陕西省西安中学2020届高三下学期仿真考试（一）数学（理）试题 Word版含解析

陕西省西安中学2020届高三下学期仿真考试（一）数学（理）试题 Word版含解析

西安中学高2020届仿真考试 理科数学 一、选择题 ‎1.已知复数满足，则复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数运算求出，则复数可求 ‎【详解】已知复数满足，则 ‎ 故 故选：B ‎【点睛】本题考查复数的运算及共轭复数的概念，准确计算是关键，是基础题 ‎2.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解分式不等式得到P,再进行补集和交集运算 ‎【详解】由题或 ‎ 则 故选：C ‎【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及分式不等式解法，是基础题 ‎3.已知、都是实数，那么“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判定“”与“”的充要条件,再分析即可.‎ ‎【详解】当时有,当时有.故“”是“”的必要不充分条件.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,需要根据题意先求出两个命题的充要条件再分析.属于基础题.‎ ‎4.已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 16 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列性质求出a7，然后利用等差数列的性质求解即可．‎ ‎【详解】等比数列{an}中，a3a11＝4a7，‎ 可得a72＝4a7，解得a7＝4，且b7＝a7，‎ ‎∴b7＝4，‎ 数列{bn}是等差数列，则b5+b9＝2b7＝8．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎5.已知a=21.3，b=40.7，c=log38，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数与对数函数的性质即可比较a，b，c的大小．‎ ‎【详解】，‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎6.《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐. 齐去长安三千里. 良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图. 若输出的 的值为 350，则判断框中可填（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】模拟程序的运行，可得 ； 执行循环体，； 不满足判断框内的条件，执行循环体，；‎ 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为350． 可得判断框中的条件为 ． 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎7.如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出矩形和阴影部分的面积，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率.‎ ‎【详解】，‎ 又，‎ ‎，‎ 豆子落在图中阴影部分的概率为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查几何概率的求解，属于基础题，难度不大，正确求面积是关键.‎ ‎8.在中.已知是延长线上一点.点为线段的中点.若.且.则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过利用向量的三角形法则,以及向量共线,由,,,求解,结合条件,即可求得答案.‎ ‎【详解】,,,‎ 可得:‎ 由 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量三角形法则,解题关键是掌握向量的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎9.已知函数与互为反函数，函数的图象与的图象关于 轴对称，若，则实数的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数与对数函数的关系，以及函数的图象与的图象关于轴对称，求得，再由，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数与互为反函数，所以，‎ 函数的图象与的图象关于轴对称，所以，‎ 又由，即，解得 ‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的关系，其中熟记指数函数与对数函数的关系，以及函数的对称性求得函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10.已知数列的通项公式，则 （　　）‎ A. 150 B. 162 C. 180 D. 210‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由通项公式，首先判断数列 的单调性，去掉要求和式的绝对值，再进行计算．‎ ‎【详解】由对勾函数的性质可知：‎ 当时，数列为递减；当时，数列为递增．‎ 所以 ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=162‎ ‎【点睛】数列问题常见的方法和注意点：‎ ‎（1）求和常常要根据数列的通项公式的形式和特点，灵活选择方法，不可以用固定的思维模式去考虑问题．如含绝对值的求和问题的关键点在于先把绝对值去掉，再求和．‎ ‎（2）常见的求和方法有：倒序求和，错位相消，裂项法，分组求和法，公式法等．‎ ‎11.关于函数有下述四个结论：‎ ‎①函数的图象把圆的面积两等分 ‎②是周期为的函数 ‎③函数在区间上有3个零点 ‎④函数在区间上单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ）‎ A. ①③④ B. ②④ C. ①④ D. ①③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用诱导公式和二倍角公式将函数化简为f（x）＝sinx﹣x，因为单位圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，所以可以先证明函数的奇偶性，进而即可判断①，利用函数的周期性可判断②，利用导数判断函数单调递减，从而可以判断③④．‎ ‎【详解】解：f（x）＝2sinsin（+）﹣x＝2sincos﹣x＝sinx﹣x，‎ 对于①，因为f（﹣x）＝sin（﹣x）﹣（﹣x）＝﹣sinx+x＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，关于原点对称，且过圆心，而圆x2+y2＝1也是关于原点对称，所以①正确；‎ 对于②，因为f（x+π）＝sin（x+π）﹣（x+π）＝﹣sinx﹣x﹣π≠f（x），所以f（x）的周期不是π，即②错误；‎ 对于③，因为＝cosx﹣1≤0，所以f（x）单调递减，所以f（x）在区间（﹣∞，+∞）上至多有1个零点，‎ 即③错误；‎ 对于④，＝cosx﹣1≤0，所以f（x）单调递减，即④正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质，以及利用导数判断函数的单调性，考查学生综合运用知识的能力和运算能力，属于基础题．‎ ‎12.已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论错误的是（ ）‎ A. 曲线的方程为；‎ B. 左焦点到一条渐近线距离为；‎ C. 直线与曲线有两个公共点；‎ D. 过右焦点截双曲线所得弦长为的直线只有三条；‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出双曲线的标准方程，根据方程判断双曲线的性质．B直接求出左焦点到渐近线的距离，C由直线方程与双曲线方程联立求得公共点坐标，D考虑到过焦点，因此一是求出通径长，一是求出实轴长，与它们比较可得．‎ ‎【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以可设双曲线方程为，又双曲线过点，所以，所以双曲线方程为，A正确；‎ 由双曲线方程知，，左焦点为，渐近线方程为，左焦点到渐近线的中庸为，B正确；‎ 由得，代入双曲线方程整理得，解得，所以，直线与双曲线只有一个公共点，C错；‎ 双曲线的通径长为，因此过右焦点，且两顶点都右支上弦长为的弦有两条，又两顶点间距离为，因此端点在双曲线左右两支上且弦长为的弦只有一条，为实轴，所以共有3条弦的弦长为，D正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质．求出双曲线的方程，利用方程研究双曲线的性质是解析几何的基本方法．双曲线的弦分两种：一种弦的两个端点在同一支上，一种弦的两个端点在双曲线的两支上，两个端点在双曲线的两支上的弦的最短的为实轴.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知一组数据分别是，则这组数据的中位数与众数的等比中项为_________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把数据按照从小到大排序，确定出中位数和众数，由等比中项定义求得结果.‎ ‎【详解】解：依题意知，先将这组数据按照从小到大排序为：，中位数为，众数为.则中位数与众数的等比中项为：.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题考查中位数、众数和等比中项定义，属于基础题.‎ ‎14.若二项式的展开式中的常数项为，则______.‎ ‎【答案】124‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据二项展开式求得常数项项数，即得常数项，再根据定积分得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以由得,‎ 因此.‎ ‎【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎15.已知抛物线的焦点为，准线为，过点斜率为的直线与抛物线交于点（在轴的上方），过作于点，连接交抛物线于点，则_______.‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线定义可得MF=MN，再根据直线倾斜角得三角形MNF为正三角形，即得NF倾斜角，联立方程可得Q横坐标，解得结果.‎ ‎【详解】由抛物线定义可得MF=MN，又斜率为的直线倾斜角为，，‎ 所以 ,即三角形MNF为正三角形，‎ 因此NF倾斜角，由 解得 ，即 ‎【点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．‎ ‎2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎16.半径为2的球面上有四点，且两两垂直，则，与面积之和的最大值为______．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角，故，计算三个三角形的面积之和，利用基本不等式求最大值．‎ ‎【详解】如图所示，将四面体置于一个长方体模型中，则该长方体外接球的半径为2．‎ 不妨设，，，则有，即．‎ 记．‎ 从而有，即，从而．‎ 当且仅当，即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为8．‎ ‎【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题，考查了学生解决交汇性问题的能力．解答关键是利用构造法求球的直径．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.如图，在四棱锥中，，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，，为线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用线段长度得到与间的垂直关系，再根据线面垂直的判定定理完成证明；‎ ‎（2）以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，计算出结果.‎ ‎【详解】（1）∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，平面，‎ ‎∴平面 ‎（2）由（1）知，，‎ 又为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，，‎ ‎∵，∴，‎ 设是平面的一个法向量 则，即，取得 ‎∴‎ ‎∴直线与平面所成正弦值为 ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明以及用向量法求解线面角的正弦，难度一般.用向量方法求解线面角的正弦值时，注意直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值.‎ ‎18.的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，面积为2，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）2．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出.‎ 试题解析：（1），∴，∵，‎ ‎∴，∴，∴；‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎19. 某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18(假设两河流发生洪水与否互不影响)．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：‎ 方案1：运走设备，此时需花费4000元；‎ 方案2：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；‎ 方案3：不采取措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．‎ ‎(1)试求方案3中损失费X(随机变量)的分布列；‎ ‎(2)试比较哪一种方案好．‎ ‎【答案】(1) X的分布列为 X ‎ ‎10000 ‎ ‎60000 ‎ ‎0 ‎ P ‎ ‎0.34 ‎ ‎0.045 ‎ ‎0.615 ‎ ‎(2) 方案2最好，方案1次之，方案3最差 ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在方案3中，记“甲河流发生洪水”为事件A，“乙河流发生洪水”为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，所以，有且只有一条河流发生洪水的概率为P（A·+·B）=P（A）·P（）+P（）·P（B）=0.34，两河流同时发生洪水的概率为P（A·B）=0.045，都不发生洪水的概率为P（·）=0.75×0.82=0.615，设损失费为随机变量X，则X的分布列为：‎ X ‎10 000‎ ‎60000‎ ‎0‎ P ‎0.34‎ ‎0.045‎ ‎0.615‎ ‎（2）对方案1来说，花费4000元；‎ 对方案2来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，但当两河流都发生洪水时，损失约56000元，而两河流同时发生洪水的概率为P=0.25×0.18=0.045.所以，该方案中可能的花费为：1000+56000×0.045="3" 520（元）.‎ 对于方案来说，损失费的数学期望为：EX=10000×0.34+60000×0.045=6100（元），‎ 比较可知，方案2最好，方案1次之，方案3最差 ‎20.已知函数，‎ ‎（1）若，求在区间上的单调区间；‎ ‎（2）若，证明：时恒有 ‎【答案】（1）在递减，在递增，在递减；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对求导，再判断其在上的符号，即可求出的单调区间；‎ ‎（2）先对求导，令，利用导数判定的单调性，结合零点存在性定理及的单调性得出，故有，命题得证.‎ ‎【详解】解：（1）；‎ ‎，令及，得或.‎ 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由上述表格可知：在递减，在递增，在递减.‎ ‎（2）证明：，，，设，而在为增函数，又，根据零点存在定理，所以存在唯一，使得，在上，，递减，，在上，递增，‎ 因此在上总有即在单调递减，所以有.‎ ‎【点睛】本题考查求函数的单调区间和证明不等式恒成立，利用导数研究函数单调性是高考重点内容，关键是导函数的符号判断是难点，属于难题.‎ ‎21.已知椭圆：的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若不经过点的直线：与椭圆交于两点，且与圆相切.试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可知，求得直线的方程，再由点到直线的距离公式，联立求得的值，即可得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）由直线与圆相切，求得，再把直线方程与圆的方程联立，利用根与系数的关系和弦长公式，分别求得，即计算求得三角形的周长．‎ 详解】（1）由题可知，，，则，‎ 直线的方程为，即，所以，‎ 解得，，‎ 又，所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）因为直线与圆相切，‎ 所以，即.‎ 设，，‎ 联立，得，‎ 所以 ，‎ ‎，，‎ 所以 .‎ 又，所以.‎ 因为 ，‎ 同理.‎ 所以，‎ 所以的周长是，‎ 则的周长为定值.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的应用问题,解答此类题目时通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做按所做的第一题计分 ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.在平面直角坐标系，．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，点为上的动点，为的中点．‎ ‎（1）请求出点轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的极坐标为若直线经过点且与曲线交于点，弦的中点为，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，可得点满足．利用相关点法即可得出点轨迹的直角坐标方程；‎ ‎(2)根据已知条件求出直线的参数方程，把直线的参数方程代入，利用根与系数关系求出，由直线的参数方程中的几何意义可将用表示，再将代入即可求出的取值范围．‎ ‎【详解】(1)因为的直角坐标方程为，‎ 所以点满足．‎ 设，因为为的中点，‎ 所以，，所以，，‎ 所以，‎ 整理得的轨迹方程为．‎ ‎(2)因为直线过点，‎ 所以直线的参数方程为(为参数，为倾斜角，)‎ 代入得，所以，，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线的参数方程中参数的几何意义，本题中求的关键是联立直线的参数方程与的直角坐标方程的基础上，利用直线的参数方程的几何意义并结合根与系数关系求解．‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎23.已知，，不等式恒成立.‎ ‎（1）求证:‎ ‎（2）求证:.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据绝对值不等式求得的最大值，从而得到，再利用基本不等式进行证明；‎ ‎（2）利用基本不等式变形得，两边开平方得到新的不等式，利用同理可得另外两个不等式，再进行不等式相加，即可得答案.‎ ‎【详解】（1）∵，∴.‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，，‎ 即两边开平方得.‎ 同理可得，.‎ 三式相加，得.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和推理论证能力.‎