2019-2020学年浙江省嘉兴市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年浙江省嘉兴市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年浙江省嘉兴市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知,则集合可以为( )‎ A．{1,3} B．{1,9} C．{2,0} D．{2,3}‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意集合是集合B与C的交集的子集，判断选项即可.‎ ‎【详解】‎ 由题：，‎ ‎，即.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 此题考查求集合的交集，判断集合的包含关系，关键在于读懂题目所给的集合关系.‎ ‎2．已知正方形的边长为1,则=( )‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】正方形中根据向量的加法法则，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题正方形的边长为1,根据向量加法法则，‎ ‎.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 此题考查向量加法的平行四边形法则，根据加法法则求出向量之和，再求模长.‎ ‎3．已知点在第二象限，则为（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】根据点的象限，判断对应坐标的符号，结合角的终边和三角函数的符号进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵点在第二象限，∴，且，‎ 即第三象限角，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数值符号的应用，根据点的坐标符号以及三角函数的符号与象限的关系是解决本题的关键．‎ ‎4．设函数,则它的值域为( )‎ A．(0,1) B．(0,2) C．(1,+∞) D．(2,+∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据指数函数的值域结合反比例函数值域即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题：，，，‎ 所以 的值域为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 此题考查求函数值域，涉及指数函数值域，反比例型函数值域.‎ ‎5．已知平面向量满足,且的夹角为30°,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据向量的模长和夹角关系，依次求出，即可判断四个选项.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 此题考查求向量的数量积，根据数量积判断向量是否垂直，关键在于准确计算，熟练掌握数量积的求法.‎ ‎6．函数,则( )‎ A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】求出的增区间即可判定.‎ ‎【详解】‎ 由题，‎ 令，‎ 得：，‎ 即的增区间为，‎ 所以函数在上先增后减， 在上单调递减，‎ 在上先减后增，在上单调递增.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 此题考查三角函数单调性的判断，准确求出函数的增区间，逐个讨论其单调性.‎ ‎7．函数的图象如图所示,则它的解析式可能是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据定义域排除，求出的值，可以排除，考虑排除.‎ ‎【详解】‎ 根据函数图象得定义域为，所以不合题意；‎ 选项，计算，不符合函数图象；‎ 对于选项， 与函数图象不一致；‎ 选项符合函数图象特征.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.‎ ‎8．为了得到函数的图象,可以将函数的图象( )‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左移动个单位 D．向右平移个单位 ‎【答案】A ‎【解析】根据诱导公式，根据平移法则即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题函数可以变形，‎ ‎，为了得到它的图像，可以将函数的图象向左平移个单位.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 此题考查函数的平移，需要注意在同名三角函数之间进行平移，不同函数名需用诱导公式变形，再根据平移法则得解.‎ ‎9．已知,其中实数满足,,则点所形成的平面区域的面积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出图形，根据向量共线定理及几何意义确定点所形成的平面区域，即可求出面积.‎ ‎【详解】‎ 由题：,作，与线段交于，设，如图：‎ ‎，，所以点在图形内部区域，‎ 根据平面向量共线定理有，‎ ‎，所以，‎ ‎，即，‎ 即，，所以点所在区域为梯形区域，‎ 其面积 故选：B ‎【点睛】‎ 此题考查平面向量的综合应用，涉及共线定理，线性运算，综合性比较强.‎ ‎10．若不等式对恒成立,则=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】不等式对恒成立,即时的正负情况与的正负情况一致，得出的根，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题：不等式对恒成立,‎ 当时，，所以，‎ 当时，，所以，‎ 当时，，所以，‎ 所以和时，，‎ 即，解得：，‎ 检验当时，‎ 在大于等于0，在时，小于等于0，在大于等于0，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 此题考查根据不等式恒成立求参数的值，将问题转化为方程的根的问题，涉及转化与化归思想，综合性强.‎ 二、填空题 ‎11．若,则=______,=______.‎ ‎【答案】1 0 ‎ ‎【解析】①根据换底公式计算即可得解；‎ ‎②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎①由题：,‎ 则；‎ ‎②由①可得：.‎ 故答案为：①1，②0‎ ‎【点睛】‎ 此题考查对数的基本运算，涉及换底公式和同底对数加法运算，属于基础题目.‎ ‎12．设函数则的值为______；若,则=______.‎ ‎【答案】0 ‎ ‎【解析】①根据分段函数解析式，即可得解；‎ ‎②结合分段函数每段取值范围分析，，a不可能小于1.‎ ‎【详解】‎ ‎①由题：函数，则；‎ ‎②根据函数解析式，当时，，‎ 所以，a不可能小于1，‎ 所以，，即，‎ 所以.‎ 故答案为：①0，②‎ ‎【点睛】‎ 此题考查分段函数，根据分段函数求函数值，根据函数值求自变量的取值，关键在于准确考虑每段解析式所对应的自变量取值范围.‎ ‎13．已知向量,若,则=______；若三点共线,则=______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】①用坐标表示出向量，根据，即可求解；‎ ‎②三点共线,即向量共线即可.‎ ‎【详解】‎ ‎①由题：向量,‎ ‎，‎ 所以，平方化简得：‎ 解得：；‎ ‎②三点共线,即向量共线，‎ 所以，‎ 解得：.‎ 故答案为：①，②‎ ‎【点睛】‎ 此题考查平面向量的坐标表示，根据模长相等求参数的值，根据向量共线求参数的值解决三点共线问题.‎ ‎14．若,则=______,=______.‎ ‎【答案】5 ‎ ‎【解析】①分子分母同时除以即可得解；‎ ‎②，分子分母同时除以即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎①由题：,‎ 则，‎ ‎②.‎ 故答案为：①5，②‎ ‎【点睛】‎ 此题考查同角三角函数的基本关系，根据正切求值，关键在于正确处理分子分母齐次式便于解题.‎ ‎15．设函数若,则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将不等式进行转化，令，即，得出，再求解.‎ ‎【详解】‎ 作出函数图象如图所示：‎ 求得： 仅有唯一解，仅有唯一解，‎ 令，即，得，‎ 解得：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 此题考查根据函数解析式解不等式，涉及分段函数和复合函数，利用换元法结合图象处理问题，体现数形结合思想.‎ ‎16．如图所示,,则=______.‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】根据向量的线性运算法则，，即可计算求解.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎.‎ 故答案为：36‎ ‎【点睛】‎ 此题考查平面向量的基本运算，涉及向量的线性运算，根据关系求数量积.‎ ‎17．设,对任意的实数,关于的方程共有三个不相等的实数根,则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分类讨论当时, 当时,讨论函数的单调性，结合根的个数列出不等式组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎(1)当时,即，‎ 则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,‎ 且,‎ 关于的方程总有三个不相等的实数根,‎ 只要对恒成立,解得；‎ ‎(2)当时,即,‎ 则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,‎ 且,‎ 关于的方程总有三个不相等的实数根,‎ 只要对恒成立,‎ ‎①当时,成立,此时 ‎②当时,恒成立,此时 ‎③当时,恒成立,此时 综合①②③得 由(1)(2)可知 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 此题考查分段函数，根据函数的单调性分析根的个数问题，关键在于分类讨论.‎ 三、解答题 ‎18．已知集合.‎ ‎(1)若,求；‎ ‎(2)若,求实数的值.‎ ‎【答案】(1)；(2)2.‎ ‎【解析】（1）解出一元二次不等式，根据集合的交并补计算求解；‎ ‎（2）根据并集关系，讨论参数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当时,解不等式得：‎ ‎,‎ 所以或 所以 ‎(2)若,‎ 则,，‎ 解得.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查集合的交并补基本运算，根据集合的并集求参数的范围，属于简单题目.‎ ‎19．已知平面向量.‎ ‎(1)若,求的值；‎ ‎(2)若在上的投影是,求实数.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】（1）根据，，列方程组求解即可；‎ ‎（2）根据投影公式代入求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为,所以,‎ 又,所以,解得,‎ 所以；‎ ‎(2)由题意知,‎ 所以,‎ 因为在上的投影是,所以,‎ 解得.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查平面向量基本运算的坐标表示，涉及向量投影问题，关键在于熟练掌握计算法则和相关概念及公式，准确计算，属于中档题.‎ ‎20．已知函数是偶函数.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)当时,判断函数的单调性,并证明你的结论.‎ ‎【答案】(1)1；(2)单调递增,证明见解析.‎ ‎【解析】（1）根据偶函数关系结合求解；‎ ‎（2）根据定义法讨论单调性任取,讨论的符号.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为是偶函数,‎ 所以,即,‎ 化简得,‎ 所以；‎ ‎(2)结论:在(0,+∞)单调递增.证明如下：‎ 任取,则 因为,所以,所以 所以,即 所以在(0,+∞)单调递增.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查根据函数的奇偶性求参数的值，根据定义法讨论函数的单调性，对计算能力要求比较高.‎ ‎21．已知函数的图象经过点,且图象上相邻两条对称轴之间的距离为.‎ ‎(1)求函数的解析式及它的单调递增区间；‎ ‎(2)是否存在实数,使得不等式成立?若存在,请求出的取值范围；若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1),；(2)存在,.‎ ‎【解析】（1）根据函数经过的点求A，根据对称轴求周期得，即可得到函数解析式，结合正弦函数的单调性求函数的增区间；‎ ‎（2）根据得,所以，结合函数的单调性，在上单调递增,等价于,即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为函数的图象经过点,‎ 所以,解得 又函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为得,‎ 又由,得,所以 结合函数的单调性,‎ 令,解得,‎ 所以函数的单调递增区间是；‎ ‎(2)由题意知,所以,‎ 所以 由函数的单调递增区间是知,‎ 在上单调递增,‎ 又,所以,解得 结合,得 ‎【点睛】‎ 此题考查三角函数的综合应用，根据曲线上的点和对称轴求解析式，讨论单调性，通过单调性比较函数值的大小求解不等式，综合性强.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎(1)若,求方程的解集；‎ ‎(2)若函数恰有两个不同的零点,求的值.‎ ‎【答案】(1)；(2)当时,；当时,.‎ ‎【解析】（1）分类讨论解方程即可；‎ ‎（2）将转化为讨论函数的公共点问题,分类讨论求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当时,,所以 所以或,解得或 所以当时,方程的解集为；‎ ‎(2)由题意令得,记,‎ 作函数与的图象,‎ 由函数在定义域(1,+∞)内恰有两个不同的零点,‎ 可知不合题意,故 如图所示,要使函数恰有两个不同的零点,则应有直线与函数的图象相切或者直线经过点 ‎(i)当直线与函数的图象相切时,‎ 联立方程,消去得,‎ 由得,所以(舍去)或 此时,直线,联立,解得 所以；‎ ‎(ii)当直线经过点时,有,‎ 所以,得 此时直线方程为 联立,消去解得,‎ 所以.‎ 综上所述,当时,；当时,.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查函数零点与方程的根的问题，利用分类讨论求解绝对值方程，将函数零点问题转化为两个函数图象公共点的问题求解，涉及分类讨论，数形结合，转化与化归思想.‎