高中数学北师大版新教材必修一同步课件：1-2-1　必要条件与充分条件

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§2 　常用逻辑用语 2.1 　必要条件与充分条件 必备知识 · 自主学习 导思 1.p 是 q 的充分条件的意义是什么 ? 它与判定定理有什么关系 ? 2.q 是 p 的必要条件的意义是什么 ? 它与性质定理有什么关系 ? 3.p 是 q 的充要条件的意义是什么 ? 1. 必要条件、充分条件和充要条件 (1) 定义 命题 真假 “ 若 p, 则 q” 是真命题 “ 若 p, 则 q” 是真命题 “若 q, 则 p” 是真命题 推出 关系 ____ ____, 且 ____ 记作 ____ 条件 关系 q 是 p 的 _________ p 是 q 的 _________ p 是 q 的 _______________ 简称 p 是 q 的 _________ p⇒q p⇒q q⇒p p⇔q 必要条件 充分条件 充分且必要条件 充要条件 (2) 本质 : 必要条件和充分条件揭示了条件与结论之间的逻辑称谓 . (3) 应用 : 充分条件、必要条件是两个常用的逻辑用语 , 数学学科中大量的命题用它们来叙述 . 运用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容 . 　 【 思考 】 命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类 ? 提示 : ① 充分且必要条件 ( 充要条件 ), 即 p ⇒ q 且 q ⇒ p. ② 充分不必要条件 , 即 p⇒q 且 q 推不出 p. ③ 必要不充分条件 , 即 p 推不出 q 且 q⇒p. ④ 既不充分又不必要条件 , 即 p 推不出 q 且 q 推不出 p. 2. 判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系 (1) 数学中的每一条 _____ 定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 . (2) 数学中的每一条 _____ 定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 . 判定 性质 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1) 若 A⊆B, 则“ x∈A” 是“ x∈B” 的充分条件 . ( 　　 ) (2) 如果 p 是 q 的充分条件 , 则 p 是唯一的 . ( 　　 ) (3) 若 q 是 p 的必要条件 , 则说明 q 成立是 p 成立的必要前提 . ( 　　 ) (4) 若 p 是 q 的充要条件 ,q 是 r 的充要条件 , 则 p 是 r 的充要条件 . ( 　　 ) 提示 : (1)√. 根据子集的定义 , 可知若 A ⊆ B, 则“ x∈A” ⇒ “ x∈B”, 所以“ x∈A” 是“ x∈B” 的充分条件 . (2) × . 不唯一 , 如 x>3,x>5,x>10 等都是 x>0 的充分条件 . (3)√ . 例如对于“若 p, 则 q” 形式的命题 , 如 :x 是有理数 , 则 x 是实数 .q 是 p 的必要条件 ,q 成立 ( 即 x 是实数 ) 是 p 成立 ( 即 x 是有理数 ) 的必要前提 . (4)√. 因为 p⇔q,q⇔r, 所以 p⇔r, 所以 p 是 r 的充要条件 . 2.( 教材二次开发 : 例题改编 ) 在平面内 , 下列是“四边形是矩形”的充分条件的是 ( 　　 ) A. 四边形是平行四边形且对角线相等 B. 四边形两组对边相等 C. 四边形的对角线互相平分 D. 四边形的对角线垂直 【 解析 】 选 A. 因为对角线相等的平行四边形是矩形 , 所以“四边形是平行四边形且对角线相等”是“四边形是矩形”的充分条件 . 3.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 用“充分条件”“必要条件”或“充要条件”填空 : (1)“x∈Q” 是“ x∈R” 的 　　　　 ;  (2)“x<5” 是“ x<0” 的 　　　　 ;  (3)“x=1” 是“ x 2 -2x+1=0” 的 　　　　 .  【 解析 】 (1)x∈Q ⇒ x∈R 但 x∈R 推不出 x∈Q, 所以“ x∈Q” 是“ x∈R” 的充分条件 . (2)“x<5” 推不出“ x<0” 但“ x<0”⇒“x<5”, 所以“ x<5” 是“ x<0” 的必要条件 . (3) 当 x=1 时 ,x 2 -2x+1=0 成立 , 由 x 2 -2x+1=0, 解得 x=1, 所以“ x=1” 是“ x 2 -2x+1=0” 的充要条件 . 答案 : (1) 充分条件　 (2) 必要条件　 (3) 充要条件 关键能力 · 合作学习 类型一　必要条件 ( 逻辑推理 ) 【 典例 】 1. 设集合 A={x|x≤1},B={x|x≥a}, 则“ A∪B=R” 是“ a=1” 的 　　　　 条件 .( 从“充分”或“必要”中选一个填写 )  2. 判断下列各组中 , 是否有 p⇒q 或 q⇒p 成立 , 并用必要条件的语言表述 : (1)p:a 和 b 都是偶数 ,q:a·b 是偶数 . (2)p:△ABC 是等边三角形 ,q:△ABC 是等腰三角形 . (3)p: = ,q:x=y. (4)p: 关于 x 的方程 ax+b=0(a,b∈R) 有唯一解 ,q:a>0. 【 思路导引 】 1. 根据“ A∪B=R” 求出 a 的取值范围 , 进而得到推出关系 , 最后作出判断 . 2. 根据必要条件的定义进行表述 . 【 解析 】 1. 因为集合 A={x|x≤1},B={x|x≥a}, 当 A∪B=R 时 ,a≤1, 因为 a≤1 不一定得到 a=1, 当 a=1 时一定可以得到 a≤1, 所以“ A∪B=R” 是“ a=1” 的必要条件 . 答案 : 必要 2.(1)p⇒q, 但是 q 不能推出 p, 所以 q 是 p 的必要条件 . (2)p⇒q, 但是 q 不能推出 p, 所以 q 是 p 的必要条件 . (3)p⇒q, 但 q 不能推出 p, 所以 q 是 p 的必要条件 . (4)p 不能推出 q,q⇒p, 所以 p 是 q 的必要条件 . 　 　 【 变式探究 】 将本例 2(3) 改为“ p:x=y,q: = ”, 结果又如何 ? 【 解析 】 因为当 x=y<0 时 , , 无意义 , 所以 p 不能推出 q, 但 q⇒p, 所以 p 是 q 的必要条件 . 　 【 解题策略 】 必要条件的两种判断方法 (1) 定义法 : (2) 命题判断方法 : 如果命题 :“ 若 p, 则 q” 是真命题 , 则 q 是 p 的必要条件 ; 如果命题 :“ 若 p, 则 q” 是假命题 , 则 q 不是 p 的必要条件 . 【 跟踪训练 】 1. 使 |x|=x 成立的一个必要条件是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.x<0 B.x≥-1 C.x>0 D.x≤-1 【 解析 】 选 B. 因为 |x|=x ⇒ x≥0 ⇒ x≥-1, 所以使 |x|=x 成立的一个必要条件是 x≥-1. 2. 将下面的性质定理写成“若 p, 则 q” 的形式 , 并用必要条件的语言表述 : (1) 等腰梯形的两条对角线相等 ; (2) 两个全等三角形对应边上的中线相等 . 【 解析 】 (1)“ 等腰梯形的两条对角线相等”可表述为“若一个四边形是等腰梯形 , 则这个四边形的两条对角线相等” , 所以“两条对角线相等”是“四边形为等腰梯形”的必要条件 . (2)“ 两个全等三角形对应边上的中线相等”可表述为“若两个三角形全等 , 则这两个三角形对应边上的中线相等” , 所以“对应边上的中线相等”是“两个三角形全等”的必要条件 . 　 【 补偿训练 】 　　　下列“若 p, 则 q” 形式的命题中 , 哪些命题中的 q 是 p 的必要条件 ? (1) 若 a 是 1 的平方根 , 则 a=1. (2) 若 4x 2 -mx+9 是完全平方式 , 则 m=12. (3) 若 a 是无理数 , 则 a 是无限小数 . (4) 若 a 与 b 互为相反数 , 则 a 与 b 的绝对值相等 . 【 解析 】 (1) 因为 1 的平方根是 ± 1, 所以 p 不能推出 q, 所以 q 不是 p 的必要条件 . (2) 因为 4x 2 -mx+9=(2x ± 3) 2 , 所以 m= ± 12, 所以 p 不能推出 q, 所以 q 不是 p 的必要条件 . (3) 因为无理数是无限不循环小数 , 所以 p⇒q, 所以 q 是 p 的必要条件 . (4) 若 a 与 b 互为相反数 , 则 a 与 b 的绝对值相等 , 所以 p⇒q, 所以 q 是 p 的必要条件 . 类型二　充分条件 ( 逻辑推理 ) 【 典例 】 1. 使 x(y-2)=0 成立的一个充分条件是 ( 　　 ) A.x 2 +(y-2) 2 =0 B.(x-2) 2 +y 2 =0 C.(x+1) 2 +y 2 =0 D.(x-1) 2 +(y+2) 2 =0 2. 设集合 M={x|0B,q:BC>AC. (4)p: 四边形 ABCD 是正方形 ,q: 四边形 ABCD 是菱形 . 【 思路导引 】 1. 根据题意 , 原题可改写为“ ( 　　 ) 是 x(y-2)=0 的充分条件” ; 2. 依据充分条件、必要条件的定义判断 ; 3. 依据充分条件、必要条件的定义 , 结合相关知识逐个判断 . 【 解析 】 1. 选 A.x 2 +(y-2) 2 =0 ⇒ x=0 且 y=2 ⇒ x(y-2)=0, 所以 x 2 +(y-2) 2 =0 是 x(y-2)=0 的充分条件 . 2. 由题意得 ,M∪N=N, 所以“ a∈M”⇒“a∈N”, 所以“ a∈M” 是“ a∈N” 的充分条件 . 答案 : 充分 3.(1) 若 x=1,y=-1, 则 |x|=|y|, 但 x≠y, 所以 p 不能推出 q, 但 q⇒p, 所以 p 是 q 的必要条件 . (2) 由 (a-2)(a-3)=0 可以推出 a=2 或 a=3, 不能推出 a=3, 因此 p 不能推出 q, 但 q⇒p, 所以 p 是 q 的必要条件 . (3) 由三角形中大角对大边可知 , 若 A>B, 则 BC>AC. 因此 p⇒q, 反之 q⇒p, 所以 p 是 q 的充分条件 ,p 也是 q 的必要条件 . (4) 由菱形和正方形的定义可知 , 所有的正方形都是菱形 ,p⇒q, 但 q 不能推出 p, 所以 p 是 q 的充分条件 . 　 【 解题策略 】 充分条件的两种判断方法 (1) 定义法 : (2) 命题判断方法 : 如果命题 :“ 若 p, 则 q” 是真命题 , 则 p 是 q 的充分条件 ; 如果命题 :“ 若 p, 则 q” 是假命题 , 则 p 不是 q 的充分条件 . 【 跟踪训练 】 1. 设 a,b∈R, 则“ (a-b)a 2 <0” 是“ a0. (2)p:a,b∈R,|a-b|=|a|+|b|,q:a,b∈R,ab<0. (3)p:x 1 ,x 2 是方程 x 2 +5x-6=0 的两个实数根 ,q:x 1 +x 2 =-5. (4)p:A⊆B,q:A∩B=A. 【 解析 】 (1) 因为由 x≠0 不能推出 x+|x|>0, 如 x=-1 时 ,x+|x|=0, 但 q ⇒ p, 所以 p 是 q 的必要条件 . (2) 当 a=b=0 时 ,p 成立但 q 不成立 , 故 p 不能推出 q, 但 q⇒p, 所以 p 是 q 的必要条件 . (3) 由根与系数的关系知 p⇒q 但 q 不能推出 p, 所以 p 是 q 的充分条件 . (4) 由 A⊆B, 得 A∩B=A; 反过来 , 由 A∩B=A, 且 (A∩B)⊆B, 得 A⊆B, 所以 p⇒q 且 q⇒p, 所以 p 是 q 的充分条件 ,p 也是 q 的必要条件 . 【 补偿训练 】 　　　下列“若 p, 则 q” 形式的命题中 , 哪些命题中的 p 是 q 的充分条件 ? (1) 若 x 2 =y 2 , 则 x=y. (2) 若内错角相等 , 则两直线平行 . (3) 若整数 a 能被 4 整除 , 则 a 的个位数字为偶数 . (4) 若 (x-1) 2 +(y-2) 2 =0, 则 (x-1)(y-2)=0. 【 解析 】 (1) 若 x 2 =y 2 , 则 x=y 或 x=-y, 因此 p 不能推出 q, 所以 p 不是 q 的充分条件 . (2) 若内错角相等 , 则两直线平行是真命题 , 所以 p⇒q, 所以 p 是 q 的充分条件 . (3) 若整数 a 能被 4 整除 , 则 a 是偶数 , 所以 a 的个位数字为偶数 ; 所以 p⇒q, 所以 p 是 q 的充分条件 . (4) 因为 (x-1) 2 +(y-2) 2 =0⇒x=1 且 y=2 ⇒(x-1)·(y-2)=0, 所以 p⇒q, 所以 p 是 q 的充分条件 . 类型三　用集合观点解充分条件、必要条件问题 ( 逻辑推理、直观想象 ) 　角度 1 　判断充分条件、必要条件  【 典例 】 设集合 A={x|-1≤x<3}, 集合 B={x|0a,q:x>3. (1) 若 p 是 q 的必要不充分条件 , 求 a 的取值范围 . (2) 若 p 是 q 的充分不必要条件 , 求 a 的取值范围 . (3) 若 a 是方程 x 2 -6x+9=0 的根 , 判断 p 是 q 的什么条件 . 【 思路导引 】 将 p 与 q 的条件关系转换为相应集合的关系 , 求 a 的取值范围 . 【 解析 】 设 A={x|x>a},B={x|x>3}. (1) 若 p 是 q 的必要不充分条件 , 则有 B A, 所以 a<3. (2) 若 p 是 q 的充分不必要条件 , 则有 A B, 所以 a>3. (3) 因为方程 x 2 -6x+9=0 的根是 3, 所以 a=3, 于是有 A=B, 所以 p 是 q 的充要条件 . 　 　 【 变式探究 】 将本题条件改为“ p: ≤2,q:x≤a”, 第 (2) 问如何解答 ? 【 解析 】 设 A={x| ≤2},B={x|x≤a}, 则 A={x|-2≤x≤2}, 若 p 是 q 的充分不必要条件 , 则有 A B, 所以 a≥2. 【 解题策略 】 从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 p:A={x|p(x) 成立 },q:B={x|q(x) 成立 }. 若 A⊆B, 则 p 是 q 的充分条件 , 若 A B, 则 p 是 q 的充分不必要条件 若 B⊆A, 则 p 是 q 的必要条件 , 若 B A, 则 p 是 q 的必要不充分条件 若 A=B, 则 p,q 互为充要条件 若 A⊈B 且 B⊈A, 则 p 既不是 q 的充分条件 , 也不是 q 的必要条件 【 题组训练 】 1.“00),q: 实数 x 满足 20 ” 是 “ |a|>0 ” 的 ( 　　 ) A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 【 解析 】 选 A. 因为 a>0 ⇒ |a|>0,|a|>0 ⇒ a>0 或 a<0, 即 |a|>0 不能推出 a>0, 所以“ a>0” 是“ |a|>0” 的充分条件 . 2. 集合 A,B 之间的关系如图所示 ,p:a∈ ∁ U B,q:a∈A, 则 p 是 q 的 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【 解析 】 选 B. 由题意可知 ,A ∁ U B, 所以 p q, 但 q⇒p, 所以 p 是 q 的必要条件 . 3.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 请用“充分”“必要”“充要”“既不充分又不必 要”填空 : (1)“m=1” 是“函数 y= 为二次函数”的 　　　 条件 .  (2)“△ABC 是锐角三角形”是“∠ ABC 为锐角”的 　　　 条件 .  【 解析 】 (1) 当 m=1 时 , 函数 y=x 2 为二次函数 . 反之 , 当函数 y= 为二次函数时 , m 2 -4m+5=2, 解得 m=3 或 m=1, 所以 m=1 是函数 y= 为二次函数的充分不必要条件 . (2) 三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形 , 所以△ ABC 是锐角三角形⇒∠ ABC 为锐角 , ∠ABC 为锐角不能推出△ ABC 是锐角三角形 , 所以△ ABC 是锐角三角形是∠ ABC 为锐角的充分不必要条件 . 答案 : (1) 充分　 (2) 充分 4.“ 反比例函数 y= 的图象与函数 y=x 的图象没有公共点”的充要条件是 “ k∈A”, 则集合 A= 　　　 .  【 解析 】 分 k>0 和 k<0 两种情况分别画出反比例函数 y= 与函数 y=x 的图象 , 如图 所示 , 由图可知 , 若它们的图象没有公共点 , 则 k<0, 即符合题意的集合 A= . 答案 : 5. 下列各题中 , 哪些 p 是 q 的充要条件 ? (1)p: 同旁内角互补 ,q: 两直线平行 ; (2)p:x 2 =y 2 ,q:x+y=0; (3)p:m<-2,q: 方程 x 2 -x-m=0 无实根 . 【 解析 】 (1) 两直线平行 , 同旁内角互补是真命题 , 此命题的逆命题也是真命题 , 所以 p ⇔ q, 所以 p 是 q 的充要条件 . (2) 由 x 2 =y 2 可推出 x+y=0, 或 x-y=0, 推不出 x+y=0, 所以 p 不是 q 的充要条件 . (3) 方程 x 2 -x-m=0 无实根等价于 Δ =1-4 × (-m)<0, 所以 m<- . m<-2⇒m<- ,m<- m<-2, 所以 p 不是 q 的充要条件 .