【数学】2018届一轮复习人教A版第04讲导数中不等式的证明问题的处理学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第04讲导数中不等式的证明问题的处理学案

高考数学热点难点突破技巧第04讲：‎ 导数中不等式的证明问题的处理 ‎【知识要点】‎ 导数中不等式的证明，是历年高考的热点、重点和难点，但是还是有章可循的.常用的方法有：直接求函数的最值、构造函数求函数的最值、构造函数不等式、比较两边函数最值等.‎ ‎【方法讲评】‎ 方法一 直接求函数的最值 使用情景 恒成立或恒成立 解题步骤 一般先求函数最小（大）值，再证明或.‎ ‎【例1】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的极值点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若有两个极值点，证明：．‎ ‎（ⅰ）时， ，‎ 所以取得极小值， 是的一个极小值点． ‎ ‎（ⅱ）时，即时，令，得 显然，，所以 在取得极小值，有一个极小值点． ‎ ‎（ⅲ）时，时，即时，，在是减函数，无极值点．‎ 当时，，令，得 当和时，时，，所以在取得极小值，在取得极大值，所以有两个极值点． ‎ 综上可知：（ⅰ）时，仅有一个极值点； （ⅱ） 当时，无极值点；（ⅲ）当时，有两个极值点． ‎ ‎ ‎ 设 ，‎ 所以时，是减函数，，则 所以得证．‎ ‎【点评】本题的第（2）问就是证明，所以要构造函 ‎，，再利用导数求函数的单调性和最小值即可.学、 ‘’ ‎ ‎【例2】（2016年全国Ⅱ高考）‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，； ‎ ‎(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．‎ ‎【解析】⑴证明：‎ ‎∵当时，‎ ‎∴在上单调递增 ∴时，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎【点评】（1）本题第一问证明不等式，要证明函数，不是很方便.要注意观察，当时，，所以可以把不等式的两边同时除以，得，即证明函数.（2）我们在解答题目时，要注意观察题目，寻找它们之间的内部联系，从而找到解题途径.‎ ‎【反馈检测1】【2017课标3，文21】已知函数 ‎（1）讨论的单调性；（2）当a﹤0时，证明．‎ ‎【反馈检测2】（2016年全国高考III卷）设函数．‎ ‎（I）讨论的单调性；（II）证明当时，；‎ ‎（III）设，证明当时，.‎ 方法二 :Z,xx,k.Com]‎ 构造函数求最值 使用情景 恒成立或恒成立 解题步骤 转化成证明 ‎【例3】已知是自然对数的底数,.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时, 求证：.‎ ‎（2）设,则.设,‎ 则在内单调递增,‎ 当时,. 即,时,.‎ 当时, 在内单调递增. 当,时,, 即 ‎【点评】（1）本题第2问证明，不能理解为左边函数的最小值不大于右边函数的最大值，因为不等式两边的自变量都是，所以它表示当两个函数取相同的自变量时，总是有.(2)这种问题，只好构造函数，求函数的单调性，求函数的最小值，再证明. (3)在本质上，这种方法和第一种方法是一样的，都是转化成函数的最值.学 - ‎ ‎【反馈检测3】已知函数，其中为常数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性； ‎ ‎（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有 ‎.‎ ‎【反馈检测4】已知函数 .‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设，证明：当时， ；‎ ‎（Ⅲ）设是的两个零点，证明 .‎ 方法三 构造函数不等式 使用情景 一般与数列求和和数列不等式证明有关.‎ 解题步骤 一般先观察证明的不等式和已知或前面的结论，构造一个函数不等式，再给赋值，得到一个与有关的不等式，再把这个不等式作为通项，对不等式求和，再分析解答.‎ ‎【例4】已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性与极值点；（2）若，证明：当时， 的图象恒在的图象上方；（3）证明：.‎ ‎【解析】（1），‎ 当时，在上恒成立，‎ 所以在单调递增，此时无极值点.‎ 当时，，在上的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎ ‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知在和上单调递增，在上单调递减.‎ 为极大值点，为极小值点.‎ ‎（3）由（2）知，即，∵，∴，‎ 令，则，∴‎ ‎∴‎ ‎∴不等式成立.‎ ‎ 【点评】(1)本题如果利用第二种方法，构造函数求最值，比较困难，不是很适宜，因为这个函数很复杂. （2）注意观察左边函数是数列的求和，只能把左边数列的通项先进行放缩，才能求和. 怎么放缩，只能利用前面的条件构造一个恰当的不等式，再给赋值把数列的通项进行放缩，再对不等式求和，从而达到解题目标.学 ‎ ‎【反馈检测5】设，曲线在点处的切线与直线垂 直. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对于任意的，恒成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）求证：．‎ ‎【反馈检测6】已知函数 ‎ ‎（1）当时，求的单调递减区间；（2）若当时，恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）求证：‎ 方法四 比较两边函数的最值 使用情景 或，但是不宜按照方法二构造函数求最值.‎ 解题步骤 证明 ‎【例5】已知函数．‎ ‎（1）判断函数的单调性； （2）求证：当时，．‎ ‎【解析】（1）由题得，．‎ 令，则．‎ 当时，，在区间上单调递增；‎ 当时，，在区间上单调递减．‎ ‎∴在处取得唯一的极小值，即为最小值．即，∴，‎ ‎∵，∴．∴，即在区间上是减函数．‎ ‎∴时，． ‎ ‎∴，即．‎ ‎【点评】本题就是证明，因为证明比较困难.到底选方法二还是方法四，需要大家自己去观察分析，熟练生巧.‎ ‎【反馈检测7】已知.‎ ‎（Ⅰ）对一切恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数在区间上的最值；‎ ‎（Ⅲ）证明：对一切，都有成立.‎ 高考数学热点难点突破技巧第04讲：‎ 导数中不等式的证明问题的处理参考答案 ‎【反馈检测1答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；（2）详见解析.‎ ‎（2）由（1）知，当a＜0时，在取得最大值，最大值为.‎ 所以等价于，即 设，则 当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，≤0,.从而当a＜0时，，即.学// -+ ‎ ‎【反馈检测2答案】（I）见解析；（2）见解析；（3）见解析.‎ ‎【反馈检测2详细解析】（1）由题设，的定义域为，令 当时，，单调递增；当时，，单调递减.‎ ‎(2)由（1）知，在处取得最大值，最大值为. 所以当时，.‎ 故当 ‎（3）由题设,设,则.‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减.‎ 由（2）知，，故，又，故当时，.‎ 所以当时，.‎ ‎【反馈检测3详细解析】（1）函数的定义域为.‎ 记，判别式.‎ ‎①当即时，恒成立，，所以在区间上单调递增.‎ ‎②当时，方程有两个不同的实数根，记，，显然.学 · ‎ ‎（ⅰ）若，图象的对称轴，.‎ 两根在区间上，可知当时函数单调递增，，所以，所以在区间上递增.‎ ‎（ⅱ）若，则图象的对称轴，.，所以，当时，，所以，所以在上单调递减.当 或时，，所以，所以在上单调递增.‎ 综上，当时，在区间上单调递增；当时，在上单调递减，在,上单调递增.‎ ‎（2）由（1）知当时，没有极值点，当时，有两个极值点，且 ‎,‎ 记 所以在时单调递增，‎ 所以，所以.‎ ‎【反馈检测4详细解析】（Ⅰ）的定义域为 ，‎ 求导数，得，‎ 若 ，则，此时在上单调递增，‎ 若，则由得，当时， ，当时， ，‎ 此时在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（Ⅱ）令，则 ‎.‎ 求导数，得 ，‎ 当时，，在上是减函数. 而，‎ ‎ ，‎ 故当时， ‎ 由（Ⅱ）得，从而，于是，‎ 由（Ⅰ）知， .学 ‎ ‎【反馈检测5答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）详见解析.‎ ‎【反馈检测5详细解析】‎ ‎（Ⅰ） ‎ 由题设，∴ . ‎ ‎（Ⅱ）,，，即 设，即.‎ ‎ ‎ ①若，，这与题设矛盾 ‎ ②若当,单调递增，，与题设矛盾.‎ ③若当，单调递减，，即不等式成立 综上所述， . ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时, 时, 成立. ‎ ‎ 不妨令所以， ‎ ‎ ‎ ‎…………‎ ‎ 累加可得 ‎ ‎【反馈检测6答案】（1）， （2）（3）详见解析.‎ ‎（3）由（2）知，‎ 取得，即 即.‎ ‎【反馈检测7答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）时，，当时，‎ ‎；（Ⅲ）证明见解析. :学 ]‎ ‎【反馈检测7详细解析】‎ ‎（Ⅰ）对一切恒成立，即恒成立. 也就是在上恒成立.令，则 ‎. 时，，时，. 因此在处取极小值，也是最小值，即，所以.学 ‎ 当时，，因此在上单调递增，故，.‎ ‎（Ⅲ）问题等价于证明，. 由（Ⅱ）知时，的最小值是，当且仅当时取等号. 设，则，易知，当且仅当时取到. 从而可知对一切，都有.‎