数学（理）卷·2018届陕西省西安中学高三上学期期中考试（2017

数学（理）卷·2018届陕西省西安中学高三上学期期中考试（2017

陕西省西安中学2018届高三期中考试 数学试题（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设是虚数单位，若复数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若集合，，则（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎3.赵大姐常说“便宜没好货”她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）‎ A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎4.指数函数（），在上是减函数，则函数在上的单调性为（ ）‎ A．单调递增 B．在上递减，在上递增 ‎ C. 单调递减 D．在上递增，在上递减 ‎ ‎5.若函数，，，又，，且的最小值为，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．2‎ ‎6.函数（，，）的部分图象如图所示，则的值分别为（ ）‎ A．2，0 B．2， C. 2， D．2，‎ ‎7.函数的最大值为，最小正周期为，则有序数对为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.设的三个角所对的边分别为，若，则角的大小为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知函数（）在上为增函数，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知是定义是上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是（ ）上的零点个数是（ ）‎ A．3 B．5 C.7 D．9‎ ‎12.已知函数，若对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，且，则 ．‎ ‎14.对于函数，部分与的对应关系如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎4‎ 数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则的值为 ．‎ ‎15.已知函数，则关于的方程的不同实根的个数为 ．‎ ‎16.已知函数（是常数且），对于下列命题：‎ ‎①函数的最小值是；‎ ‎②函数在上是单调函数；‎ ‎③若在上恒成立，则的取值范围是；‎ ‎④对任意的且，恒有 其中正确命题的序号是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，分别为角的对边，已知，的面积为，又.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎18. 如图，在三棱锥中，，，侧面 为等边三角形，侧棱.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎19. 近年空气质量逐步雾霾天气现象增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸，呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎5‎ 女 ‎10‎ 合计 ‎50‎ 已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为.‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；‎ ‎（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为，求的分布列、数学期望及方差，下面的临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0．10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式，其中.）‎ ‎20. 已知椭圆的右焦点为，离心率为.‎ ‎（1）若，求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.‎ ‎21. 已知函数（）的图象在处的切线为（为自然对数的底数）‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为（，为参数），曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直坐标方程，并说明曲线的形状；‎ ‎（2）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当，求函数的定义域；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围 陕西省西安中学2018届高三期中考试 数学试题（理科）参考答案 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B B C A D B D C A D A 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎，‎ ‎ 7561‎ ‎4‎ ‎①③④‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.【解析】（Ⅰ）,‎ ‎, ‎ 又∵为的内角，，‎ ‎∴． ‎ ‎（Ⅱ）由，及得， ‎ ‎ 又，．‎ ‎． ‎ ‎18．【解析】（Ⅰ）证明：设中点为，连结，， ‎ 因为，所以.‎ 又，所以. ‎ 所以就是二面角的平面角. ‎ 又由已知，，‎ 所以，. ‎ 又为正三角形，且，‎ 所以. ‎ 因为，所以. ‎ 所以.‎ 所以平面平面 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，两两垂直. 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 易知，，，.‎ 所以，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则 即 令，则，.‎ 所以平面的一个法向量为. ‎ 易知平面的一个法向量为.‎ 所以. ‎ 由图可知，二面角为锐角.‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎19.【解析】（Ⅰ）由于在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，所以50人中患心肺疾病的人数为30人，故可将列联表补充如下：‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎. ‎ 故有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关.‎ ‎（Ⅱ）离散型随机变量的所有可能取值为：‎ ‎，，‎ ‎，.‎ 所以的分布列如下：‎ ‎∴.‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎20．【解析】（Ⅰ）由题意得，∴. ‎ 又因为，∴. ‎ 所以椭圆的方程为. ‎ ‎（Ⅱ）由 得. ‎ 设.所以，‎ 依题意，，易知，四边形为平行四边形，所以.‎ 因为，，‎ 所以.‎ 即 ，‎ 将其整理为 . ‎ 因为，所以，.‎ 所以，即.‎ ‎21．【解析】（Ⅰ），.‎ 由题意知. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，‎ ‎∴对任意恒成立 对任意恒成立 对任意恒成立. ‎ 令，则.‎ 由于，所以在上单调递增. ‎ 又，，，，‎ 所以存在唯一的，使得，且当时，，时，. 即在单调递减，在上单调递增.‎ 所以.‎ 又，即，∴.‎ ‎∴ .‎ ‎∵，∴ . ‎ 又因为对任意恒成立，‎ 又，∴ . ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22.选修4－4：坐标系与参数方程 ‎【解析】（Ⅰ）由可得，即，‎ ‎∴ 曲线表示的是焦点为，准线为的抛物线. ‎ ‎（Ⅱ）将代入，得，∴ ，‎ ‎∵ ，∴ ，∴直线的参数方程为 (为参数).‎ 将直线的参数方程代入得，‎ 由直线参数方程的几何意义可知，‎ ‎. ‎ ‎23.选修4－5：不等式选讲 ‎【解析】（Ⅰ）当时，函数的定义域即为不等式的解集.‎ 由于 或或.‎ ‎ 或无解或. ‎ 所以函数的定义域为.‎ ‎（Ⅱ）若使的解集是，则只需.‎ 由于. ‎ 所以的取值范围是. ‎