‎ 所以sin A＝.‎ 由正弦定理可得＝，‎ 解得a＝2.‎ 答案：B ‎4．在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是(　　)‎ A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．a＝b⇔sin 2A＝sin 2B C．＝ - 6 -‎ D．正弦值较大的角所对的边也较大 解析：在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝k(k>0)，则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，故a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确．‎ 当A＝30°，B＝60°时，sin 2A＝sin 2B，此时a≠b，故B错误．‎ 根据比例式的性质易得C正确．‎ 大边对大角，故D正确．‎ 答案：B ‎5．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：由正弦定理得：＝＝2R，‎ 由a＝bsin A得：‎ ‎2Rsin A＝2Rsin B·sin A，‎ 所以sin B＝1，所以B＝.‎ 答案：B 二、填空题 ‎6．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．若2sin B＝sin A＋sin C，cos B＝，且S△ABC＝6，则b＝________．‎ 解析：在△ABC中，cos B＝，则sin B＝.由S△ABC＝·acsin ‎ B＝6，得ac＝15，‎ 由正弦定理得2b＝a＋c，‎ 所以cos B＝－1，即＝－1，‎ 解得b2＝16，又b>0，所以b＝4.‎ 答案：4‎ ‎7．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则＝________．‎ 解析：设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，‎ 由正弦定理，‎ 得＝＝＝1.‎ 答案：1‎ - 6 -‎ ‎8．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则AB边上的高是________．‎ 解析：由正弦定理，＝，‎ 所以sin C＝＝＝，‎ 所以C＝60°或120°，‎ ‎(1)当C＝60°时，A＝90°，AB边上的高为2；‎ ‎(2)当C＝120°时，A＝30°，AB边上的高为2sin 30°＝1.‎ 答案：1或2‎ 三、解答题 ‎9．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C＝45°，b＝4，sin B＝.‎ ‎(1)求c的值；‎ ‎(2)求sin A的值．‎ 解：(1)因为C＝45°，b＝4，sin B＝，‎ 所以由正弦定理可得c＝＝＝5.‎ ‎(2)因为sin B＝，B为锐角，‎ 所以cos B＝＝，‎ 所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝.‎ ‎10．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断三角形的形状．‎ 解：由已知得＝，‎ 由正弦定理得＝.‎ 因为sin A，sin B≠0，所以sin Acos A＝sin Bcos B，‎ 即sin 2A＝sin 2B.‎ 所以2A＋2B＝π或2A＝2B.‎ 所以A＋B＝或A＝B.‎ 所以△ABC为直角三角形或等腰三角形．‎ - 6 -‎ B级　能力提升 ‎1.如图所示，在△ABC中，已知∠A∶∠B＝1∶2，角C的平分线CD把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A等于(　　)‎ A. B. C. D．0‎ 解析：因为角C的平分线为CD，所以∠ACD＝∠BCD，‎ 因为＝＝＝，‎ 所以设AC＝3x，CB＝2x，‎ 因为∠A∶∠B＝1∶2，设∠A＝α，∠B＝2α，‎ 在△ABC中，利用正弦定理＝＝，‎ 解得：cos α＝.‎ 答案：C ‎2．△ABC中，∠A＝60°，点D在边AC上，DB＝，且＝λ(λ>0)，则AC＋AB的最大值为________．‎ 解析：如图，作BE⊥AC于E，取AC中点F连接BF，‎ ＝λ＝λ(＋)＝(＋)＝，‎ 所以与共线，从而点D与点F重合，即D是AC中点．‎ ‎△ABD中，A＝60＝，记∠ABD＝α，则0<α<，sin ∠ADB＝sin，‎ - 6 -‎ 由正弦定理得＝＝，即＝＝，‎ 所以AB＝2sin，AD＝2sin α，‎ AB＋AC＝AB＋2AD＝2sin(α＋)＋4sin α＝2(sin αcos ＋cos αsin )＋4sin α＝5sin α＋cos α＝2sin(α＋θ)，‎ 其中θ为锐角，cos θ＝，sin θ＝，‎ 所以α＝－θ时，AB＋AC取得最大值2.‎ 答案：2.‎ ‎3．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋c＝2b，2cos 2B－8cos B＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状．‎ 解：因为2cos 2B－8cos B＋5＝0，‎ 所以2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0.‎ 所以4cos2B－8cos B＋3＝0，‎ 即(2cos B－1)(2cos B－3)＝0.‎ 解得cos B＝或cos B＝(舍去)．‎ 因为0＜B＜π，‎ 所以B＝.‎ 因为a＋c＝2b.‎ 由正弦定理，得 sin A＋sin C＝2sin B＝2sin ＝.‎ 所以sin A＋sin＝，‎ 所以sin A＋sin cos A－cos sin A＝.‎ 化简得sin A＋cos A＝，‎ 所以sin＝1.‎ 因为0＜A＜，‎ - 6 -‎ 所以＜A＋＜，‎ 所以A＋＝.‎ 所以A＝，C＝.‎ 所以△ABC是等边三角形．‎ - 6 -‎