2018-2019学年湖北省荆州市沙市中学高一5月月考数学试题（解析版）

2018-2019学年湖北省荆州市沙市中学高一5月月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省荆州市沙市中学高一5月月考数学试题 一、单选题 ‎1．的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据诱导公式可得，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用诱导公式求解三角函数值的问题，属于基础题.‎ ‎2．已知两个球的表面积之比为，则这两个球的半径之比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据球的表面积公式直接作比可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设两个球的半径分别为和，则 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球的表面积公式的应用，属于基础题.‎ ‎3．设a>b>c，且a+b+c=0，则下列不等式恒成立的是（ ）‎ A．ab>bc B．ab>ac C．ac>bc D．a|b|>c|b|‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用特殊值的方式可排除；利用作差法可判断出正确.‎ ‎【详解】‎ 若，，‎ 则，可知错误；，可知错误；‎ 若，，，则，可知错误；‎ 且 且 又 ，可知正确 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用作差法比较大小的问题，对于不等式恒成立判断问题，也常采用排除法来进行求解.‎ ‎4．若幂函数f(x)的图像过点（4，2），则f(a2) =（ ）‎ A．a B．-a C．±a D．|a|‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用待定系数法可求得函数解析式，代入求得函数值.‎ ‎【详解】‎ 设，则，解得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查待定系数法求解函数解析式、函数值的求解问题，属于基础题.‎ ‎5．在空间中有如下命题，其中正确的是（ ）‎ A．若直线a和b共面，直线b和c共面，则直线a和c共面；‎ B．若平面α内的任意直线m∥平面β，则平面α∥平面β；‎ C．若直线a与平面不垂直，则直线a与平面内的所有直线都不垂直；‎ D．若点P到三角形三条边的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的内心．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据直线与直线的位置关系、面面平行判定定理、三角形内心的定义依次判断各个选项即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 直线与直线共面，直线和直线共面，存在直线与直线异面的情况，错误；‎ 平面内任意直线均平行于平面，必在内必存在两条相交直线平行于平面，根据面面平行判定定理可知平面平面，正确；‎ 直线与平面不垂直，可能与平面平行或相交；则在平面内存在与直线异面的直线与直线垂直，错误；‎ 若点到三角形三条边的距离相等，可知点在三角形所在平面内的射影到三角形三边的距离相等，此射影点可为三角形两外角平分线与一内角平分线的交点，此时不是三角形的内心，错误.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查立体几何中的直线与直线的位置关系、面面平行的判定、三角形内心的判定问题.本题易错点是判断选项时，忽略射影点位于三角形外部的情况.‎ ‎6．若，是锐角的两个内角，则有（ ）‎ A． B． C． D．以上都不对 ‎【答案】C ‎【解析】根据三角形为锐角三角形可知，即；通过角的范围和的单调性可得，利用诱导公式整理可得结果.‎ ‎【详解】‎ 为锐角三角形 且，‎ 且 在上单调递增 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据三角形形状判断角的关系的问题，关键是能够灵活应用角的范围、正弦函数图象和诱导公式来进行化简.‎ ‎7．若正实数，满足，且恒成立，则实数 的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据，结合基本不等式可求得，从而得到关于的不等式，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意知：‎ ‎， ，‎ ‎（当且仅当，即时取等号）‎ ‎ ，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从而求得最值.‎ ‎8．若函数的图象如图所示，则为了得到图象，只需将函数的图象( )‎ A．向左平移个长度单位 B．向左平移个长度单位 C．向右平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 ‎【答案】A ‎【解析】根据图象的最值、周期、特殊值可求得解析式，再根据图象平移变换原则可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由图象可知：， ‎ 又，则 ，‎ ‎，，又 ‎ ‎，‎ ‎，即只需将向左平移个长度单位即可得到 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查已知三角函数图象求解解析式、图象平移变换的问题，关键是明确左右平移的变换是针对的变化量.‎ ‎9．已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的体积为（ ）‎ A．48π B．24π C．16π D．π ‎【答案】D ‎【解析】根据球的性质可知球心与外接圆圆心连线垂直于平面；在和中利用勾股定理构造出关于半径和的方程组，解方程组求得，代入球的体积公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设为的外心，如下图所示：‎ 由球的性质可知，球心与连线垂直于平面，作于 设球的半径为，‎ 为等边三角形，且 ‎ 平面，平面，‎ ‎，‎ 在和中，由勾股定理得：‎ ‎，即 解得：，‎ 球的体积为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径.‎ ‎10．已知函数，若关于方程有两不等实数根，则的取值范围（ ）‎ A．（0，） B．（） C．（1，） D．0,1‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出函数和程的图象，结合图象即可求得答案 ‎【详解】‎ 作出函数程和程的图象，如图所示 由图可知当方程有两不等实数根时，‎ 则实数的取值范围是0,1‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题是一道关于分段函数的应用的题目，解答本题的关键是熟练掌握对数函数与指数函数的图象与性质，考查了数形结合思想，属于中档题。‎ ‎11．对于棱长为的正方体，有如下结论，其中错误的是（ ）‎ A．以正方体的顶点为顶点的几何体可以是每个面都为直角三角形的四面体；‎ B．过点作平面的垂线，垂足为点，则三点共线；‎ C．过正方体中心的截面图形不可能是正六边形；‎ D．三棱锥与正方体的体积之比为．‎ ‎【答案】C ‎【解析】在正方体中可找到四面体各个面都是直角三角形，排除；利用线面垂直判定定理可证出平面，从而可知三点共线，排除；在图形中可找到截面图形为正六边形的情况，可知结果为；利用切割的方法求得，从而可求得所求体积之比，排除.‎ ‎【详解】‎ 在如下图所示的正方体中：‎ 四面体的四个面均为直角三角形，可知正确；‎ ‎， 平面 ‎ 又 ‎ ‎，即 平面，即过作平面的垂线即为 三点共线，可知正确；‎ 若为所在棱的中点，连接后可知六边形为正六边形且此正六边形过正方体的中心，可知错误；‎ 三棱锥体积：‎ 正方体体积：‎ 三棱锥与正方体的体积之比为：，可知正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正方体中的线线关系、线面关系、截面问题、体积问题的相关命题的判定，对于学生空间想象能力要求较高.‎ ‎12．设，若对一切恒成立， 给出以下结论：‎ ‎①； ‎ ‎②； ‎ ‎③的单调递增区间是 ；‎ ‎④函数既不是奇函数也不是偶函数；‎ ‎⑤存在经过点的直线与函数的图象不相交．其中正确结论的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据可知，从而得到，将化简为；代入求值即可知①②正确；当和时，可验证出③所给区间可能为单调递减区间，③错误；利用奇偶性定义可知④正确；根据函数图象可知无交点时需，又，可知不成立，故⑤错误.‎ ‎【详解】‎ 由对恒成立可知：‎ 即：，整理可得： ‎ ‎①，可知①正确；‎ ‎②；‎ ‎，可知②正确；‎ ‎③当时，‎ 当时，为的单调递增区间 当时，为的单调递减区间 可知③错误；‎ ‎④由函数解析式可知：且，则为非奇非偶函数，可知④正确；‎ ‎⑤要使得经过的直线与函数无交点，则直线需与轴平行且 又 ，不成立，可知⑤错误.‎ 综上所述：①②④正确 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的图象与性质的综合应用问题，涉及到三角函数最值的应用、单调区间的求解、奇偶性的判断、函数图象的应用、函数值的求解问题，对于学生对三角函数知识的应用能力要求较高.‎ 二、填空题 ‎13．若函数为上的偶函数，则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由是偶函数，运用偶函数定义，代入求出的值 ‎【详解】‎ 函数，‎ ‎，‎ 函数为上的偶函数，‎ ‎，‎ 即，‎ 故，‎ 化简得，‎ 则 解得 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数奇偶性求参数的值，运用奇偶性的定义代入求解，考查了计算能力 ‎14．若圆锥的表面积为27π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面圆的半径为_____．‎ ‎【答案】3.‎ ‎【解析】根据侧面展开图是半圆可求得，利用圆锥表面积构造方程可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 设圆锥底面半径为，母线长为 侧面展开图是半圆 ‎ 圆锥表面积： ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥表面积相关问题的求解，属于基础题.‎ ‎15．为R上的单调函数，则的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，函数是 上的单调函数，则若函数为单调递增函数，则，此时解集为空集；若函数为单调递增函数，则，解得，所以函数是上的单调函数，那么的取值范围是．‎ ‎【考点】函数的单调性及其应用．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数单调性及其应用，其中解答中涉及的分段函数的解析式，分段函数的单调性及其应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据函数为单调递增函数，列出不等式组是解答问题的关键，试题比较基础，属于中档试题．‎ ‎16．在如图所示的三棱锥A-BCD中，BD=2，DC=3，∠DAB+∠BAC+∠DAC=90°，∠ADB=∠BDC=∠ADC=90°．现有一只蚂蚁从点D出发经三棱锥A-BCD的三个侧面绕行一周后回到点D，则蚂蚁爬行的最短距离为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出三棱锥的侧面展开图，可知所求最短距离即为的长度；根据已知的角度可证得四边形为正方形，设，构造方程可解出正方形边长，从而求得.‎ ‎【详解】‎ 三棱锥的侧面展开图如下图（实线部分）所示：‎ 由题意可知，蚂蚁爬行的最短距离即为：‎ ‎ ‎ 且 四边形为正方形 设，则，‎ ‎ ，解得：‎ ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查最短路线问题，关键是能够通过侧面展开图确定直线距离最短，从而利用平面几何的知识来进行求解.‎ 三、解答题 ‎17．在四棱锥中，平面，，，，‎ ‎（Ⅰ）设平面平面，求证： ‎ ‎（II）求证：平面平面 ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（II）见解析.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据线面平行判定定理可知平面；利用线面平行性质定理可证得结论；（II）根据线面垂直性质定理可得，利用余弦定理求得，根据勾股定理可证得，利用线面垂直判定定理证得平面，根据面面垂直判定定理可证得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ），平面，平面 平面 平面，且平面平面 ‎（II）平面，平面 ‎ ‎，，，由余弦定理得：‎ ‎ ‎ 又，，平面，平面 平面 又平面 平面平面 ‎【点睛】‎ 本题考查立体几何中的线面平行的证明与性质、面面垂直的证明、线面垂直的证明与性质应用，考查学生对于空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理的掌握情况.‎ ‎18．在中，角的对边分别为，点为边的中点，若，且满足 ‎（I）求；‎ ‎（II）若，求的周长的最大值．‎ ‎【答案】（I）；（II）‎ ‎【解析】（I）在和利用余弦定理和可得，将代入可整理求出，从而得到所求角；（II）在中利用余弦定理可得；利用基本不等式可求得的最大值，从而可得周长的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）在和中，由余弦定理得：‎ ‎；‎ ‎ ‎ ‎，即 又 ‎ 即：‎ 又 ‎ ‎（II）在中，由余弦定理可得：‎ ‎，即：‎ 又 ‎ 当且仅当时取等号 的周长：，即周长的最大值为 ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理解三角形、三角形周长最大值的求解问题.当问题中涉及到将所求角拆分的情况时，通常利用两个互补角构造余弦定理的形式，利用互补角余弦值互为相反数整理可得结果；解三角形周长最大值时，关键是利用基本不等式得到两边之和的不等关系.‎ ‎19．如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，.点是边的中点，点分别在线段，上，且.‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)求二面角的正切值；‎ ‎(3)求直线与直线PG所成角的余弦值．‎ ‎【答案】⑴见证明；⑵；⑶‎ ‎【解析】（1）由面面垂直的性质得到平面，进而得到.‎ ‎（2）由二面角的定义可知二面角的平面角为，在中求解即可.‎ ‎（3）将直线与所成转化为直线与直线所成角，利用余弦定理求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明：因为，点是中点，所以.‎ 又因为平面平面，交线为，所以平面.‎ 又平面，所以.‎ ‎(2)由(1)可知，.‎ 因为四边形为长方形，所以.‎ 又因为，所以平面.‎ 而平面，所以.‎ 由二面角的平面角的定义，可知为二面角的一个平面角．‎ 在中，‎ 所以 从而二面角的正切值为.‎ ‎(3)连接.因为，所以.‎ 易求得，‎ 所以直线与直线所成角等于直线与直线所成角，即，‎ 在中，‎ 所以直线与直线所成角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题涉及到线与面之间垂直关系的转化，二面角以及异面直线所成的角.求角的问题通常是先把问题转化到平面三角形中，再求角，常与解三角形知识综合.‎ ‎20．设函数 ‎（I）若，且对于，有恒成立，求的取值范围；‎ ‎（II）若，解关于的不等式 ‎【答案】（I）；（II）见解析.‎ ‎【解析】（I）当时，易得；当时，通过分离变量可知；利用二次函数求最值的方式求得的最大值，从而得到结果；（II）将不等式变为；当时，为一元一次不等式，可解得；当时，求得不等式对应的方程的两根，通过讨论两根的大小关系和的正负可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）当时，，此时 当时，恒成立， 即恒成立 设，则且，‎ 函数在区间上是单调递减的 ‎ 综上所述：‎ ‎（II） 解不等式即解不等式 当时，原不等式等价于，解得：‎ 当时，原不等式等价于 令，解得：，‎ 若，则，解得：或 若，则，解得：‎ 若则，解得：或 若，则，解得：‎ 综上，当，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 ‎【点睛】‎ 本题考查不等式恒成立问题的求解，解含有参数的一元二次不等式的问题，涉及到分离变量和分类讨论的思想的应用，属于常规题型.‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（I）求函数在区间上的最小值；‎ ‎（II）若，，求的值；‎ ‎（III）若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围．‎ ‎【答案】（I）；（II）；（III）‎ ‎【解析】将整理为；（I）利用的范围求得的范围，结合的图象可求得最值；（II）利用可求得；结合角的范围和同角三角函数关系可求得；根据，利用两角和差余弦公式可求得结果；（III）利用的范围求得的范围，从而根据单调递增区间构造出关于的不等式组，解不等式组再结合即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（I） ‎ 在区间上的最小值为：‎ ‎（II）由题意得： ‎ ‎ ‎ ‎（III）‎ 时，‎ ‎，，解得：，‎ ‎，可知当时满足题意，即 的取值范围为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数的值域求解、单调性应用、三角恒等变换公式应用、同角三角函数关系等问题.关键是能够利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为的形式，从而通过整体对应的方式来研究函数的值域和性质.‎ ‎22．若函数在区间上的值域为，则称区间为函数的一个“倒值区间”.定义在上的奇函数，当时，‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求函数在上的“倒值区间”；‎ ‎（Ⅲ）记函数在整个定义域内的“倒值区间”为，设，则是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像有两个不同的交点？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）；（Ⅲ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）当，利用函数奇偶性可知，代入求得时的解析式，从而得到分段函数解析式；（Ⅱ）设，利用 单调性和“倒值区间”的定义可得，解方程求得结果；（Ⅲ）当时，，不满足在上的值域，可知在上的“倒值区间”为，同理可得在上的“倒值区间”；根据解析式可得到交点位置，根据交点位置可得关于的方程，利用函数值域可求得的范围；通过两段范围可确定的取值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，‎ 为奇函数 ‎（Ⅱ）设，由（Ⅰ）知，在上单调递减 ‎，整理得：‎ 解得：‎ 函数在上的“倒值区间”为：‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函数在上的“倒值区间”为 当倒值区间时，‎ 而函数在上的值域为 函数在上不存在倒值区间 即：函数在上的“倒值区间”为 当时，同理可求得的倒值区间为 若函数的图像与的图像有两个不同的交点，则两个交点分别在第一、三象限 当交点在第一象限时，方程 即：在区间内恰有一个解 当，单调递减且 当交点在第三象限时，方程 即：在区间内恰有一个解 综上可得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查新定义的运算问题，涉及到根据函数奇偶性求解函数解析式、函数单调性的应用、函数值域的应用、根据交点个数确定参数取值范围的问题.解题关键是能够充分理解新定义的含义，从而利用单调性将值域与定义域联系起来，对学生的应用能力要求较高.‎