2019届二轮复习　正弦定理、余弦定理及应用[小题提速练]学案（全国通用）

2019届二轮复习　正弦定理、余弦定理及应用[小题提速练]学案（全国通用）

第10练　正弦定理、余弦定理及应用[小题提速练]‎ ‎[明晰考情]　1.命题角度：考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，常与三角恒等变换相结合.2.题目难度：单独考查正弦、余弦定理时，难度中档偏下；和三角恒等变换交汇考查时，中档难度．‎ 考点一　正弦定理、余弦定理 方法技巧　(1)分析已知的边角关系，合理设计边角互化．‎ ‎(2)结合三角函数公式，三角形内角和定理，大边对大角等求出三角形的基本量．‎ ‎1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b等于(　　)‎ A. B. C．2 D．3‎ 答案　D 解析　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 即5＝b2＋22－2×b×2×，‎ 解得b＝3，故选D.‎ ‎2．(2018·全国Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB等于(　　)‎ A．4 B. C. D．2 答案　A 解析　∵cos ＝，‎ ‎∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.‎ 在△ABC中，由余弦定理，‎ 得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，‎ ‎∴AB＝＝4.故选A.‎ ‎3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝_____.‎ 答案　 解析　方法一　由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理，‎ 得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A.‎ ‎∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)．‎ 又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.‎ ‎∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B.‎ 又sin B≠0，∴cos B＝.‎ 又∵B∈(0，π)，∴B＝.‎ 方法二　在△ABC中，由余弦定理，得acos C＋ccos A＝a·＋c·＝b，‎ ‎∴条件等式变为2bcos B＝b，∴cos B＝.‎ 又0＜B＜π，∴B＝.‎ ‎4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2bcsin A，则C＝________.‎ 答案　 解析　由余弦定理，‎ 得a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 所以b2＋c2－2bccos A＝3b2＋3c2－2bcsin A，‎ sin A－cos A＝，2sin＝＝＋≥2，‎ 当且仅当b＝c时，等号成立，因此b＝c，A－＝，所以A＝，‎ 所以C＝＝.‎ 考点二　与三角形的面积有关的问题 要点重组　三角形的面积公式 ‎(1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)．‎ ‎(2)S＝absin C＝bcsin A＝casin B.‎ ‎(3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆的半径)．‎ ‎5．(2018·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　∵S＝absin C＝＝＝abcos C，‎ ‎∴sin C＝cos C，即tan C＝1.‎ 又∵C∈(0，π)，∴C＝.‎ ‎6．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC等于(　　)‎ A．5 B. C．2 D．1‎ 答案　B 解析　∵S＝AB·BCsin B＝×1×sin B＝，‎ ‎∴sin B＝，∴B＝或.‎ 当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；‎ 当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝.‎ ‎7.(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．‎ 答案　 解析　∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，‎ ‎∴由正弦定理得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.‎ 又sin Bsin C＞0，∴sin A＝.‎ 由余弦定理得cos A＝＝＝＞0，‎ ‎∴cos A＝，bc＝＝，‎ ‎∴S△ABC＝bcsin A＝××＝.‎ ‎8．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C＝3acos B－ccos B，·＝2，则△ABC的面积为________．‎ 答案　2 解析　因为bcos C＝3acos B－ccos B，‎ 由正弦定理得sin Bcos C＝3sin Acos B－sin Ccos B，‎ 即sin Bcos C＋sin Ccos B＝3sin Acos B，‎ 所以sin(B＋C)＝3sin Acos B.‎ 又sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，‎ 所以sin A＝3sin Acos B，又sin A≠0，解得cos B＝，‎ 所以sin B＝＝＝.‎ 由·＝2，可得cacos B＝2，解得ac＝6.‎ 所以S△ABC＝ac·sin B＝·6·＝2.‎ 考点三　解三角形中的最值(范围)问题 方法技巧　由余弦定理中含两边和的平方(如a2＋b2－2abcos C＝c2)且a2＋b2≥2ab，因此在解三角形中，若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用S＝absin C型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性．‎ ‎9．在△ABC中，·＝|－|＝3，则△ABC的面积的最大值为(　　)‎ A. B. C. D．3 答案　B 解析　设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，‎ ‎∵·＝|－|＝3，即bccos A＝3，a＝3，‎ ‎∴cos A＝≥1－＝1－，‎ ‎∴cos A≥，∴0＜sin A≤，‎ ‎∴0＜tan A≤.‎ ‎∴△ABC的面积S＝bcsin A＝tan A≤×＝，‎ 故△ABC面积的最大值为.‎ ‎10．已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，其面积满足S△ABC＝a2，则的最大值为(　　)‎ A.－1 B. C.＋1 D.＋2‎ 答案　C 解析　根据题意，有S△ABC＝a2＝bcsin A，即a2＝2bcsin A．应用余弦定理，可得b2＋c2－2bccos A＝a2＝2bcsin A，令t＝，于是t2＋1－2tcos A＝2tsin A．于是2tsin A＋2tcos A＝t2＋1，所以2sin＝t＋，从而t＋≤2，当且仅当A＝时，“＝”成立，解得t的最大值为＋1.‎ ‎11．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，满足cos Asin Bsin C＋cos Bsin Asin C＝2cos Csin Asin B，则C的最大值为______．‎ 答案　 解析　由正弦定理，得bccos A＋accos B＝2abcos C，‎ 由余弦定理，得 bc·＋ac·＝2ab·，‎ ‎∴a2＋b2＝2c2，‎ ‎∴cos C＝＝ ‎＝≥＝，当且仅当a＝b时，取等号．‎ ‎∵00，tan B>0.‎ 所以tan(A－B)＝＝＝≤＝，‎ 当且仅当＝3tan B，即tan B＝时，tan(A－B)取得最大值，所以此时B＝.‎ ‎1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　因为a2＜b2＋c2，‎ 所以cos A＝＞0，所以A为锐角．‎ 又因为a＞b＞c，所以A为最大角，‎ 所以角A的取值范围是.‎ ‎2．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S＋a2＝(b＋c)2，则cos A等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　由S＋a2＝(b＋c)2，得a2＝b2＋c2－2bc·.由余弦定理，可得sin A－1＝cos A，结合sin2A＋cos2A＝1，可得cos A ＝－.‎ ‎3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记S为△ABC的面积，若A＝60°，b＝1，S＝，则c＝______，cos B＝________.‎ 答案　3　 解析　因为A＝60°，b＝1，‎ S＝＝bcsin A＝×1×c×，‎ 解得c＝3.‎ 由余弦定理，可得 a＝＝＝ ，‎ 所以cos B＝＝＝.‎ 解题秘籍　(1)解三角形时要依据三角形的形状及边角大小正确处理多解问题．‎ ‎(2)对已知关系式进行转化时，一定要等价变形，尤其注意式子两边不可随意同除以一个式子．‎ ‎1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝，B＝45°，则角A等于(　　)‎ A．60° B．120°‎ C．90° D．60°或120°‎ 答案　D 解析　由正弦定理可知＝，即＝＝2，所以sin A＝，因为a>b，所以A>45°，所以A＝60°或A＝120°.故选D.‎ ‎2．在△ABC中，若＝3，b2－a2＝ac，则cos B的值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意知，c＝3a，b2－a2＝ac＝c2－2accos B，‎ 所以cos B＝＝＝.‎ ‎3．已知在△ABC中，(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝asin B，其中A，B，C为△ABC的内角，a，b，c分别为A，B，C的对边，则C等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　因为(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝asin B，‎ 所以由正弦定理，可得(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab，‎ 整理得c2＝a2＋b2＋ab，所以cos C＝－，‎ 因为C∈(0，π)，所以C＝.故选B.‎ ‎4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，2b－c＝2acos C，sin C＝，则△ABC的面积为(　　)‎ A. B. C.或 D.或 答案　C 解析　因为2b－c＝2acos C，‎ 所以由正弦定理可得2sin B－sin C＝2sin Acos C，‎ 所以2sin(A＋C)－sin C＝2sin Acos C.‎ 所以2cos Asin C＝sin C，又sin C≠0，‎ 所以cos A＝，‎ 因为0°

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