黑龙江省哈尔滨市宾县一中2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（理）试卷

黑龙江省哈尔滨市宾县一中2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（理）试卷

数学理科试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用充分条件和必要条件的判断方法判断即可．‎ ‎【详解】解：∵幂函数在上单调递增，且当时，，‎ ‎∴，且，‎ 所以“”是“”的充要条件，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查充要条件的判断，属于基础题．‎ ‎2.设命题“任意”，则非为（ ）‎ A. 存在 B. 存在 C. 任意 D. 任意 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：全称命题的否定，要把量词任意改为存在，且否定结论，故非为：存在，．‎ 考点：命题的否定．‎ ‎3.已知椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义可求得，根据离心率可求得，进而求，从而解得椭圆的方程．‎ ‎【详解】解：由题意得：，则，‎ 又离心率，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以椭圆的方程为：，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义、离心率，属于基础题．‎ ‎4. 某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）‎ A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样法 D. 分层抽样法 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由于样本中男生与女生在学习兴趣与业余爱好方面存在差异性，因此所采用的抽样方法是分层抽样法，故选D.‎ 考点：抽样方法 ‎5.已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线 的距离为，则双曲线的离心率为( )‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为，即，又，代入得，解得，即，故选．‎ 考点：双曲线的标准方程及其几何性质.‎ ‎6.已知直线经过抛物线的焦点，则直线与抛物线相交弦弦长为（ ）‎ A. 9 B. 8 C. 7 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：抛物线的焦点为，准线方程为，所以由题意可得，即，于 是联立直线和抛物线方程可得：，设，则 ‎，所以由抛物线的定义可得，故应选．‎ 考点：1、直线与抛物线的位置关系；2、抛物线的定义．‎ ‎7.某设备使用年限x(单位：年)与所支付的维修费用y(单位：千元)的一组数据如下表：从散点图分析，y与x线性相关，根据上表中数据可得其线性回归方程中的.由此预测该设备的使用年限为6年时需支付的维修费用是（ ）‎ 使用年限x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 维修费用y ‎2‎ ‎3.4‎ ‎5‎ ‎6.6‎ A. 7.2千元 B. 7.8千元 C. 8.1千元 D. 9.5千元 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给的数据求出这组数据的横坐标和纵坐标的平均数，即这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，把样本中心点代入求出的值，写出线性回归方程，代入的值，预报出结果．‎ ‎【详解】解：，‎ 代入，可得，即，‎ 由，得，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性回归方程，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎8.如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为(　　)‎ A. 11 B. 11.5‎ C. 12 D. 12.5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据中位数的定义结合直方图的性质求解即可.‎ ‎【详解】由频率分布直方图得组距为5，‎ 可得样本质量在内的频率分别为 和，‎ 所以，中位数在第二组， ‎ 设中位数为，则，‎ 解得，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.‎ ‎9.设P是椭圆上一点，M，N分别是两圆(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为 （ ）‎ A. 9,12 B. 8,11 C. 10,12 D. 8,12‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 椭圆的焦点恰好是两圆的圆心，利用椭圆的定义先求出点P到两焦点的距离|PF1|+|PF2|，然后|PM|+|PN|的最小值、最大值转化成|PF1|+|PF2|减去两个半径和加上两个半径．‎ ‎【详解】∵两圆圆心F1（﹣4，0），F2（4，0）恰好是椭圆的焦点，‎ ‎∴|PF1|+|PF2|＝10，两圆的半径r＝1，‎ ‎∴（|PM|+|PN|）min＝|PF1|+|PF2|﹣2r＝10﹣2＝8．‎ ‎（|PM|+|PN|）max＝|PF1|+|PF2|+2r＝10+2＝12．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义，解决本题的关键是把|PM|+|PN|的最小值、最大值转化成与两圆的半径差与和问题．‎ ‎10.如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)．‎ 故=(−4，2，2)，=(2，0，1)．所以cos〈，〉===−.‎ 设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cos θ=|cos〈，〉|=.‎ ‎11.已知函数，函数，则“，使得”为真命题的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得得，运用二次方程根的分布，求出“，使得 ‎”为真命题的的范围，然后由几何概型的计算公式即可求出概率．‎ ‎【详解】解：∵函数，‎ ‎∴，∴，‎ 由“，使得”为真命题得，‎ ‎，解得，‎ ‎∴由几何概型得计算公式知所求概率是，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查几何概型的概率，考查不等式恒成立与一元二次方程根的分布，属于中档题．‎ ‎12.如图，已知四棱锥的底面ABCD是等腰梯形，，且，AC与BD交于O，底面ABCD，，E，F分别是AB，AP的中点．则二面角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建系，依次求出点的坐标，求出平面和平面的一个法向量，求出法向量夹角的余弦值，从而求出二面角的余弦值．‎ ‎【详解】解：由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 由题知，，‎ 则，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则即令，可得，‎ 易知平面的一个法向量为，则，‎ 由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查空间中二面角的向量求法，属于中档题．‎ 二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.给出以下三个命题：‎ ‎①若，则；‎ ‎②在中，若，则；‎ ‎③在一元二次方程中，若，则方程有实数根．‎ 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题的是________．‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分别写出每个命题的逆命题、否命题和逆否命题，再判断它们的真假．‎ ‎【详解】解：对于①，当时，，则原命题是假命题，其逆否命题也是假命题；其逆命题是：若，则，是真命题，则其否命题也是真命题；‎ 对于②，若，由正弦定理得，则，则原命题是真命题，其逆否命题也是真命题；逆命题是：在中，若，则，是真命题，则其否命题也是真命题；‎ 对于③，当时，方程没有实数根，则原命题是假命题，则其逆否命题也是假命题；逆命题是：在一元二次方程中，若方程有实数根，则，是假命题，则其否命题也是假命题；‎ 故答案为：②．‎ ‎【点睛】本题主要考查了四种命题之间的关系，解题时应明确四种命题的语言叙述是什么，它们之间的真假关系是什么，属于中档题．‎ ‎14.设样本数据的方差是4，若，则的方差为________．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设样本数据，，，的平均数为，由方差公式得，对于数据，，，，可得其平均数为，结合方差计算公式即可求得答案．‎ ‎【详解】解：设样本数据，，，的平均数为，‎ 则，，，的平均数为，‎ 由方差公式得，‎ 则，，，的方差为 ‎，‎ 故答案为：16．‎ ‎【点睛】本题主要考查数据的方差的计算，关键是掌握数据的方差的计算公式，属于基础题．‎ ‎15.已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切,则动圆圆心轨迹方程是___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合圆与圆的位置关系得．根据双曲线的定义，动点的轨迹为双曲线的左支，由此能求出双曲线的方程．‎ ‎【详解】如图所示，‎ 设动圆与圆及圆分别外切于点和点，根据两圆外切的充要条件得，‎ 因为，所以，所以动点到两定点，的距离之差是常数，根据双曲线的定义，动点的轨迹是以，‎ 为焦点的双曲线的左支（点到点的距离小，到的距离大），其中，则，‎ 所以动圆圆心的轨迹方程为 ‎【点睛】本题考查由双曲线的定义求双曲线的标准方程，解题的关键是由圆的外切得出，属于一般题．‎ ‎16.已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设点C到平面GEF的距离为h，由题意可得CE=CF==2，‎ ‎∴GE=GF===2．‎ 取EF的中点为M，则CM=AC=•4=3，∴GM==4．‎ ‎∵VC﹣GEF=VG﹣CEF，∴•（•EF•GM）•h=•（•EF•CM）•CG，‎ 即 GM•h=CM•CG，即 4•h=3•2，求得 h=，‎ 即点C到平面GEF的距离为，‎ 故答案为．‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知集合.‎ ‎(1)若是的充分条件，求的取值范围．‎ ‎(2)若，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解二次不等式化简集合．（1）对分类求解集合，然后把是的充分条件转化为含有的不等式组，即可求解的范围；（2）由，借助于集合，的端点值间的关系列不等式求解的范围．‎ ‎【详解】A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|20时，B＝{x|a0时，B＝{x|a

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