【数学】2018届一轮复习人教A版 正弦定理和余弦定理 学案
专题22正弦定理、余弦定理
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
1．正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c22bccos__A；
b2＝c2＋a22cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin_C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1、(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有( )
A．1个 B．2个
C．0个 D．无法确定
(2)在△ABC中，已知sinA∶sinB＝∶1，c2＝b2＋bc，则三内角A，B，C的度数依次是________．
(3)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.
答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1
解析 (1)∵bsinA＝×＝，∴bsinA
0，∴sin A＝1，即A＝.
答案 B
【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
(2)求解几何计算问题要注意
①根据已知的边角画出图形并在图中标示；
②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．
【变式探究】(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
(2)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为______．
答案 (1)D (2)
(2)sin∠BAC＝sin(＋∠BAD)＝cos∠BAD，
∴cos∠BAD＝.
BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD
＝(3)2＋32－2×3×3×，
即BD2＝3，BD＝.
高频考点三 和三角形面积有关的问题
【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos B＋sin B·cos A)＝sin C，2cos Csin(A＋B)＝sin C，
故2sin Ccos C＝sin C.
由C∈(0，π)知sin C≠0，
可得cos C＝，所以C＝.
(2)由已知，absin C＝，
又C＝，所以ab＝6，
由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C＝7，故a2＋b2＝13，
从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋.
【方法规律】三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
【变式探究】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2a－b)cos C－ccos B＝0.
(1)求角C的值；
(2)若三边a，b，c满足a＋b＝13，c＝7，求△ABC的面积.
1.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】设边上的高为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．
2.【2016高考新课标2理数】的内角的对边分别为，若，，，则 ．
【答案】
【解析】因为，且为三角形的内角，所以，，又因为
，所以.
3.【2016高考天津理数】在△ABC中，若,BC=3， ,则AC= （ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】A
【解析】由余弦定理得,选A.
4.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是 ▲ .
【答案】8.
【解析】，又，因即最小值为8.
5.(2016·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( )
A. B. C. D.
解析 在△ABC中，由b＝c，得cos A＝＝，又a2＝2b2(1－sin A)，所以cos A＝sin A，
即tan A＝1，又知A∈(0，π)，所以A＝，故选C.
答案 C
【2015高考天津，理13】在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为 .
【答案】
【解析】因为，所以，
又，解方程组得
，由余弦定理得，所以.
【2015高考北京，理12】在中，，，，则 ．
【答案】1
【解析】
【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 .
【答案】（，）
【2015江苏高考，15】（本小题满分14分）
在中，已知.
（1）求的长；
（2）求的值
【答案】（1）；（2）
【2015高考湖南，理17】设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角.
（1）证明：；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】（1）由及正弦定理，得，∴，即，
又B为钝角，因此，故，即；
（2）由（1）知，
，∴，于是
，∵，∴，因此，由此可知的取值范围是.
（2014·湖北卷）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)
的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差．
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，因此
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