江西省上饶市重点中学2019届高三六校第二次联考 数学（理）试卷（PDF版）

江西省上饶市重点中学2019届高三六校第二次联考 数学（理）试卷（PDF版）

- 1 - 上饶市重点中学 2019 届高三六校第二次联考 （上饶市一中、上饶市二中、上饶县中、玉山一中、余干中学、天佑中学） 理科数学 命题学校：上饶市一中 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码贴在指定位置； 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．已知 i 是虚数单位，则 i i 1 2 （ ） A． i1 B． i1 C． i1 D． i1 2．已知函数 1ln)(  xxxf ，则该函数在点 ))1(,1( f 处的切线方程为（ ） A． xy  B． 1 xy C． 1 xy D． 1y 3．已知 4 1sin x ， x 为第二象限角，则 x2sin （ ） A． 16 3 B． 8 15 C． 8 15 D． 8 15 4．已知命题 p： }03 2|{   x xxA ，命题 q： }),2lg(|{ RaaxyxB  .若命题 q 是 p 的必要不充分 条件，则 a 的取值范围是（ ） A． 4a B． 4a C． 4a D． 4a 5．已知  4 0 xdxn ，则二项式 )0()1( 3  xxx n 展开式中的常数项为（ ） A．8 B．28 C．56 D．120 6．将函数 )0(cossin3)(   xxxf 的图像向左平移 4  个单位后与原函数的图像重合，则实数 的 值可能是（ ） A．6 B．10 C．12 D．16 7．已知函数 )(xf 是定义域为 R 上的偶函数，若 在 ]0,( 上是减函数，且 1)2 1( f ，则不等式 1)(log4 xf 的解集为（ ） A． ),2()2 2,0(  B． )2 2,0( C． ),2()2 1,0(  D． ),2(  8．在 ABC 中，内角 CBA ,, 所对的边分别是 cba ,, ，已知 ,3,2  Cc 且 ABC 面积为 3 .现有一只 蚂蚁在 内自由爬行，则某一时刻该蚂蚁与 的三个顶点的距离都不小于 1 的概率为（ ） A． 6 36  B． 6 3 C． 4 34  D． 4 3 9．某校在“数学联赛”考试后选取了 6 名教师参加阅卷，试卷共 4 道解答题，要求将这 6 名教师分成 4 组， 每组改一道解答题，其中 2 组各有 2 名教师，另外 2 组各有 1 名教师，则不 同的分配方案的种数是（ ） - 2 - A．216 B．420 C．720 D．1080 10．已知线段 AB 的长为 6，以 为直径的圆有一内接四边形 ABCD ，其中 CDAB // ，则这个内接四 边形的周长的最大值为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 11．如图所示的框图功能为“求出某函数精确到 的零点”，则图中的空白处应依次填入的是（ ） A． 0)()( 01 xfxf ，  21 xx B． 0)()( 01 xfxf ， C． 0)()( 01 xfxf ，  21 xx D． 0)()( 01 xfxf ，  21 xx 12．过 ABC 的重心G 作直线l ，已知 与 AB 、 AC 的交点 分别为 M 、N ， 9 20   AMN ABC S S ,若 ABAM  ,则实数 的 值为（ ） A． 3 2 或 5 2 B． 4 3 或 5 3 C． 或 5 2 D． 3 2 或 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． 13．某志愿者协会组织 50 名志愿者参加服务活动，对活动次数统计 如表，则平均每人参加活动的次数为 . 次数 2 3 4 5 人数 20 15 10 5 14．若变量 yx, 满足约束条件       012 0 0 yx yx x ，则 yxz  3 的最大值为_____. 15．已知点 21,,, FFBA 分别是椭圆 )1(12 2 2  aya x 的右顶点、下顶点、左焦点和右焦点，点 NM, 是 椭圆上任意两点，若 MAB 的面积最大值为 12  ，则 ||9|| |||| 21 21 NFNF NFNF   的最大值为________. 16．已知函数      0),(log 0,2)( 2 xx xxf x 若关于 x 的方程 0)(2)(2  mxfxf 有三个不同的实根，则 m 的取值范围为____________. - 3 - 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共 70 分． （一）必考题：共 60 分 17．（本小题满分 12 分） 已知数列 na 满足对任意的正整数 ,nk都有 2 ( )n k n k na a a n k   ，且该数列前三项依次为 1 12 x ， x 10 ， x 12 ，又已知数列 nb 的前 n 项和为 nS ，且 11 b ， 1nb (n≥1) （1）求 ， 的通项公式; （2）令 nnn bac  ，求数列 nc 的前 n 项和 nT . 18．（本小题满分 12 分） 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为梯形，AB//CD，AC=2BC，AB= 32，BC= 6 ，CD= 2 ,PC= 3 2 . （1）在线段 PB 上有一个动点 E，满足 BE BP  且 CE//平面 PAD，求实数 的值; （2）已知 AC 与 BD 的交点为 M，若 PM= 3 2 ，且平面 PAC  平面 ABCD，求二面角 B-PC-A 平面角的余弦值. 19．（本小题满分 12 分） 微信作为一款社交软件已经在支付，理财，交通，运动等各方 面给人的生活带来各种各样的便利。手机微信中的“微信运动”，不仅可以看自己每天的运动步数，还可 以看到朋友圈里好友的步数．A 先生朋友圈里有大量好友使用了“微信运动”这项功能。他随机选取了其 中 40 名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示： 步数 性别 (0,2000) [2000,4000) [4000,6000) [6000,8000) [8000,10000)  10000, 男 1 3 4 6 4 2 女 2 4 5 5 3 1 （1）以样本估计总体，视样本频率为概率，在 A 先生的微信朋友圈里的男性好友中任意选取 3 名，其 中走路步数不低于 6000 步的有 X 名，求 的分布列和数学期望； （2）如果某人一天的走路步数不低于 8000 步，此人将被“微信运动”评定为“运动达人”，否则为“运动 鸟人”．根据题意完成下面的 22 列联表，并据此判断能否有 90％以上的把握认为“评定类型”与“性 别”有关？ 运动达人 运动鸟人 总计 男 女 总计 附：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ．  2 0P K k 0．10 0．05 0．025 0．01 0k 2．706 3．841 5．024 6．635 20．（本小题满分 12 分） - 4 - 如图所示已知抛物线  2: 2 0C y px p的焦点为 F ，准线为l ，过点 M(1,0)的直线交抛物线C 于  11,A x y ，  22,B x y 两点．且3OF FM . （1）求抛物线方程； （2）若点 B 在准线 l 上的投影为 E ，D 是 C 上一点，且 0AD EF，求 ABD△ 面积的最小值及此时 直线 AD 的方程． 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) ( 0), ( ) 2ln ( )xf x x x g x ax x a R      （1）若函数 ()gx在 1x  处取得极值，求实数 a 的值; （2）若 / / ()[ln ( )] () fxfx fx ，且函数 / ()( ) ( ) () fxx g x fx  的图像恒在 1y 图像下方，求实数 的取值范围; （3）证明: 2019 20182018 2019 。 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 二题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多 做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 5(4, )4A  ，曲线 E 的极坐标方程为  cos2cos2 a )0( a ，过点 A 作直线 3 ()4 R的垂线l ，分别交曲线 E 于 CB, 两点. （1）写出曲线 E 和直线 l 的直角坐标方程； （2）若 ACBCAB ,, 成等比数列，求实数 a 的值. 23．[选修 4—5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 已知函数 1( ) ln ( , 0)f x x a x a R aa       . （1）当 1a  时，求不等式 ( ) 1fx 的解集; （2）若 ( ) ( ) 21f x f xe e m   对任意的实数x 和任意非零实数 a 恒成立，求实数 m 的取值范围. - 5 - 上饶市重点中学 2019 届高三六校第二次联考 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B B B D C A D A C B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． 13. 3 14. 2 15. 1 4 16. (－∞，－3] 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.解:（1）由题意数列 na 为等差数列，故 1 12 x + x 12 = x 20 ，解得 x=2 1 分  1a =4，d=1， na =n+3 3 分 由 1nb nS (n≥1)可知 nb 1-nS （n≥2），两式相减得 2 nb (n≥2) 4 分 当 n=1 时， 1 1b  ，当 n≥2 时， 2 1 1 1b s b   , nb = 2 2 nbq = 22n 2 11 22n n nb n   6 分 （2）由题意当 n=1 时， 1 1 1 4 1 4c a b     ，当 n≥2 时， 2( 3) 2n ncn    7 分 得 nT =4+5+6×2¹+…+（n+3） 22  n 2 = 8+5×2¹+…+（n+2） +（n+3） 12  n 8 分 两式相减得： 1 1 2 2 1 11 (1 2 )(1 2 2 2 ) ( 3) 2 ( 3) 212 n n n n nT n n                 = 1( 2) 2 1nn     10 分  1( 2) 2 1n nTn     12 分 18.解：（1）延长 AD、BC 交于点 N，连接 PN ∵CE∥平面 PAD ∴CD∥PN 1 ∵AB∥CD ∴ 3 1 AB CD BN CN 3 ∴ 3 2 BN BC BP BE 5 - 6 - （2）由题 AB⊥BC，AC= 62 ，BD= 22 ∵AB∥CD ∴ MB DM AM CM AB CD  ∴ 2 6CM ， 2 2DM 6 由勾股定理 AC⊥BD，又∵PM= 3 2 ，PC= 3 2 ，同理 PM⊥AC 又∵ 平面 PAC⊥平面 ABCD，且平面 PAC 平面 ABCD=AC, ∴ PM⊥平面 ABCD 从而直线 PM,直线 AC,直线 BD 相互垂直， 7 以 M 为原点，分别以 MA，MB，MP 为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 易得 B       02 230 ，， ，C       0,02 6 ，- ， 易知 MB⊥平面 PAC，∴平面 PAC 的法向量为 MB = 8 设平面 PBC 的法向量为 ( , , )n x y z ，易得 BC       02 23 2 6 ，， ， PC =       2 302 6 ，， 从而 0 0 n BC n PC    解得 3 , 2x y z x    ， 9 令 1y  可得 n =  31 6 ，， ，则 cos nMB, = 10 10- ， 11 所以二面角 B-PC-A 平面角的余弦值为 10 10 12 19.解：（1）在小明的男性好友中任意选取 1 名，其中走路步数不低于 6000 的概率为12 3 20 5 X 可能取值分别为 0，1，2，3， 1 分 ∴ 30 0 3 2 3 8( 0) 5 5 125P X C             ， 21 1 3 2 3 36( 1) 5 5 125P X C             ， 12 2 3 2 3 54( 2) 5 5 125P X C             ， 03 3 3 2 3 27( 3) 5 5 125P X C             ， 5 分 的分布列为 0 1 2 3 P 8 125 36 125 54 125 27 125 则 8 36 54 27 9( ) 0 1 2 3125 125 125 125 5EX          ． (或者写成 3(3, )5XB 39( ) 3 55EX    ) 6 分 - 7 - （2）完成 22 列联表 运动达人 运动鸟人 总计 男 6 14 20 女 4 16 20 总计 10 30 40 2k 的观测值 2 0 40 (6 16 4 14) 8 0.53 2.70610 30 20 20 15k          ． 11 分 据此判断没有 90％以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关． 12 分 20.解：（1）依题意 ,02 pF   ， 3OF FM  3 OF FM 1 分 即 3122 pp   ，即 21p  2 分 1 2p 3 分 所以抛物线方程 2yx ． 4 分 （2）设 00( , )D x y ，  2 ,B t t ，则 1( , )4Et ，又由 12 1xx  ，可得 2 11,A tt  因为 2EFkt ， AD EF ，所以 1 2ADk t ，故直线 2 1 1 1: 2AD y xtt t    ， 5 分 由 2 2 12 2 0 yx x ty t       ，得 2 2 12 2 0y ty t    ，所以 1 0 1 0 2 12 , 2y y t y y t     ． 7 分 所以 2 2 2 2 2 1 0 1 0 1 0 2 1| | 1 | | 1 4 ( ) 4 2 1 4 24 tAD y y t y y y y t t t           8 分 设点 B 到直线 AD 的距离为 d ，则 2 2 2 22 22 11| 2 2 | | 2 | 1 4 1 4 t t tttd tt        ， 9 分 所以 3 2 2 11282ABDS AD d t t      △ ，当且仅当 4 1t  ，即 1t  10 分 1 : 2 3 0t AD x y   时，直线 的方程为 ， 11 分 1 : 2 3 0t AD x y    时，直线 的方程为 ． 12 分 - 8 - 21.解:(1) / 2()g x ax 1 分 ∵ ()gx在 1x  处取得极值 ∴ / (1) 0g  ,即 20a ∴ 2a  2 分 此时 ，又当 0＜x＜1 时， / ( ) 0gx 当 x＞1 时， / ( ) 0gx ∴ 1 是 g(x)的极小值点。即 符合题意 3 分 综上所述： 4 (2) ( ) ( 0)xf x x x 两边同时取对数 得:ln ( ) ln lnxf x x x x   5 分 两边同时求导 得:   / // ( ) 1[ln ( )] ln ln 1 ln() fxf x x x x x xf x x        / ()( ) ( ) 2ln 1 ln ln 1 ( 0)() fxx g x ax x x x ax xfx            由题意可得 ( ) 1x  在 (0, )x   上恒成立， 即 ln 1 1x ax    ln 0x ax   即 ln x ax ， 又∵ ln xa x 在 上恒成立 6 分 构造函数 ln( ) ( 0)xh x xx 则 / 2 1 ln() xhx x  7 分 令 / ( ) 0hx ，得 0 xe，∴ ()hx在 (0, )e 上为增函数； 令 / ( ) 0hx ，得 xe ， ∴ 在 ( , )e  上为减函数． ∴ max 1( ) ( )h x h e e 1a e 8 分 (3)由(2)知 在 上为减函数． ∴当 ( , )xe  时必有 ( ) ( 1)h x h x，即 ln ln( 1) 1 xx xx   9 分 不等式两边同乘以 ( 1)xx - 9 - ∴ ( 1)ln ln( 1)x x x x   ，即 1ln ln( 1)xxxx  10 分 ∴ 1 ( 1)xxxx  11 分 令 x＝2 018，得 2019 20182018 2019 12 分 22．解：（1）由  cos2cos2 a ,得  cos2cos222 a . 1 分 得曲线 E 的直角坐标方程为 )0(22  aaxy . 2 分 5(4, )4A  的直角坐标为 ( 2 2, 2 2)A  3 分 又直线 l 的斜率为1，且过点 A，故直线l 的直角坐标方程为 0xy.……4 分（2）在直角坐 标系 xoy中，直线 l 参数方程为 222 2 222 2 xt yt         (t 为参数)， 5 代入 axy 22  得 2 (8 2 ) 16 8 0t a t a     6 分 ∴ 1 2 1 28 2 16 8t t a t t a     7 分 ∵ ACABBC 2 ， 21 2 21 )( tttt  ，即 21 2 21 5)( tttt  8 分 2 2 4 0 1 5a a a     ，解得 9 分 0,a  15a   10 分 23.解：（1）当 1a  时，  ( ) ln 1 1f x x x    ， 若 ( ) 1fx ，则 ( ) lnf x e ，所以 1 1 exx   ＞ 1 分 令 ( ) 1 1g x x x    ，则 -2 , 1 ( ) 2, 1 1 2 , 1 xx g x x xx        3 分 所以 ( ) egx＞ 的解集为   22 exexx -＜或＞丨 ， - 10 - 即不等式 ( ) 1fx 的解集为   22 exexx -＜或＞丨 5 分 （2）由题 ()=fxe 1x a x a   ， ()=fxe  1-+x a x a ， 6 分 ( ) ( ) =f x f xee + a2 a 12 aa 1222  =4 8 分 即 2 1 4m ，则 2 5 2 3  m- 10 分