2013龙岩1月份质检文数试卷

2013龙岩1月份质检文数试卷

龙岩市2012～2013学年第一学期高三教学质量检查数学（文）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）‎ 全卷满分150分，考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1. 考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卷上.‎ ‎2. 答题要求见答题卷上的“填涂样例”和“注意事项”.‎ 参考公式：‎ 样本数据的标准差 锥体体积公式 ‎ ‎ 其中为样本平均数 其中为底面面积，为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 ‎ ‎ 其中为底面面积，为高 其中为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一. 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 复数在复平面内的对应点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2. 双曲线的一条渐近线方程是 A. B. C. D. ‎ ‎3. 若，则下列不等式成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎4. 已知向量，且，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎5.“”是“直线与互相垂直”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎6. 已知函数，当时取得极小值，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎7. 对于不重合的直线和不重合的平面，下列命题错误的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则　‎ ‎8. 已知函数的定义域为，满足，当时，，则函数的大致图象是 A. B. C. D. ‎ ‎ 9. 已知函数，若存在，使得恒成立，则的值是 A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知正的顶点，顶点在第一象限，若点是内部或其边界上一点，则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知是圆上的动点，定点，则的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎12. 若，其中，，，，，，，，，. 现从中随机取两个数分别作为点的横、纵坐标，则点落在椭圆内的概率是 A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二. 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卷的相应位置上）‎ ‎13. 已知集合，为实数集，则 . ‎ ‎14. 如图，输入x＝5，运行下面的程序之后得到，则_________.‎ INPUT x IF x<0 THEN ‎ y=(x+1)*(x+1) ‎ ELSE ‎ y=(x-1)*(x-1) ‎ END IF ‎ PRINT y END ‎（第14题图）‎ ‎（第15题图）‎ ‎15. 如图是一个几何体的三视图，正视图、侧视图是半径为的半圆，俯视图是半径为的圆，若该几何体的表面积为，则 .‎ ‎16. 若不等式对一切成立，则实数的取值范围为 .‎ 三. 解答题：（本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在中,分别是的对边，，，，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值. ‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某校从参加市联考的甲、乙两班数学成绩110分以上的同学中各随机抽取8人，将这16人的数学成绩编成如下茎叶图. ‎ ‎（Ⅰ）茎叶图中有一个数据污损不清（用△表示），若甲班抽出来的同学平均成绩为122分，试推算这个污损的数据是多少？‎ ‎（第18题图）‎ ‎（Ⅱ）现要从成绩在130分以上的5位同学中选2位作数学学习方法介绍，请将所有可能的结果列举出来，并求选出的两位同学不在同一个班的概率. ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知数列中，点在直线上，且. ‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，，成立，求实数的取值范围.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎（第20题图）‎ 如图，在四棱锥中, 平面，，，. ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求棱锥的高. ‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆与曲线的交点为、，求面积的最大值.‎ ‎ 22.（本小题满分14分）‎ 已知函数，其图象为曲线,点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当点时，的方程为，求实数和的值；‎ ‎（Ⅲ）设切线、的斜率分别为、，试问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ 龙岩市2012～2013学年第一学期高三教学质量检查 数学（文）试题参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D C A B D C A D B A A 二、填空题 ‎13. 或； 14. ； 15.； 16. 或 三、解答题 ‎17.（命题意图：本题考查同角三角函数的关系、三角形面积公式、余弦定理、两角差的余弦公式等解三角形的基础知识，考查了配方法、运算求解能力、化归与转化思想）‎ 解：（Ⅰ）， ……2分 即的值是 ……………………6分 ‎（Ⅱ）由已知得 ………………………8分 由余弦定理得 …………9分 ‎ ………………………………10分 ‎，即的值是7. …12分 ‎18.（命题意图：本题考查茎叶图，平均数等统计图表、特征数的求解以及古典概型的概率计算，考查了学生数据处理能力）‎ 解：（Ⅰ）设污损的数据为，则甲班抽出来的同学的平均成绩为 ‎ 解得 所以这个污损的数据是 …………………………………………6分 ‎（Ⅱ）依据题意，甲班分以上的有人，编号为，，乙班分以上的有人，编号为、、，从位同学中任选人，所有的情况列举如下：,,,,,‎ ‎,,,,共10种结果 ……………………………………………………9分 其中两位同学不在同一班的有,,,,,共6种 所以所求概率为 ……………………………………………12分 ‎19.（命题意图：本题考查数列与函数、方程、不等式交汇，考查等差、等比数列的定义和通项公式，等比数列的前n项和等知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想）‎ ‎（Ⅰ）证明：由已知得，即 ‎∴数列是等差数列，公差为. ………………………………………3分 又，∴，∴ ……………………………6分 ‎（Ⅱ）法一：，∴数列是等比数列，且首项为2，公比为2‎ ‎∴ ……………………………9分 由得，所以 ‎∴ ……………………………12分 法二：时，，所以 ……………………………9分 又若，则时，‎ 综上，得. ……………………………12分 ‎20.（命题意图：本题考查线线、线面、面面关系，主要考查线面垂直的判定、面面垂直的性质及几何体高与体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及综合分析问题和解决问题的能力.）‎ ‎（Ⅰ）证明：平面 ‎ ……………………………………1分 ‎ 在中，，‎ ‎ ……………………………………4分 ‎ 又 ……………………………………5分 ‎ 平面 ……………………………………6分 ‎（Ⅱ）法一：平面，‎ ‎ 平面平面 ……………………………………6分 ‎ 在中，过D作于，则平面 ‎ 为三棱锥的高 ……………………………………9分 ‎ 又 在中，过作于,则 ‎ 在中, ……11分 即， ‎ 三棱锥的高为…………………12分 法二：在中，过作于，‎ 在中， 过作于,则 即， ‎ 又设三棱锥的高为，‎ ‎，平面 ……9分 ‎ 即 ‎ 三棱锥的高为 …………………12分 ‎21.（命题意图：本题考查曲线与方程、椭圆与抛物线的方程及简单的几何性质、三角形面积、均值不等式、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.）‎ 解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，∴ ……………………………1分 又椭圆离心率，∴，……………2分 所以椭圆的方程为 ……………………………4分 ‎（Ⅱ）设点，则，连交轴于点，‎ 由对称性知： ………………………6分 由 得： …………………8分 ‎， …………………9分 ‎（当且仅当即时取等号） …………10分 面积的最大值为. ………………12分 ‎22.（命题意图：本题考查函数、导数等基础知识，利用导数求单调区间的方法，韦达定理，探究性问题的解法，考查运算能力，综合分析和解决问题的能力，考查函数与方程思想、转化思想.）‎ 解：（Ⅰ）当时，‎ 则，解得或； …………1分 ‎，解得 ………………………………………………2分 ‎∴函数的单调递增区间是和；单调递减区间是…4分 ‎（Ⅱ）由题意得，即， ……………………………………6分 解得 …………………………………………………………8分 ‎∴实数和的值分别是和. …………………………………………………9分 ‎（Ⅲ）设，则，‎ 联立方程组 由②代入①整理得 ………………………………10分 设，则由韦达定理得，∴………11分 由题意得；‎ 假设存在常数使得，则，‎ 即,∴，解得 ………13分 所以当时，存在常数使得；‎ 当时，不存在，使得 ………………………………14分