【数学】2019届一轮复习人教B版（文）第2章第10节变化率与导数、导数的运算学案

【数学】2019届一轮复习人教B版（文）第2章第10节变化率与导数、导数的运算学案

第十节变化率与导数、导数的运算 ‎1．导数的概念 ‎(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：‎ 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)‎ 或y′，即 f′(x0)＝ ＝ .‎ ‎(2)导数的几何意义：‎ 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．‎ ‎(3)函数f(x)的导函数：‎ 称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．‎ ‎2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝xn(n∈Q*)‎ f′(x)＝n·xn－1‎ f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0)‎ f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，且a≠1)‎ f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ ‎3．导数的运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(3)′＝(g(x)≠0)．‎ ‎1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　)‎ ‎(2)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．(　　)‎ ‎(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)‎ ‎(4)因为(ln x)′＝，所以′＝ln x．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　‎ ‎2．已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于(　　)‎ A．e2　　　　　　　　　 B．e C. D．ln 2‎ 解析：选B　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e.‎ ‎3．下列求导运算正确的是(　　)‎ A.′＝1＋ B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x 解析：选B　′＝x′＋′＝1－；(3x)′＝3xln 3；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x.‎ ‎4．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)‎ A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1‎ C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2‎ 解析：选A　因为y＝1－＝，‎ 所以y′＝＝，y′|x＝－1＝2，‎ 所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，‎ 所以所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.‎ ‎5．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________．‎ 解析：因为y′＝2x－，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y′|x＝1＝2×1－＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.‎ 答案：x－y＋1＝0‎ ‎6．已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－·ex图象的切线，则实数a＝________.‎ 解析：设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－·ex0＝－1，‎ ‎∴ex0＝a，又－·ex0＝－x0＋1，‎ ‎∴x0＝2，a＝e2.‎ 答案：e2‎ 　　　　 ‎[考什么·怎么考]‎ 导数的运算是所有导数问题的基础，高考中直接考查导数运算的题目较少，但凡是涉及导数的问题不用计算导数的也极其罕见.因此，必须牢牢掌握导数的运算法则.‎ ‎1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(　　)‎ A．－e　　　　　　　　 B．－1‎ C．1 D．e 解析：选B　由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，‎ 得f′(x)＝‎2f′(1)＋.‎ 所以f′(1)＝‎2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.‎ ‎2．求下列函数的导数．‎ ‎(1)y＝x2sin x；‎ ‎(2)y＝ln x＋；‎ ‎(3)y＝；‎ 解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′‎ ‎＝2xsin x＋x2cos x.‎ ‎(2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.‎ ‎(3)y′＝′＝＝－.‎ ‎ [怎样快解·准解]‎ ‎1．谨记1个原则 先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．‎ ‎2．熟记求导函数的5种形式及解法 ‎(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；‎ ‎(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；‎ ‎(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；‎ ‎(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；‎ ‎(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．‎ 　　　　 导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度较小，属中低档题.,常见的命题角度有：‎ (1)求曲线的切线方程；‎ (2)求切点坐标；‎ (3)求参数的值(范围).‎ ‎[题点全练]‎ 角度(一)　求曲线的切线方程 ‎1．已知函数f(x)＝ln x－，则函数f(x)的图象在处的切线方程为________．‎ 解析：由f(x)＝ln x－，得f′(x)＝－，‎ 则f′(1)＝1－＝1－＝－，‎ 故所求切线方程为y－＝－(x－1)，‎ 即5x＋4y＋9＝0.‎ 答案：5x＋4y＋9＝0‎ 角度(二)　求切点坐标 ‎2．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为(　　)‎ A．(1,3)　　　　　　　　 B．(－1,3)‎ C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)‎ 解析：选C　f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.‎ 角度(三)　求参数的值(范围)‎ ‎3．(2018·成都诊断)若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)‎ 解析：选D　f′(x)＝＋2ax＝(x＞0)，根据题意有f′(x)≥0(x＞0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x＞0)恒成立，即‎2a≥－(x＞0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．‎ ‎[题“根”探求]‎ 看个性 角度(一)是求曲线的切线方程，其关键是理解导数的几何意义，并能准确求导；‎ 角度(二)是求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点坐标；‎ 角度(三)是求参数的值(范围)，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程 找共性 解决此类问题的先决条件是应先正确求导，再根据其他条件求解，求曲线的切线应注意：‎ ‎(1)“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的切线方程”是不相同的，后者A必为切点，前者未必是切点；‎ ‎(2)曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个 ‎ [冲关演练]‎ ‎1．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是(　　)‎ A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0‎ C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0‎ 解析：选C　因为y＝sin x＋ex，‎ 所以y′＝cos x＋ex，‎ 所以y′|x＝0＝cos 0＋e0＝2，‎ 所以曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.‎ ‎2．(2017·天津高考)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．‎ 解析：因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1.又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．令x＝0，得y＝1.‎ 答案：1‎ ‎3．(2018·云南一检)已知函数f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________.‎ 解析：由题意，得f′(x)＝aln x＋a，所以f′(1)＝a，因为函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以a＝2，又f(1)＝b，则2×1－b＝0，所以b＝2，故a＋b＝4.‎ 答案：4‎ ‎(一)普通高中适用 ‎ A级——基础小题练熟练快 ‎1．已知函数f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)，且f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　)‎ A．－1　　　　　　　　　 B．－2‎ C．2 D．0‎ 解析：选B　f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)＝ax4＋(‎2a＋b)x2＋2b，f′(x)＝4ax3＋2(‎2a＋b)x为奇函数，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.‎ ‎2．已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f′(1)＝－1，则a＝(　　)‎ A．e B. C. D. 解析：选B　因为f′(x)＝，所以f′(1)＝＝－1，所以ln a＝－1，所以a＝.‎ ‎3．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为(　　)‎ A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0‎ C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0‎ 解析：选C　由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.‎ ‎4．曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为(　　)‎ A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0‎ C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0‎ 解析：选C　曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为(0，－1)．‎ 且f′(x)＝2－ex，所以f′(0)＝1.‎ 所以所求切线方程为y＋1＝x，即x－y－1＝0.‎ ‎5．函数g(x)＝x3＋x2＋3ln x＋b(b∈R)在x＝1处的切线过点(0，－5)，则b的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　当x＝1时，g(1)＝1＋＋b＝＋b，‎ 又g′(x)＝3x2＋5x＋，‎ 所以切线斜率k＝g′(1)＝3＋5＋3＝11，‎ 从而切线方程为y＝11x－5，‎ 由于点在切线上，‎ 所以＋b＝11－5，‎ 解得b＝.故选B.‎ ‎6.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．2 D．4‎ 解析：选B　由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处的切线的斜率为－，即f′(3)＝－，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋‎3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.‎ ‎7．已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝________.‎ 解析：∵f′(x)＝－cos x－sin x，‎ ‎∴f(π)＋f′＝－－＝－.‎ 答案：－ ‎8．(2018·东北四市联考)函数f(x)＝exsin x的图象在点(0，f(0))处的切线方程是________．‎ 解析：由f(x)＝exsin x，得f′(x)＝exsin x＋excos x，所以f(0)＝0且f′(0)＝1，则切线的斜率为1，切点坐标为(0,0)，所以切线方程为y＝x.‎ 答案：y＝x ‎9．若函数f(x)在R上可导，f(x)＝exln x＋x‎3f′(1)，则f′(1)＝________.‎ 解析：由已知可得f′(x)＝ex＋3x‎2f′(1)，‎ 故f′(1)＝e＋‎3f′(1)，解得f′(1)＝－.‎ 答案：－ ‎10．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________.‎ 解析：因为y′＝，‎ 所以y′x＝＝－1，由条件知＝－1，‎ 所以a＝－1.‎ 答案：－1‎ B级——中档题目练通抓牢 ‎1．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)‎ A．e B．－e C. D．－ 解析：选C　y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则k＝y′|x＝x0＝，所以切线方程为y－y0＝(x－x0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y0＝1，则x0＝e，所以k＝y′|x＝x0＝＝.‎ ‎2．已知函数f(x)＝aln x＋bx2的图象在点P(1,1)处的切线与直线x－y＋1＝0垂直，则a的值为(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．3 D．－3‎ 解析：选D　由已知可得P(1,1)在函数f(x)的图象上，‎ 所以f(1)＝1，即aln 1＋b×12＝1，解得b＝1，‎ 所以f(x)＝aln x＋x2，故f′(x)＝＋2x.‎ 则函数f(x)的图象在点P(1,1)处的切线的斜率k＝f′(1)＝a＋2，‎ 因为切线与直线x－y＋1＝0垂直，‎ 所以a＋2＝－1，即a＝－3.故选D.‎ ‎3．在直角坐标系xOy中，设P是曲线C：xy＝1(x＞0)上任意一点，l是曲线C在点P 处的切线，且l交坐标轴于A，B两点，则下列结论正确的是(　　)‎ A．△OAB的面积为定值2‎ B．△OAB的面积有最小值为3‎ C．△OAB的面积有最大值为4‎ D．△OAB的面积的取值范围是[3,4]‎ 解析：选A　由题意知，y＝(x＞0)，则y′＝－.‎ 设P，则曲线C在点P处的切线方程为y－＝－(x－a)，‎ 令x＝0可得y＝；令y＝0可得x＝‎2a，‎ 所以△OAB的面积为××‎2a＝2，即定值2.‎ 故选A.‎ ‎4．曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线与曲线g(x)＝ax2－a(a≠0)相切，则a＝________，切点坐标为________．‎ 解析：曲线f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.‎ 设其与曲线g(x)＝ax2－a相切于点(x0，ax－a)．‎ 则g′(x0)＝2ax0＝1，且ax－a＝x0＋1.‎ 解得x0＝－1，a＝－，切点坐标为(－1,0)．‎ 答案：－　(－1,0)‎ ‎5．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为_______．‎ 解析：由y＝x2－ln x，得y′＝2x－(x＞0)，‎ 设点P0(x0，y0)是曲线y＝x2－ln x上到直线y＝x－2的距离最小的点，则y′x＝x0＝2x0－＝1，解得x0＝1或x0＝－(舍去)．‎ ‎∴点P0的坐标为(1,1)．‎ ‎∴所求的最小距离＝＝.‎ 答案： ‎6．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：‎ ‎(1)斜率最小的切线方程；‎ ‎(2)切线l的倾斜角α的取值范围．‎ 解：(1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，‎ ‎∴当x＝2时，y′min＝－1，此时y＝，‎ ‎∴斜率最小时的切点为，斜率k＝－1，‎ ‎∴切线方程为3x＋3y－11＝0.‎ ‎(2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，‎ 又∵α∈[0，π)，∴α∈∪.‎ 故α的取值范围为∪.‎ ‎7．设抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．‎ 解：(1)因为y′＝－2x＋，设切点P的坐标为(x1，y1)，‎ 则解得或 因为切点P在第一象限，所以k＝.‎ ‎(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.‎ 将其代入抛物线方程得，x2－x＋9＝0.‎ 设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，‎ 所以x2＝，y2＝－4.‎ 所以Q点的坐标为.‎ C级——重难题目自主选做 ‎1．已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是(　　)‎ 解析：选A　∵f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos x，∴f′(x)＝x－sin x，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D.又f″(x)＝－cos x，当－＜x＜时，cos ＞，∴f″(x)＜0，故函数y＝f′(x)在区间上单调递减，故排除C，选A.‎ ‎2．若函数f(x)＝2sin x(x∈[0，π))的图象在切点P处的切线平行于函数g(x)＝2的图象在切点Q处的切线，则直线PQ的斜率为(　　)‎ A. B．2‎ C. D. 解析：选A　由题意得f′(x)＝2cos x，g′(x)＝x＋x－.设P(x1，f(x1))，Q(x2，g(x2))，f′(x1)＝g′(x2)，‎ 即2cos x1＝x2＋x－2，故4cos2x1＝x2＋x＋2，‎ 所以－4＋4cos2x1＝x2＋x－2，即－4sin2x1＝x2－x－22，所以sin x1＝0，x1＝0，x2＝x－2，x2＝1，‎ 故P(0,0)，Q，故kPQ＝.‎ ‎(二)重点高中适用 ‎ A级——保分题目巧做快做 ‎1．已知函数f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)，且f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　)‎ A．－1　　　　　　　 B．－2‎ C．2 D．0‎ 解析：选B　f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)＝ax4＋(‎2a＋b)x2＋2b，f′(x)＝4ax3＋2(‎2a＋b)x为奇函数，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.‎ ‎2．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为(　　)‎ A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0‎ C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0‎ 解析：选C　由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.‎ ‎3.已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为(　　)‎ A．3 B．2‎ C．1 D. 解析：选B　因为y＝－3ln x(x>0)，所以y′＝－.再由导数的几何意义，令－＝－，解得x＝2或x＝－3(舍去)．故切点的横坐标为2.‎ ‎4.(2018·湖北百所重点高中联考)已知函数f(x＋1)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．2 D．－2‎ 解析：选A　f(x＋1)＝，故f(x)＝，即f(x)＝2－，对f(x)求导得f′(x)＝，则f′(1)＝1，故所求切线的斜率为1，故选A.‎ ‎5．已知函数f(x)＝aln x＋bx2的图象在点P(1,1)处的切线与直线x－y＋1＝0垂直，则a的值为(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．3 D．－3‎ 解析：选D　由已知可得P(1,1)在函数f(x)的图象上，‎ 所以f(1)＝1，即aln 1＋b＝1，解得b＝1，‎ 所以f(x)＝aln x＋x2，故f′(x)＝＋2x.‎ 则函数f(x)的图象在点P(1,1)处的切线的斜率k＝f′(1)＝a＋2，‎ 因为切线与直线x－y＋1＝0垂直，‎ 所以a＋2＝－1，即a＝－3.故选D.‎ ‎6.已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝________.‎ 解析：∵f′(x)＝－cos x－sin x，‎ ‎∴f(π)＋f′＝－－＝－.‎ 答案：－ ‎7.若函数f(x)在R上可导，f(x)＝exln x＋x‎3f′(1)，则f′(1)＝________.‎ 解析：由已知可得f′(x)＝ex＋3x‎2f′(1)，‎ 故f′(1)＝e＋3×f′(1)，解得f′(1)＝－.‎ 答案：－ ‎8．曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线与曲线g(x)＝ax2－a(a≠0)相切，则a＝________，切点坐标为________．‎ 解析：曲线f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.‎ 设其与曲线g(x)＝ax2－a相切于点(x0，ax－a)．‎ 则g′(x0)＝2ax0＝1，且ax－a＝x0＋1.‎ 解得x0＝－1，a＝－，切点坐标为(－1,0)．‎ 答案：－　(－1,0)‎ ‎9.求下列函数的导数．‎ ‎(1)y＝(1－)；‎ ‎(2)y＝x·tan x；‎ ‎(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；‎ 解：(1)∵y＝(1－)＝－＝x－－x，‎ ‎∴y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－.‎ ‎(2)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′‎ ‎＝tan x＋x·′＝tan x＋x· ‎＝tan x＋.‎ ‎(3)∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)，‎ ‎∴y′＝(x2＋3x＋2)′(x＋3)＋(x2＋3x＋2)(x＋3)′‎ ‎＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2‎ ‎＝2x2＋9x＋9＋x2＋3x＋2‎ ‎＝3x2＋12x＋11.‎ ‎10．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：‎ ‎(1)斜率最小的切线方程；‎ ‎(2)切线l的倾斜角α的取值范围．‎ 解：(1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，‎ ‎∴当x＝2时，y′min＝－1，此时y＝，‎ ‎∴斜率最小时的切点为，斜率k＝－1，‎ ‎∴切线方程为3x＋3y－11＝0.‎ ‎(2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，‎ 又∵α∈[0，π)，∴α∈∪.‎ 故α的取值范围为∪.‎ B级——拔高题目稳做准做 ‎1.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．2 D．4‎ 解析：选B　由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处的切线的斜率为－，即f′(3)＝－，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋‎3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.‎ ‎2.已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为(　　)‎ A．－1 B．－3‎ C．－4 D．－2‎ 解析：选D　∵f′(x)＝，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，‎ 又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.‎ ‎∵g′(x)＝x＋m，‎ 设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，‎ 则有解得m＝－2.‎ ‎3．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．‎ 解析：由y＝x2－ln x，得y′＝2x－(x＞0)，‎ 设点P0(x0，y0)是曲线y＝x2－ln x上到直线y＝x－2的距离最小的点，则y′|x＝x0＝2x0‎ ‎－＝1，‎ 解得x0＝1或x0＝－(舍去)．‎ ‎∴点P0的坐标为(1,1)．‎ ‎∴所求的最小距离＝＝.‎ 答案： ‎4.已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________．‎ 解析：由f(x)＝x3＋ax＋得，f′(x)＝3x2＋a，f′(0)＝a，f(0)＝，‎ ‎∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－＝ax.‎ 设直线y－＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)，‎ g′(x)＝－，‎ ‎∴ 将②代入①得ln x0＝，‎ ‎∴x0＝e，‎ ‎∴a＝－＝－e.‎ 答案：－e－ ‎5.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．‎ ‎(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；‎ ‎(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．‎ 解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．‎ ‎(1)由题意，得 解得b＝0，a＝－3或a＝1.‎ ‎(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，‎ 所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，‎ 所以Δ＝4(1－a)2＋‎12a(a＋2)＞0，‎ 即‎4a2＋‎4a＋1＞0，‎ 所以a≠－.‎ 所以a的取值范围为∪.‎ ‎6．设抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．‎ 解：(1)因为y′＝－2x＋，设切点P的坐标为(x1，y1)，‎ 则解得或 因为切点P在第一象限，所以k＝.‎ ‎(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.‎ 将其代入抛物线方程得，x2－x＋9＝0.‎ 设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，‎ 所以x2＝，y2＝－4.‎ 所以Q点的坐标为.‎