陕西省西安中学2020届高三上学期期末考试数学（文）试题

陕西省西安中学2020届高三上学期期末考试数学（文）试题

‎2019-2020学年高三第一学期（上）期末数学文科试卷 一、选择题 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 故选B ‎2.设复数满足，则在复平面内对应的点在（ ）‎ A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出复数，再求对应的点的坐标.‎ ‎【详解】∵，∴，∴，∴在复平面内对应的点在第一象限. ‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算及复数的几何意义，属基础题.‎ ‎3.命题“任意，”的否定是( )‎ A. 存在， B. 存在，‎ C. 任意， D. 任意，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据含有量词的命题的否定即可得到结论．‎ 详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x＞0，‎1”‎的否定是：‎ 存在，‎ 故选B．‎ 点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎4.总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 ‎7816 ‎ ‎6572 ‎ ‎0802 ‎ ‎6314 ‎ ‎0702 ‎ ‎4369 ‎ ‎9728 ‎ ‎0198 ‎ ‎3204 ‎ ‎9234 ‎ ‎4935 ‎ ‎8200 ‎ ‎3623 ‎ ‎4869 ‎ ‎6938 ‎ ‎7481 ‎ A. 08 B. ‎07 ‎C. 02 D. 01‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.‎ 考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.‎ ‎5.若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（ ）‎ A. 9 B. ‎4 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得满足的关系，用“‎1”‎的代换结合基本不等式求得的最小值．‎ ‎【详解】圆标准方程为，圆心为，半径为，‎ 直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，∴，，‎ 又，‎ ‎∴，当且仅当，即时等号成立．‎ ‎∴的最小值是9．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得的关系，然后用“‎1”‎的代换法把凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值．‎ ‎6.若函数 满足：，都有，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，函数f（x）在定义域R上是增函数，故可得到，解出即可．‎ ‎【详解】∵对任意x1，x2∈R（x1≠x2），恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，‎ ‎∴函数f（x）在定义域R上是增函数，‎ ‎∴，‎ 解得，2≤a＜3，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性的判断及分段函数的单调性的应用，注意断点处要保证增，属于中档题．‎ ‎7.一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的全面积与球的表面积之比为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设球的半径为,分别求出球和圆柱的表面积即可求解.‎ ‎【详解】设球的半径为,则该圆柱的底面半径为，高为 所以圆柱的表面积为：,球的表面积为：‎ 则圆柱的全面积与球的表面积之比为 故答案选B ‎【点睛】本题主要考查了圆柱和球的表面积，属于基础题.‎ ‎8.数列{an}满足a1=1，对任意n∈N*都有an+1=an+n+1，则=（　　　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得n≥2时，an-an-1=n，再由数列的恒等式：an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+‎ ‎（an-an-1），运用等差数列的求和公式，可得an，求得==2（-），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．‎ ‎【详解】解：数列{an}满足a1=1，对任意n∈N*都有an+1=an+n+1，‎ 即有n≥2时，an-an-1=n，‎ 可得an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）‎ ‎=1+2+3+…+n=n（n+1），也满足上式 ‎==2（-），‎ 则=2（1-+-+…+-）‎ ‎=2（1-）=．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．‎ ‎9.函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过函数在处函数有意义，在处函数无意义，可排除A、D；通过判断当 时，函数的单调性可排除C，即可得结果.‎ ‎【详解】当时，，函数有意义，可排除A；‎ 当时，，函数无意义，可排除D；‎ 又∵当时，函数单调递增，‎ 结合对数函数的单调性可得函数单调递增，可排除C；‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.‎ ‎10.若向量，，，则向量与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可求得，从而，这样由便可得到，从而得出，可作△AOB，从而可以得出，而，和的夹角容易得出，即得出与的夹角．‎ ‎【详解】根据条件，；‎ ‎∴2cos∠AOB＝﹣1；‎ ‎∴；‎ ‎∴，如图，作△AOB，，OA＝OB，‎ 则：‎ ‎，；‎ ‎∴和夹角为；‎ 即向量与夹角为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的长度，向量数量积的计算公式，以及向量减法的几何意义，考查了向量夹角的概念，属于中档题．‎ ‎11.执行如下的程序框图，则输出的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出每一步算法循环，可得出输出结果的值.‎ ‎【详解】满足，执行第一次循环，，；‎ 成立，执行第二次循环，，；‎ 成立，执行第三次循环，，；‎ 成立，执行第四次循环，，；‎ 成立，执行第五次循环，，；‎ 成立，执行第六次循环，，；‎ 成立，执行第七次循环，，；‎ 成立，执行第八次循环，，；‎ 不成立，跳出循环体，输出的值为，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.‎ ‎12.已知函数满足，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.‎ ‎【详解】设,则函数的导数,，，即函数为减函数,,，则不等式等价为，‎ 则不等式的解集为,即的解为，，由得或，解得或,‎ 故不等式的解集为.故选:.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.‎ 二、填空题（本题共4小题）‎ ‎13.若是等比数列，且公比，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的通项公式先求出首项,即可求得.‎ ‎【详解】因为是等比数列, 公比，,‎ 故,‎ 解得 ‎∴,‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式公式,考查了整体运算思想,属基础题．‎ ‎14.已知实数、满足条件则的最大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.‎ ‎【详解】‎ 画出表示的可行域，如图，‎ 由可得，‎ 将变形为，‎ 平移直线，‎ 由图可知当直经过点时，‎ 直线在轴上的截距最小，‎ 有最大值，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎15.已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，的面积等于，则外接圆的面积为______．‎ ‎【答案】4π ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形面积公式求解,再利用余弦定理求得,进而得到外接圆半径,再求面积即可.‎ ‎【详解】由，解得．．解得．‎ ‎，解得．∴△ABC外接圆的面积为4π．‎ 故答案为：4π．‎ ‎【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦与面积公式的运用,属于基础题型.‎ ‎16.双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2（|F‎1F2|＝‎2c），以坐标原点O为圆心，以c为半径作圆A，圆A与双曲线C的一个交点为P，若三角形F1PF2的面积为a2，则C的离心率为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设为右支上一点，设，运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，结合勾股定理和三角形的面积公式，可得的关系式，即可求解双曲线的离心率，得到答案.‎ ‎【详解】不妨设P为右支上一点，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，‎ 由双曲线的定义可得m﹣n＝‎2a，‎ 由题意可得△PF‎1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，‎ 可得m2+n2＝‎4c2，且mn＝a2，‎ 由（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝‎4c2﹣‎4a2＝‎4a2，即为ca，‎ 可得e.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．‎ 三、解答题 ‎17.已知函数 ‎（1）求函数的最小正周期T和单调递增区间；‎ ‎（2）若，且关于x的函数的最小值为，求的值 ‎【答案】(1) ，增区间 (2)-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简函数式，然后结合正弦函数性质可得周期与增区间；‎ ‎（2）设可得，由二次函数的知识可得．‎ ‎【详解】解：（1）‎ 则函数的周期 函数的增区间 ‎（2）‎ 令可得 换元可得，对称轴为 ‎【点睛】本题考查函数的周期性，考查换元法与二次函数的性质，考查正弦函数的性质，解题时注意换元后一定要求得新元的取值范围，否则会得出错误的解．‎ ‎18.某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为）进行统计，按照，，，，‎ 的分组作出频率分布直方图，已知得分在，的频数分别为8，2．‎ ‎（1）求样本容量和频率分布直方图中的的值；‎ ‎（2）估计本次竞赛学生成绩的中位数；‎ ‎（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率．‎ ‎【答案】(1)；(2)；(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：(1)借助题设条件运用频率分布直方图求解；(2)借助题设条件运用频率分布直方图中提供的数据信息求解；(3)运用列举法和古典概型计算公式求解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意可知，样本容量n==50， ‎ ‎，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030； ‎ ‎（2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m，平均分为，‎ 则[0.016+0.03]×10+（m﹣70）×0.040 =0.5，解得， ‎ ‎=（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6， ‎ ‎（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，‎ 分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，‎ 分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），‎ ‎（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），‎ ‎（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）． ‎ 其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：‎ ‎（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．‎ ‎∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率. ‎ 考点：频率分布直方图、频率与频数的关系及古典概型的计算公式等有关知识的综合运用．‎ ‎【易错点晴】本题以学校中的数学竞赛的数学成绩的抽样统计的频率分布直方图为背景,设置了三个较为平常的数学问题.解答时一定要充分利用题设中提供的频率分布直方图所提供的数据信息,结合题设条件进行求解.第一问中求的是频率分布直方图中的未知数的值,运用该频率分布直方图时一定要注意该图的纵坐标是频率与组距的比值,这一点解题很容易被忽视.第二问中求的是中位数和平均数,求解时先依据中位数这个概念建立了方程求解,再运用平均数公式进行求解；第三问是运用简单枚举法一一列举出基本事件的所有可能和符合条件的事件的可能,最后运用古典概型的计算公式求出其概率的值.这是一道非常平常的考查基础知识和基本方法的基础题.‎ ‎19.在如图所示的多面体中，面是平行四边形，四边形是矩形.‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)若，，，，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据平行四边形和矩形特点可得，，由线面平行判定定理和面面平行判定定理可证得平面平面；由面面平行性质定理可证得结论；‎ ‎（2）设，可知为中点，根据比例关系和体积桥可知；利用余弦定理求得后可证得，由线面垂直判定定理证得平面；利用三棱锥体积公式可求得，进而求得结果.‎ ‎【详解】（1）四边形为平行四边形 ‎ 又平面，平面 平面 四边形为矩形 ‎ 又平面，平面 平面 平面， 平面平面 又平面 平面 ‎（2）设，连接 四边形为平行四边形 为中点 在中，由余弦定理得：‎ ‎ ‎ 又，平面， 平面 点到平面的距离为 ‎，‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、三棱锥体积的求解问题；涉及到线面平行判定定理、面面平行判定定理和性质定理、线面垂直的判定定理的应用；求解三棱锥体积问题的常用方法是利用体积桥的方式将问题转化为底面积和高易求的三棱锥体积的求解问题.‎ ‎20.设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与 交于，两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．‎ ‎【答案】(1)(2)证明见解析，定点．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由焦距和离心率求出，根据椭圆的性质求出,即可写出椭圆的方程.‎ ‎(2)将直线代入椭圆方程，利用韦达定理求出，结合直线方程，求出，,将表示为坐标形式，化简求出的值，根据直线方程的性质即可得到直线过定点的坐标.‎ ‎【详解】解：（1）‎ 因为，则 故，所以椭圆的方程为 ‎（2）设，，‎ 联立，消去整理可得 所以，，‎ 所以 因为，‎ 所以 所以 整理可得 解得或（舍去）‎ 所以直线过定点 ‎【点睛】本题难度较大，主要考查了椭圆的基本性质，向量的数量积以及直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力，属于难题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案不唯一，见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由题意得到定义域，对函数求导，分别讨论和两种情况，即可得出结果；‎ ‎（2）因为，由（1）得到函数在上单调递增，不妨设，则可化为，令 ‎，则为上的减函数，对求导，根据函数单调性，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）∵依题意可知：函数的定义域为，‎ ‎∴，‎ 当时，在恒成立，所以在上单调递增.‎ 当时，由得；由得；‎ 综上可得当时，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减；在上单调递增.‎ ‎（2）因为，由（1）知，函数在上单调递增，‎ 不妨设，则，‎ 可化为，‎ 设，则，‎ 所以为上的减函数，‎ 即在上恒成立，等价于在上恒成立，‎ 设，所以，‎ 因，所以，所以函数在上是增函数，‎ 所以（当且仅当时等号成立）‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的方法判断函数的单调性，以及由不等式恒成立求参数的问题，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线和曲线交于两点，求的值．‎ ‎【答案】（1）曲线的普通方程为,直线的直角坐标方程为;（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）考察参数方程、极坐标方程、直角坐标方程互化，常规化考题 ‎（2）该类型考题多注意恰好在直线上，从而将直线直角坐标方程化为过P的参数方程，利用参数方程及参数几何意义就可以完成本题．‎ ‎【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 所以曲线C的普通方程为.‎ 因为，所以.‎ 所以直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由题得点在直线l上，直线的参数方程为，‎ 代入椭圆的方程得，所以，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】属于常规考题，考察了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程互化．属于简单题，多注重直线的参数方程及其几何意义的运用，常见的问题有求，， 等值.‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）设 ，且当时，都有，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或 ； （2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴代入，运用代数法去绝对值，然后求解的解集 ‎⑵当时，求得，转化为，求出不等式结果 ‎【详解】（1）当 时，，‎ 故不等式 可化为：或 或，‎ 解得：或， 所求解集为或．‎ ‎（2）当 时，由有： ．‎ ‎ 不等式 可变形为： ‎ 故对恒成立，即 ，解得 而 ，故． 的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含有绝对值解不等式，在解答此类题目时，可以采用代数法去绝对值，然后再解不等式，注意解题过程中的分类讨论，本题属于中档题．‎ ‎ ‎