高考数学一轮复习核心素养测评十三3-1导数与导数的运算文含解析北师大版

高考数学一轮复习核心素养测评十三3-1导数与导数的运算文含解析北师大版

核心素养测评十三　导数与导数的运算 ‎(25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.下列求导运算正确的是 (　　)‎ A.′=1+‎ B.(log2x)′=‎ C.(5x)′=5xlog5x ‎ D.(x2cos x)′=-2xsin x ‎【解析】选B.A.′=1-,故错误;‎ B.符合对数函数的求导公式,故正确;‎ C.(5x)′=5xln 5,故错误;‎ D.(x2cos x)′=2xcos x-x2sin x,故错误.‎ ‎2.若函数f(x)=,则f′(0)等于 (　　)‎ A.1 B‎.0 ‎C.-1 D.-2‎ ‎【解析】选A.函数的导数 f′(x)=,‎ 则f′(0)==1.‎ ‎3.某炼油厂的一个分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5), 那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是 (　　)‎ A.8　　 B. C.-1　　　 D.-8‎ ‎【解析】选C.因为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),‎ ‎ 所以f′(x)=x2-2x=-1, ‎ 又0≤x≤5, 故当x=1时,f′(x)有最小值-1,即原油温度的瞬时变化率的最小值是-1.‎ ‎4.(2020·广元模拟)已知函数f(x)=x2+cos x,则其导函数f′(x)的图像大致是 (　　)‎ ‎【解析】选A.因为f′(x)=x-sin x,这是一个奇函数,图像关于原点对称,故排除B,D两个选项.f′=×-<0,故排除C.‎ ‎5.(2020·新乡模拟)若曲线y=在点处的切线的斜率为,则n= (　　)‎ A.2 B‎.3 ‎C.4 D.5‎ ‎【解析】选D.因为导函数为y′=,‎ 所以y′|x=1==,所以n=5.‎ ‎6.设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a= (　　)‎ A.2　　 B.　　 C.-　　 D.-2‎ ‎【解析】选D.y′==-,‎ ‎=-=-,又因为切线与直线ax+y+1=0垂直,且直线ax+y+1=0的斜率为-a.所以a=-2.‎ ‎7.已知直线y=kx-2与曲线y=xln x相切,则实数k的值为 世纪金榜导学号(　　)‎ A.ln 2　　B‎.1　‎　C.1-ln 2　　D.1+ln 2‎ ‎【解析】选D.设切点为(x0,x0ln x0),‎ 对y=xln x求导数,得y′=ln x+1,‎ 所以切线的斜率k=ln x0+1,‎ 故切线方程为y-x0ln x0=(ln x0+1)(x-x0),‎ 整理得y=(ln x0+1)x-x0,‎ 与直线y=kx-2比较,得k=ln x0+1,x0=2,故k=1+ln 2.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎8.(2019·南昌模拟)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f′(x),且f(ln x)=x+ln x,则f′(1)=　　　　. ‎ ‎【解析】因为f(ln x)=x+ln x,所以f(x)=x+ex,‎ 所以f′(x)=1+ex,所以f′(1)=1+e1=1+e.‎ 答案:1+e ‎9.已知函数y=f(x)的图像在x=2处的切线方程是y=3x+1,则f(2)+f′(2)=　　　　. ‎ ‎【解析】由题意可知f(2)=3×2+1=7, f′(2)=3,所以f(2)+f′(2)=10.‎ 答案:10‎ ‎　【变式备选】‎ ‎　　 如图,y=f(x)是可导函数,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,令g(x)=,则g′(4)=　　　　. ‎ ‎【解析】由题图知,切线过(0,3),(4,5),所以直线l的斜率为=,‎ 由于曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率,所以f′(4)=,f(4)=5.‎ 由g(x)=,得g′(x)=,‎ 故g′(4)==-.‎ 答案:-‎ ‎10.(2018·全国卷II)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为　　　　. 世纪金榜导学号 ‎ ‎【解析】y′=,k==2,所以切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.‎ 答案:y=2x-2‎ ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)已知函数f(x)=x2+2xf′,则f与f的大小关系是 (　　)‎ A.f>f　　　　　 B.f=f C.ff.‎ ‎2.(5分)(2020·阜阳模拟)设点P是曲线y=x3-x+上的任意一点,则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为 (　　)‎ A.∪　　　　　　B.‎ C.∪ D.‎ ‎【解析】选C.因为y′=3x2-≥-,故切线的斜率k≥-,所以切线的倾斜角α的取值范围为∪.‎ ‎3.(5分)(2020·亳州模拟)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+8=0的最短距离是 (　　)‎ A.2 　　　B‎.2　‎　　C.2　　　D.‎ ‎【解析】选A.设M(x0,ln(2x0-1))为曲线上的任意一点,则曲线在点M处的切线与直线2x-y+8=0平行时,点M到直线的距离即为曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+8=0的最短距离.‎ 因为y′=,所以=2,解得x0=1,所以M(1,0).记点M到直线2x-y+8=0的距离为d,则d==2.‎ ‎4.(10分)已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=x2上的两点. 世纪金榜导学号 ‎(1)在曲线y=x2上分别求过点P,Q的切线方程.‎ ‎(2)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.‎ ‎【解析】(1)因为y′=2x,‎ 所以过点P,Q的切线斜率分别为-2,4,‎ 所以过点P的切线方程为:y-1=-2(x+1);‎ 即y=-2x-1;‎ 过点Q的切线方程为:y-4=4(x-2);‎ 即y=4x-4.‎ ‎(2)设切点为,kPQ==1,‎ 因为切线和直线PQ平行,且切线的斜率为2x0,‎ 所以2x0=1,所以x0=,所以切点为,‎ 所以切线方程为y-=x-,即y=x-.‎ ‎5.(10分)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R). 世纪金榜导学号 ‎(1)若函数f(x)的图像过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值.‎ ‎(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.‎ ‎【解析】f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).‎ ‎(1)由题意得 解得b=0,a=-3或a=1.‎ ‎(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,‎ 所以关于x的方程f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,‎ 所以Δ=4(1-a)2+‎12a(a+2)>0,‎ 即‎4a2+‎4a+1>0,所以a≠-.‎ 所以a的取值范围为∪.‎