陕西省西安中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

陕西省西安中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

西安中学2019-2020学年度第一学期期末考试 高二数学(文)‎ 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）‎ ‎1.命题“若，则且”的否命题为（ ）‎ A. 若，则且 B. 若，则且 C. 若，则或 D. 若，则或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据否命题要否定条件和结论得答案.‎ ‎【详解】命题“若，则且”的否命题为“若，则或”.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查否命题的写法，注意且的否定为或，是基础题.‎ ‎2.设抛物线的焦点在直线上，则该抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线焦点在上，求得，进而得到抛物线的准线方程，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，抛物线的焦点，又由焦点在上，‎ 解得，所以抛物线的准线方程为，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3.已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,到另一焦点距离为7,则m 等于（ ）‎ A. 10 B. ‎5 ‎C. 15 D. 25‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆上一点到椭圆两焦点距离和为可得答案.‎ ‎【详解】解：，得，故，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，是基础题.‎ ‎4.“”是“曲线为焦点在x轴上的椭圆”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由“”，知“方程表示焦点在轴上的椭圆”；由“方程表示焦点在轴上的椭圆”，知“”，进而可得结果.‎ ‎【详解】解：∵“”⇒“方程表示焦点在轴上的椭圆”， “方程表示焦点在轴上的椭圆”⇒“”， ∴“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的既不充分也不必要条件. 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查必要条件、充分条件的判断，解题时要认真审题，注意椭圆的定义和性质的合理运用.‎ ‎5.设双曲线的离心率是3,则其渐近线的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的离心率，求出的关系式，然后求渐近线方程.‎ ‎【详解】解：双曲线的离心率是3， 可得，则.‎ 则双曲线的渐近线的方程为：. 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.‎ ‎6.已知函数，则的图象大致为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】由于，排除B选项.‎ 由于，，函数单调递减，排除C选项.‎ 由于，排除D选项.故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图象，属于基础题.‎ ‎7.函数的图像如图所示，则关于函数的说法正确的是（ ）‎ A. 函数有3个极值点 B. 函数在区间上是增加的 C. 函数在区间上是增加的 D. 当时，函数取得极大值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 导函数，则函单调递增，导函数，则函数单调递减，极值点的两则函数的单调性相反，所以由图象可知极值点.‎ ‎【详解】解：函数有两个极值点：和，但不是函数极值点，所以A错误； 函数在和上单调递增，在上单调递减，所以B错误，C正确； 不是函数的极值点，所以D错误. 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查的是，函数的图象，由导函数的图象判断原函数的单调区间和极值，要注意的是导函数的零点和零点两侧正负性，属于基础题.‎ ‎8.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导函数，利用导函数与原函数单调性的关系进行判断，要使在区间上是增函数，则在上恒成立，分离参数，即可得到答案．‎ ‎【详解】由题得，要使在区间上是增函数，则在上恒成立，即，则在上恒成立，又，当且仅当时，等号成立，所以，‎ 故答案选D ‎【点睛】本题主要考查导数与原函数单调性之间的关系，将含参问题转化为最值成立，是解决本题的关键，属于中档题．‎ ‎9.如图，在同一平面内，A，B为两个不同的定点，圆A和圆B的半径都为r，射线AB交圆A于点P，过P作圆A的切线l，当r（）变化时，l与圆B的公共点的轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的定义得动点轨迹为抛物线．‎ ‎【详解】设切线与圆的公共点，过作直线的垂线，过作，垂足为，连，‎ 则， 所以，即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，且定点不在定直线上， 根据抛物线定义知，动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线． 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线定义，熟练掌握抛物线的定义是解决此题的关键.‎ ‎10.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】的定义域是（0，+∞），‎ ‎，‎ 若函数有两个不同的极值点，‎ 则在（0，+∞）由2个不同的实数根，‎ 故，解得：，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．‎ ‎11.已知是椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，若是锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：依题意可知，，即，两边除以得，解得．‎ 考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.椭圆离心率.‎ ‎12.设直线与函数，的图像分别交于点，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：将两个函数作差，得到函数，再求此函数的最小值，即可得到结论.‎ 详解：设函数，则.‎ 令，，，函数在上单调递增；‎ 令，，，函数在上单调递减.‎ 当时，函数取得最小值为.‎ 故选：D.‎ 点睛：本题考查导数知识运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值.‎ 二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡的相应位置上.）‎ ‎13.函数的单调减区间为_______ ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数研究函数单调性即可得到结论.‎ ‎【详解】解：∵，， 则， 由，即，解得 ， ，即函数的单调减区间为， 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数单调区间的求解，根据函数的导数和单调性之间的关系是解决本题的关键.‎ ‎14.已知命题为真命题，命题为假命题，则在下列命题中：；；是真命题的有______个 ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合命题真假关系进行判断即可．‎ ‎【详解】若命题p为真命题，命题q为假命题，‎ 则是真命题，是假命题，是真命题，‎ 则真命题的是，有2个，‎ 故答案为2‎ ‎【点睛】本题主要考查复合命题真假判断，根据与p真假性相反，同真为真，其他为假，同假为假，其余为真的结论是解决本题的关键．‎ ‎15.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_______ ．‎ ‎【答案】8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据得到的值.‎ ‎【详解】解：的导数为， 曲线在处的切线斜率为， 则曲线在处的切线方程为，即. 由于切线与曲线相切， 可联立， 得， 所以有， 解得. ‎ 故答案为：8.‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键.‎ ‎16.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一万斤藕，成本增加万元．如果销售额函数是是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，是常数若种植2万斤，利润是万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕_______万斤 ．‎ ‎【答案】6.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设销售利润为，得，当时，，解得.可得，利用导数研究其单调性即可得出.‎ ‎【详解】解：设销售利润为，得， 当时，，解得. ∴， ， ∴函数在上单调递增，在上单调递减. 时，函数取得极大值即最大值，‎ 故答案为：6.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：．‎ 若p为真命题，求实数m的取值范围；‎ 若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若为真命题，则应有，解得实数的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，则，应一真一假，进而实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）若为真命题，则应有，解得； ‎ ‎（2）若为真命题，则有，即，‎ 因为为真命题，为假命题， ‎ 则，应一真一假.‎ ‎①当真假时，有，得；‎ ‎②当假真时，有，无解，综上，的取值范围是.‎ ‎18.已知椭圆的离心率为，短轴长为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可； （2）设直线斜率为k，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k的值，从而求出直线方程．‎ 试题解析：‎ ‎（1），2b=4，所以a=4，b=2，c=，椭圆标准方程为 ‎（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，则 ‎，分别代入椭圆的方程，两式相减得，所以，所以，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，即．‎ 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.‎ ‎19.已知过抛物线 的焦点，斜率为的直线交抛物线于 两点，且 .‎ ‎（1）求抛物线的方程;‎ ‎（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若 ，求的值.‎ ‎【答案】（1）y2＝8x.（2）λ＝0，或λ＝2.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式，先写出直线的方程，再与抛物线的方程联立方程组，设而不求，利用根与系数关系得出，然后利用焦半径公式得出焦点弦长公式，求出弦长，第二问根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.‎ 试题解析：‎ ‎ (1)直线AB的方程是y＝2（x-），与y2＝2px联立，消去y得8x2－10px＋2＝0，‎ 由根与系数的关系得x1＋x2＝ .由抛物线定义得|AB|＝＋p＝9，故p=4 ‎ ‎(2)由(1)得x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)．‎ 设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)， ‎ 又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，‎ 解得λ＝0或λ＝2.‎ ‎【点睛】求弦长问题，一般采用设而不求联立方程组，借助根与系数关系，利用弦长公式去求；但是遇到抛物线焦点弦长问题时，可直接利用焦半径公式，使用焦点弦长公式，求出弦长.遇到与向量有关的问题，一般采用坐标法去解决，根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，所以.‎ 又因为，所以曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，则.‎ 当时，，‎ 所以在区间上单调递减.‎ 所以对任意有，即.‎ 所以函数在区间上单调递减.‎ 因此在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.‎ ‎21.已知双曲线的渐进线方程为，且过点 求双曲线的方程；‎ 若直线与双曲线相交于A、B两点，求的值．‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可知：设所求双曲线的方程为：，将点，代入双曲线方程，求得的值，求得双曲线方程； （2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式，即可求出弦的值.‎ ‎【详解】因为双曲线的渐进线方程为，‎ 所以设所求双曲线的方程为： ‎ 把代入方程，整理得：， ‎ 解得，‎ 所以双曲线的方程为；‎ 由题意可知：设，，‎ 则由整理得：，‎ 由韦达定理得：，‎ 由弦长公式可知：，‎ 的值为.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程和几何性质，考查直线和双曲线的位置关系，韦达定理及弦长公式的应用，属于中档题.‎ ‎22.已知函数 ‎（1）若a=1，求f（x）的极值；‎ ‎（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a取值范围．‎ ‎【答案】（1）f（x）的极小值是f（1）=1，无极大值（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）求出导数，由不等式确定增区间，由确定减区间，从而得极值；‎ ‎（2）问题等价于，因此用导数研究函数的最小值，由最小值小于0可求得的范围，注意要分类讨论．‎ 详解：（1）a=1时，f（x）=x﹣lnx，函数f（x）的定义域是（0，+∞），‎ f′（x）=1﹣=，令f′（x）＞0，解得x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，‎ f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）的极小值是f（1）=1，无极大值；‎ ‎（2）存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，等价于[f（x）﹣g（x）]min＜0，‎ ‎（x∈[1，e]）成立，设h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣alnx+，‎ 则h′（x）=，令h′（x）=0，解得：x=﹣1（舍），x=1+a；‎ ‎①当1+a≥e，h（x）在[1，e]递减，∴h（x）min=h（e）=e2﹣ea+1+a，‎ 令h（x）min＜0，解得：a＞；‎ ‎②当1+a＜e时，h（x）在（1，a+1）递减，在（a+1，e）递增，‎ ‎∴h（x）min=h（1+a）=a[1﹣ln（a+1）]+2＞2与h（x）min＜0矛盾，‎ 综上，a＞．‎ 点睛：本题考查导数的应用，考查转化与化归思想，命题“若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立”等价于“时，”，转化后只要研究函数的最小值即可，而这又可用导数研究．‎ ‎ ‎