【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第三章第8节正弦定理和余弦定理的应用学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第三章第8节正弦定理和余弦定理的应用学案

第三章 三角函数、解三角形 第八节正弦定理和余弦定理的应用 测量中的有关几个术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°‎ 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α：‎ ‎(2)南偏西α：‎ ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β.(　　)‎ ‎(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)‎ ‎(3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°.(　　)‎ ‎(4)方位角大小的范围是，方向角大小的范围是.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝‎50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.可以计算出A，B 两点的距离为(　　)‎ A．‎50 m　　　　　　 B．‎50 m C．‎25 m D. m 解析：选A　由题意知∠CAB＝180°－∠ABC－∠BCA＝30°，‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以AB＝＝＝50(m)．‎ ‎3.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝‎40 m，则电视塔的高度为(　　)‎ A．‎10 m B．‎‎20 m C．‎20 ‎ m D．‎‎40 m 解析：选D　设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为‎40 m.‎ ‎4．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的________方向上．‎ 解析：如图所示，∠ACB＝90°，‎ 又AC＝BC，‎ ‎∴∠CBA＝45°，而β＝30°，‎ ‎∴α＝90°－45°－30°＝15°.‎ ‎∴点A在点B的北偏西15°.‎ 答案：北偏西15°‎ 　　　　 利用正弦、余弦定理解决高度问题是高考考查的一个方面.以实际问题情景为载体考查学生应用知识解决问题的能力.考查频率一般，试题难度中等.‎ ‎[典题领悟]‎ ‎(2018·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 ‎200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m.‎ ‎[思维路径]‎ ‎(结论)求CD→放在△ACD中求解→在Rt△ACD中知∠DAC→(关键点)需再知AC→在△ACM中，易知两角与一边，用正弦定理可解得．‎ 解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝600.在△ACD中，‎ ‎∵tan∠DAC＝＝，‎ ‎∴DC＝600×＝600.‎ 答案：600 ‎[解题师说]‎ 求解高度问题的3个注意点 ‎(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．‎ ‎(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．‎ ‎(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．‎ ‎[冲关演练]‎ ‎(2018·大连大联考)为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝‎40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝‎1 m，则发射塔高AB＝(　　)‎ A．(20＋1)m　　　　　　　 B．(20＋1)m C．‎20 m D．(40＋1) m 解析：选A　如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，‎ 则EF＝BC，BF＝CE＝1，∠AEF＝30°.‎ 在△BCD中，由正弦定理得，‎ BC＝＝＝20.‎ 所以EF＝20，‎ 在Rt△AFE中，AF＝EF·tan∠AEF＝20×＝20，‎ 所以AB＝AF＋BF＝20＋1 (m)．‎ 　　　　 测量距离问题是解三角形实际应用中的考查内容之一，题型主要是选择题、填空题，难度一般.,常见的命题角度有：‎ (1)两点都不可到达；‎ (2)两点不相通的距离；‎ (3)两点间可视但有一点不可到达.‎ ‎[题点全练]‎ 角度(一)　两点都不可到达 ‎1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.‎ 若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________km.‎ 解析：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，‎ ‎∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝ (km)．‎ 在△BCD中，∠DBC＝45°，‎ 由正弦定理，‎ 得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝.‎ 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BCcos 45°‎ ‎＝＋－2×××＝.‎ ‎∴AB＝(km)．∴A，B两点间的距离为 km.‎ 答案： 角度(二)　两点不相通的距离 ‎2.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝.若测得CA＝‎400 m，CB＝‎600 m，∠ACB＝60°，则A，B两点的距离为________m.‎ 解析：在△ABC中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BCcos∠ACB，‎ ‎∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.‎ ‎∴AB＝200 (m)．‎ 即A，B两点间的距离为‎200 m.‎ 答案：200 角度(三)　两点间可视但有一点不可到达 ‎3.如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为‎300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.‎ 解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.‎ 又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.‎ 又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.‎ 在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，‎ ‎∴P，Q两点间的距离为‎900 m.‎ 答案：900‎ ‎[题“根”探求]‎ ‎1．测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何，实质都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形 及其构成元素所知情况不同而已，恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键．‎ ‎2．求距离问题的两个策略 ‎(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．‎ ‎(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1．已知A，B两地间的距离为‎10 km，B，C两地间的距离为‎20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　)‎ A．‎10 km　　　　　　　　 B．‎10 km C．‎10 km D．‎10 km 解析：选D　由余弦定理可得：‎ AC2＝AB2＋CB2－2AB×CB×cos 120°‎ ‎＝102＋202－2×10×20×＝700.‎ ‎∴AC＝10(km)．‎ ‎2．一艘船以每小时‎15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为(　　)‎ A．‎15 km B．‎30 km C．‎45 km D．‎60 km 解析：选B　作出示意图如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，‎ ‎∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.‎ 在△AMB中，由正弦定理，得＝，‎ 解得BM＝30.‎ 　　　　 利用正弦、余弦定理解决角度问题是高考考查的一个方面.以实际问题情景为载体考查学生应用知识解决问题的能力，试题难度中等.‎ ‎[典题领悟]‎ 游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 ‎040 m，BC＝‎500 m，则sin∠BAC等于________．‎ 解析：依题意，设乙的速度为x m/s，‎ 则甲的速度为x m/s，‎ 因为AB＝1 ‎040 m，BC＝‎500 m，‎ 所以＝，解得AC＝1 ‎260 m.‎ 在△ABC中，由余弦定理得，‎ cos∠BAC＝＝＝，‎ 所以sin∠BAC＝＝ ＝.‎ 答案： ‎[解题师说]‎ ‎1．注意解决测量角度问题的3事项 ‎(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．‎ ‎(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．‎ ‎(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．‎ ‎2．掌握解三角形应用题的4步骤 ‎[冲关演练]‎ 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．‎ 解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，‎ 则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.‎ 根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，‎ 解得x＝2.‎ 故AC＝28，BC＝20.‎ 根据正弦定理得＝，‎ 所以sin α＝＝.‎ 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.‎ 普通高中、重点高中共用作业(高考难度一般，无须挖潜)‎ A级——基础小题练熟练快 ‎1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)‎ A．北偏东10°　　　　　　　‎ B．北偏西10°‎ C．南偏东80° ‎ D．南偏西80°‎ 解析：选D　由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.‎ ‎2．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是‎60 m，则河流的宽度BC等于(　　)‎ A．240(－1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m 解析：选C　∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)．‎ ‎3.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B的距离是‎84 m，则塔高CD为(　　)‎ A．‎24 m B．‎12 m C．‎12 m D．‎‎36 m 解析：选C　设塔高CD＝x m，‎ 则AD＝x m，DB＝x m.‎ 又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，‎ 在△ABD中，利用余弦定理，得 ‎842＝x2＋(x)2－2·x2cos 150°，‎ 解得x＝12(负值舍去)，故塔高为‎12 m.‎ ‎4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进‎100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)‎ A．‎50 m B．‎‎100 m C．‎120 m D．‎‎150 m 解析：选A　作出示意图如图所示，设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，在Rt△BCD中，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是‎50 m.‎ ‎5．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)‎ A．10 海里　　　　　　　B．10 海里 C．20 海里 D．20 海里 解析：选A　画出示意图如图所示，易知，在△ABC中，AB＝‎20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，‎ 根据正弦定理得＝，‎ 解得BC＝10(海里)．‎ ‎6.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D 两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　　)‎ A．‎7 km　　　　　　　　　 B．‎‎8 km C．‎9 km D．‎‎6 km 解析：选A　在△ACD中，由余弦定理得：‎ cos D＝＝.‎ 在△ABC中，由余弦定理得：‎ cos B＝＝.‎ 因为∠B＋∠D＝180°，所以cos B＋cos D＝0，‎ 即＋＝0，解得AC＝7.‎ ‎7．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是________ n mile.‎ 解析：如图，在△ABC中，‎ AB＝10，A＝60°，B＝75°，C＝180°－60°－75°＝45°，‎ 由正弦定理，得＝，‎ 所以BC＝＝ ‎＝5(n mile)．‎ 答案：5 ‎8.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20 n mile的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30 min后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向上，则海轮的速度为________n mile/min.‎ 解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以AC＝＝＝10，‎ 所以海轮航行的速度为＝(n mile/min)．‎ 答案： ‎9.某同学骑电动车以‎24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km.‎ 解析：如题图，由题意知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知＝，‎ ‎∴BS＝＝3(km)．‎ 答案：3 ‎10．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶‎600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.‎ 解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，‎ ‎∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.‎ 又AB＝‎600 m，故由正弦定理得＝，‎ 解得BC＝‎300 m.‎ 在Rt△BCD中，‎ CD＝BC·tan 30°＝300×＝100 (m)．‎ 答案：100 B级——中档题目练通抓牢 ‎1．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行‎15 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是(　　)‎ A．‎5 km B．‎‎10 km C．‎5 km D．‎5 km 解析：选C　作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在△ABC中，有∠BAC＝60°－30°＝30°，B＝120°，AC＝15，‎ 由正弦定理，得＝，‎ 即BC＝＝5，即这时船与灯塔的距离是‎5 km.‎ ‎2．地面上有两座相距‎120 m的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为(　　)‎ A．‎50 m,‎100 m B．‎40 m,‎‎90 m C．‎40 m,‎50 m D．‎30 m,‎‎40 m 解析：选B　设高塔高H m，矮塔高h m，在O点望高塔塔顶的仰角为β.‎ 则tan α＝，tan＝，‎ 根据三角函数的倍角公式有＝.①‎ 因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O点望矮塔塔顶的仰角为－β，‎ 由tan β＝，tan＝，‎ 得＝.②‎ 联立①②解得H＝90，h＝40.‎ 即两座塔的高度分别为‎40 m,‎90 m.‎ ‎3.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为‎50 m/min，则该扇形的半径的长度为(　　)‎ A．‎50 m B．‎50 m C．‎50 m D．‎50 m 解析：选B　设该扇形的半径为r，连接CO.‎ 由题意，得CD＝150(m)，OD＝100(m)，∠CDO＝60°，‎ 在△CDO中，由余弦定理得，CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°＝OC2，‎ 即1502＋1002－2×150×100×＝r2，‎ 解得r＝50.‎ ‎4.(2018·惠州调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为‎25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进‎50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.‎ 解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得∠DBA＝135°，∠ADB＝30°.‎ 在△ABD中，根据正弦定理可得＝，‎ 即＝，‎ 所以BD＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝25(－)．‎ 在△BCD中，由正弦定理得＝，‎ 即＝，解得sin∠BCD＝－1.‎ 所以cos θ＝cos(∠BCD－90°)＝sin∠BCD＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎5.(2018·福州质检)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝‎100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为______m/s(精确到0.1)．‎ 参考数据：≈1.414，≈2.236.‎ 解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.‎ 设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v.‎ 在Rt△ADB中，AB＝＝＝200.‎ 在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.‎ 在△ABC中，由余弦定理，‎ 得BC2＝AC2＋AB2－‎2AC·AB·cos∠BAC，‎ 所以(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos 135°，所以v＝≈22.6，‎ 所以这辆汽车的速度约为‎22.6 m/s.‎ 答案：22.6‎ ‎6.一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(2－2)n mile ‎ 到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛 C.‎ ‎(1)求AC的长；‎ ‎(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．‎ 解：(1)由题意，在△ABC中，‎ ‎∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝2－2，BC＝4，‎ 根据余弦定理得，‎ AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC ‎＝(2－2)2＋42＋(2－2)×4＝24，‎ 所以AC＝2.‎ 故AC的长为2 n mile.‎ ‎(2)根据正弦定理得，sin∠BAC＝＝，‎ 所以∠CAB＝45°.‎ ‎7.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝‎100 m和BN＝‎200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了‎100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．‎ 解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100.‎ 连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝100，‎ ‎∴△PQM为等边三角形，‎ ‎∴QM＝100.‎ 在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.‎ 在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，‎ ‎∴BQ＝100，cos θ＝.‎ 在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ＝(100)2，‎ ‎∴BA＝100.‎ 即两发射塔顶A，B之间的距离是‎100 m.‎ C级——重难题目自主选做 如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为‎20 km和‎50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是‎1.5 km/s.‎ ‎(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；‎ ‎(2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离．‎ 解：(1)依题意，有PA＝PC＝x，‎ PB＝x－1.5×8＝x－12.‎ 在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝＝＝.‎ 同理，在△PAC中，AC＝50，‎ cos∠PAC＝＝＝.‎ 因为cos∠PAB＝cos∠PAC，‎ 所以＝，解得x＝31.‎ ‎(2)作PD⊥AC于点D，在△ADP中，‎ 由cos∠PAD＝，得 sin∠PAD＝＝，‎ 所以PD＝PAsin∠PAD＝31×＝4(km)．‎ 故静止目标P到海防警戒线AC的距离为‎4 km.‎