2014泉州5月份质检理数试卷

2014泉州5月份质检理数试卷

泉州市 2014 届普通中学高中毕业班质量检测 理科数学试题参考解答及评分标准 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考 生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则． 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如 果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 50 分． 1．C 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．D 8．A 9. B 10．C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 4 分，满分 20 分. 11、 i− ； 12、16； 13、 65； 14、 200 ； 15、 4 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．本小题主要考查组合数公式、概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以 及应用意识，考查必然与或然思想等．满分 13 分． 解：（Ⅰ）依题意，得 0.6a b c+ + = ，即 0.1 0.2 0.6a a a+ + + + = ，解得 0.1a = ，…2 分 所以 0.2, 0.3b c= = .………………3 分 故该队员射击一次，击中目标靶的环数ξ 的分布列为: ξ 6 7 8 9 10 P 0.1 0.2 0．3 0.36 0.04 …………5 分 6 0.1 7 0.2 8 0.3 9 0.36 10 0.04 8.04Eξ = × + × + × + × + × = . ………………6 分 （Ⅱ）记事件 A ：“该队员进行一次射击，击中 9 环”，事件 B ：“该队员进行一次射击，击中 10 环”，则事件“该队员进行一次射击，击中 9 环以上（包括 9 环）”为 A B+ .………7 分 因为 A 与 B 互斥，且 ( ) 0.36, ( ) 0.04P A P B= = ， 所以 ( ) ( ) ( ) 0.4P A B P A P B+ = + = . …………8 分 所以，该射击队员在 10 次的射击中，击中 9 环以上（含 9 环）的次数为 k 的概率 10 10( ) 0.4 0.6 ( 0,1,2, ,10)k k kP X k C k−= = × × =  . ………………10 分 当 1k ≥ , *k ∈N 时， 10 10 1 1 10 1 10 0.4 0.6( ) 2(11 ) ( 1) 0.4 0.6 3 k k k k k k CP X k k P X k C k − − − − + × ×= −= == − × × . 令 ( ) 1( 1) P X k P X k = >= − ，解得 22 5k < . ………………12 分 所以当1 4k≤ ≤ 时， ( 1) ( )P X k P X k= − < = ； 当5 10k≤ ≤ 时， ( 1) ( )P X k P X k= − > = . 综上，可知当 4k = 时， ( )P X k= 取得最大值.………………13 分 17．本小题主要考查平面向量、三角恒等变换、三角函数性质以及解三角形等基础知识，考查运 算求解能力与推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等．满分 13 分． 解：（Ⅰ） ( ) sin 2 3 cos2 2sin(2 )3f x x x x π= ⋅ = − = −m n ， ………………2 分 由 2 2 22 3 2k x k π π ππ π− + ≤ − ≤ + ，得 5 12 12k x k π ππ π− + ≤ ≤ + ，k ∈Z .……3 分 所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 5,12 12k k π ππ π − + +   ， k ∈Z .………………4 分 （Ⅱ）由 ( ) 02 Af = ，得 2sin( ) 03A π− = ， 因为0 A π< < ，所以 3A π= .…………5 分 （ⅰ）由正弦定理，知 cos cos sina B b A c C+ = 可化为 2sin cos sin cos sinA B B A C+ = ，……6 分 故 2sin( ) sinA B C+ = ，………………7 分 又因为 A B Cπ+ = − ，所以 2sin( ) sinC Cπ − = 即 2sin sinC C= ， 因为sin 0C ≠ ，所以sin 1C = ， 又由于0 C π< < ，所以 2C π= ，………………8 分 所以 ( ) 6B A C ππ= − + = .………………9 分 （ⅱ） AB ACλ+  ( )2 2 222 cosAB AC AB AB AC A ACλ λ λ= + = + ⋅ +      ，…10 分 又 3AB AC= =  ， 3A π= ， 所以 AB ACλ+  ( ) 222 2 2 1 31 (1 )3 3 2 4ABλ λ λ λ λ = + + = + + = + +    ，12 分 故当 1 2 λ = − 时， ( )g AB ACλ λ= +  的值取得最小值 3 3 2 .………………13 分 另 解 ： 记 AB AC APλ+ =   ， 则 P 是 过 B 且 与 AC 平 行 的 直 线 l 上 的 动 点 ， ( ) | |g APλ = ，…………12 分 所以 ( )g λ 的最小值即点 A 到直线l 的距离 3 3 2 .…………13 分 18．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、 运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分 13 分． 解：（Ⅰ）因为 (4,0)A 为椭圆G 的一个长轴端点， 所以可设椭圆G 的方程为 2 2 2 116 x y b + = ，………………1 分 因为当直线l 垂直 x 轴时， 6BC = ，所以椭圆G 过点(2,3) ，……2 分 所以 2 4 9 116 b + = ，解得 2 12b = . ………………3 分 故所求椭圆的方程为 2 2 116 12 x y+ = .………………4 分 （Ⅱ）方法 1：设直线l 的方程为 2x my= + ， 联立方程组 2 2 2 3 4 48 x my x y = +  + = ，消去 x ，得 2 2(3 4) 12 36 0m y my+ + − = ，……5 分 设 1 1 2 2( , ), ( , )B x y C x y ，则 1 2 2 12 3 4 ,m my y+ = − + ……① 1 2 2 36 3 4y my⋅ = − + .……② …………6 分 又 2 2 1 1( 4, ), ( 2, )AC x y FB x y= − = +  ，且 AC BF ,………………7 分 故 2 1 1 2( 4) ( 2) 0x y x y− − + = ,即 2 1 1 2( 2) ( 4) 0my y my y− − + = , 即 1 22y y= − .………③ …………9 分 由①②③得 2 2 212 18 3 4 3 4 m m m   =  + + ，所以 2 4 5m = .…………11 分 当 2 4 5m = 时， 0∆ > ，所以 2 5 5m = ± ，…………12 分 所以直线l 的方程为 2 5 25x y= ± + , 即5 2 5 10 0x y− − = 或5 2 5 10 0x y+ − = .…………13 分 方法 2：①当直线l 的斜率不存在时， AC 与 BF 不平行；………………5 分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 ( 2)y k x= − ， 联立方程组 2 2 ( 2), 3 4 48. y k x x y = −  + = 消去 y ，整理得 2 2 2 2(3 4 ) 16 16 48 0k x k x k+ − + − = ，…………6 分 设 1 1 2 2( , ), ( , )B x y C x y ，则 1 2 2 2 16 3 4x kx k = ++ ，…………① 2 2 21 16 48 3 4x k kx −= +⋅ …………② …………7 分 又 2 2 1 1( 4, ), ( 2, )AC x y FB x y= − = +  ，且 AC BF ， ………………8 分 故 2 1 1 2( 4) ( 2) 0x y x y− − + = ， 即 2 1 1 2( 4)( 2) ( 2)( 2) 0k x x k x x− − − + − = ， 即 1 22 6x x+ = …………③ …………9 分 由①③得 2 1 2 2 2 2 8 18 3 4 8 18 3 4 kx k kx k  −= + + = + ， 代入②得 2 2 2 2 2 2 8 18 8 18 16 48 3 4 3 4 3 4 k k k k k k − + −=+ + + ………………11 分 化简，得 2 5 4k = ， 当 2 5 4k = 时， 0∆ > ，故 5 2k = ± ，…………12 分 所以直线l 的方程为5 2 5 10 0x y− − = 或5 2 5 10 0x y+ − = .……13 分 19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理 论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分 13 分. 解：（Ⅰ）在正方形 ABCD 中， AB AD⊥ ， 又 PA AB⊥ ， PA AD A= ， ∴ AB ⊥ 平面 PAD ，…………2 分 又 PD ⊂ 平面 PAD ， AB PD∴ ⊥ ………………3 分 （Ⅱ）点 E 、 F 分别是棱 AD 、 BC 的中点,连结 PE ， EF ，则 ,PE AD EF AB⊥  ， 又由（Ⅰ）知 AB ⊥ 平面 PAD ， ∴ EF ⊥ 平面 PAD ， 又 ,AD PE ⊂ 平面 PAD ， ∴ ,EF AD EF PE⊥ ⊥ ，………………4 分 如图，以点 E 为坐标原点，分别以 , ,AD EF EP 所 在直线为为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 O xyz− . 由题设可知： PA PD AB AD= = = ，故不妨设 2AB = ， 则 (1,0,0), ( 1,0,0), (1,2,0), ( 1,2,0), (0,2,0), (0,0, 3)A D B C F P− − (1,2, 3)PB = − ， ( 1,2, 3)PC = − − ，………………5 分  AB ⊥ 平面 PAD ， ∴平面 PAD 的一个法向量为 (0,2,0)AB = ，…………6 分 设平面 PBC 的一个法向量为 ( , , )x y z=n ， ,PB PC⊥ ⊥n n   ， ∴ 0 0 PB PC  ⋅ = ⋅ = n n   ，即 2 3 0 2 3 0 x y z x y z  + − = − + − = ，解得 0 2 3 0 x y z = − = ， 令 2z = ，得 3y = ， ∴平面 PBC 的一个法向量为 (0, 3,2)=n .………………7 分 设平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为θ , 则 0 2 3 0 3 21cos cos , .72 7 7 ABAB AB θ ⋅ + += < > = = = = ⋅ nn n   ∴平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 21.7 ……………8 分 （Ⅲ）由（Ⅱ）已证得 PE EF⊥ ，则截面 PEF∆ 为直角三角形. x y z FE(O) D C BA P 1 1 1,2 2PEF PADS EF EP AD EP S∆ ∆= ⋅ = ⋅ = = 2.EF EP∴ ⋅ = ………………9 分 设 PEF∆ 的内切圆半径为 ,r 则 1 ( ) 12PEFS PE EF FP r∆ = + + ⋅ = 2 2 2 2r PE EF PF PE EF PE EF ∴ = =+ + + + + 2 2 2 2 2 2 2PE EF PE EF ≤ = ⋅ + ⋅ + 1 2 1, 2 1 = = − + ………………10 分 ∴当且仅当 EF EP= 时， PEF∆ 有最大内切圆，其半径 2 1.r = − 此时 2EF EP= = ， 2.PF = ………………11 分 1 1 5 522 2 2 2PAB PCDS S PA AB∆ ∆= = ⋅ = ⋅ = ， 1 1 2 2 22 2PBCS BC PF∆ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ， 1PADS∆ = ， 2( 2) 2.ABCDS AD EF= ⋅ = = 设 PEF∆ 的内切圆圆心O 到侧面 PAB 、侧面 PCD 的距离为 d ， 则 1 1 1 1( )3 3 3 3P ABCD PAD PBC ABCD PAB PCD ABCDV r S S S d S d S EP S− ∆ ∆ ∆ ∆ ∆= ⋅ + + + ⋅ + ⋅ = ⋅ ， 即 ( ) 2PAD PBC ABCD PAB ABCDr S S S d S EP S∆ ∆ ∆ ∆⋅ + + + ⋅ = ⋅ ， 所以 ( )( 2 1) 1 2 2 5 2 2d− + + + = ， 解得 1 2 1 . 5 d r= > − = ………………12 分 ∴在四棱锥 P ABCD− 的内部放入球心 O 在截面 PEF 中的球，其最大半径 R 是 2 1,− 该最大半径的球只能与四棱锥 P ABCD− 的三个面相切. ………13 分 20．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转 化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分 14 分. 解：（Ⅰ）当 2 3a = 且 1x > − 时， 22( ) ln( 1) 3f x x x= + − ， 21 4 4 4 3 (2 3)(2 1)'( ) 1 3 3( 1) 3( 1) x x x xf x xx x x − − + + −= − = = −+ + + ，…………2 分 令 '( ) 0f x > ， 因为 1x > − ，所以(2 3)(2 1) 0x x+ − < ，解得 11 2x− < < ， 所以函数 ( )f x 的递增区间为 1( 1, )2 − .…………4 分 （Ⅱ）当 0a = 时， ( ) ln 1f x x= + ， 不等式 ( ) 1 1f x x≤ + − 即ln 1 1 1 0x x+ − + + ≤ ， …………5 分 令 1t x= + ，则 0t > ， 此时不等式ln 1 1 1 0x x+ − + + ≤ 等价于不等式ln 1 0( 0)t t t− + ≤ > . 令 ( ) ln 1t t tϕ = − + ，则 1 1'( ) 1 tt t t ϕ −= − = . …………7 分 令 '( ) 0tϕ = ，得 1t = . ( ), '( )t tϕ ϕ 随t 的变化情况如下表 t (0,1) 1 (1, )+∞ '( )tϕ + 0 − ( )tϕ 递增 极大值 0 递减 由表可知，当 0t > 时， ( ) (1) 0tϕ ϕ≤ = 即 ln 1 0t t− + ≤ . 所以 ( ) 1 1f x x≤ + − 成立. …………9 分 （Ⅲ）当 1x > − 时， 2( ) ln( 1)f x x ax= + − ， 1'( ) 21f x axx = −+ ， 所以直线l 的斜率 '(0) 1k f= = ， 又 (0) 0f = ，所以直线l 的方程为 y x= . 令 2( ) ln 1g x x ax x= + − − ，则命题“函数 ( )y f x= 的图象上存在点在直线l 的上 方”可等价转化为命题“存在 ( , 1) ( 1, )x∈ −∞ − − +∞ ，使得 ( ) 0g x > .”……10 分 当 1x > − 时， 2( ) ln( 1)g x x ax x= + − − , 1'( ) 2 11g x axx = − −+ ， 当 1x < − 时， 2( ) ln( 1)g x x ax x= − − − − , 1'( ) 2 11g x axx = − −+ ， 所以，对 ( , 1) ( 1, )x∈ −∞ − − +∞ ，都有 2 12 ( 1 )2 (2 1) 2'( ) 1 1 ax xax a x ag x x x − + +− − += =+ + . ……11 分 令 '( ) 0g x = ，解得 0x = 或 2 1 2 ax a += − . ①当 0a > 时， 2 1 12 a a +− < − ， ( ), '( )g x g x 随 x 的变化情况如下表： x 1( , 1 )2a −∞ − − 11 2a − − 1( 1 , 1)2a − − − ( 1,0)− 0 (0, )+∞ '( )g x + 0 － + 0 － ( )g x 递增 极大值 递减 递增 极大值 递减 又因为 1 1 1( 1 ) ln , (0) 02 2 4g a ga a a − − = + − = ， 所以，为使命题“存在 ( , 1) ( 1, )x∈ −∞ − − +∞ ， 使 得 ( ) 0g x > . ” 成 立 ， 只 需 1 1 1( 1 ) ln 02 2 4g aa a a − − = + − > . 令 1 2t a = ，则 1 1 1( 1 ) ln2 2 2g t ta t − − = + − ， 令 1 1( ) ln ( 0)2 2h t t t tt = − + > ， 因为 2 1 1 1'( ) 02 2h t t t = + + > ，所以 ( )h t 在(0, )+∞ 上为增函数， 又注意到 (1) 0h = ， 所以当且仅当 1 12t a = > ，即 10 2a< < 时， ( ) 0h t > ， 故关于 a 的不等式 1 1ln 02 4 aa a + − > 的解集为 10 2a a  < <    ；…………13 分 ②当 0a ≤ 时，因为存在 1x e= − − 使得 2( 1) 2 ( 1) 0g e e a e− − = + − + > 恒成立， 所以，总存在点( 1,e− − 21 ( 1) )a e− + 在直线l 的上方. 综合①②，可知 a 的取值范围为 1 2a a  <    . …………14 分 21．（1）（本小题满分 7 分）选修 4—2:矩阵与变换 解：(Ⅰ)由题意，可知存在实数 ( 0)λ λ ≠ ，使得 1 0 2 0 0 k k m λ    =         ，………1分 即 0 k k mk λ=  = ， ………2分 又因为 0k ≠ ，所以 1 0m λ =  = ， ………3分 所以 0m = ，特征向量 0 k     相应的特征值为1. …………4分 (Ⅱ)因为 1= −B ，所以 1 1 2 2 3 − − =  − B ， …………6分 故 1 1 2 1 0 1 4 2 3 0 2 2 6 − − −    = =    − −    B A . …………7分 （2）（本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 解：(Ⅰ)将 1 2,l l 的方程化为普通方程，得 1 :l y x= ， 2l ： 2 2 0x y− + = ，2分 联立方程组 2 2 0 y x x y =  − + = ，解得 2 2 x y =  = ， 所以 A 的坐标为(2,2) ，………3分 故点 A 的极坐标(2 2, )4 π . …………4分 （Ⅱ）将曲线C 的方程化为普通方程得 2 2 8x y+ = ，…………5分 所以曲线C 是圆心为 (0,0)O ，半径为 2 2 的圆，且 A (2,2) 在曲线C 上. 因为 1OAk = ，所以曲线C 过点 A 的切线l 的斜率 1lk = − ， 所以l 的方程为 4 0x y+ − = ，……6分 故l 的极坐标方程为 cos sin 4 0ρ θ ρ θ+ − = . …………7分 （3）（本小题满分 7 分）选修 4—5：不等式选讲 解：（Ⅰ）由已知得( ) 2 max3 2 6t t m m+ − − ≤ − ………………1 分 因为 3 2 3 ( 2) 5t t t t+ − − ≤ + − − = （当且仅当 2t ≥ 时取等号）………3 分 所以 26 5m m− ≥ ，解得1 5m≤ ≤ ， 所以实数 m 的取值范围是1 5.m≤ ≤ ………………4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 5λ = ，所以3 4 5 5x y z+ + = . 由柯西不等式， 可得( )( ) ( )22 2 2 2 2 23 4 5 3 4 5 25x y z x y z+ + + + ≥ + + = , …5 分 所以 2 2 2 1 2x y z+ + ≥ ， 当且仅当 3 4 5 x y z= = 即 3 2 1, ,10 5 2x y z= = = 时等号成立. ………6 分 故 2 2 2x y z+ + 的最小值为 1 .2 ………………7 分