2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十三）

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十三）

‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十三）‎ ‎17．(12分)在中，角的对边分别是，已知，，．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的面积．‎ ‎【答案】解：(1)因为，‎ 所以，即，‎ 由余弦定理得．‎ 所以．‎ ‎(2)因为，，．‎ 所以．‎ ‎18．(12分)某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲乙两人相互独立到停车场停车(各停车一次)，且两人停车的时间均不超过5小时，设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示：‎ ‎(1)求甲、乙两人所付车费相同的概率；‎ ‎(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量，求的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】解：(1)由题意得，∴，，∴．‎ 记甲、乙两人所付停车费相同为事件，则，‎ ‎∴甲、乙两人所付停车费相同的概率为．‎ ‎(2)设甲、乙两人所付的费用之和为，的可能取值为0，1，2，3，4，5，‎ ‎，，，‎ ‎，，，‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎∴．‎ ‎19．(12分)如图，三棱柱的所有棱长均为2，平面平面，，为的中点．‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)若是棱的中点，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】(1)证明：取中点，设与交于点，连接，，依题意得，‎ 因为平面平面，平面平面，，‎ 所以平面，即平面，所以，‎ 又因为四边形为菱形，所以，又，所以平面，‎ 而平面，所以．‎ ‎(2)解：由(1)结合已知得：，，，‎ 以为原点，如图所示建立空间直角坐标系，因为侧面是边长为2的菱形，且，‎ 所以，，，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则由得，令，可取，‎ 而平面的一个法向量，由图可知二面角为锐角，‎ 因为．‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎20．(12分)如图，点在椭圆上，且点到 两焦点的距离之和为6．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设与(为坐标原点)垂直的直线交椭圆于(不重合)，求的取值范围．‎ ‎【答案】解：(1)∵，∴．‎ 又点在椭圆上，∴，解得，‎ ‎∴所求椭圆方程为．‎ ‎(2)∵，∴，设直线的方程：．‎ 联立方程组，消去得：．‎ ‎，∴．‎ 设，，，．‎ 则，‎ ‎∵，∴的取值范围为．‎ ‎21．(10分)设函数，其中．‎ ‎(1)若直线与函数的图象在上只有一个交点，求的取值范围；‎ ‎(2)若对恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】解：(1)当时，，‎ 令时得；‎ 令得，递增；‎ 令得，递减，‎ ‎∴在处取得极小值，且极小值为，‎ ‎∵，，‎ ‎∴由数形结合可得或．‎ ‎(2)当时，，，令得；‎ 令得，递增；‎ 令得，递减，‎ ‎∴在处取得极小值，且极小值为，‎ ‎∵，∴，‎ 当即时，，∴，即，∴无解；‎ 当即时，，∴，即，又，‎ ‎∴，‎