陕西省西安中学2020届高三下学期第六次模拟数学(文)试题

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陕西省西安中学2020届高三下学期第六次模拟数学(文)试题

西安中学高2020届高三第六次模拟考试 数学(文)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由集合,然后结合集合,判断即可得解.‎ 详解】解:由,‎ 又,‎ 所以,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的包含关系,属基础题.‎ ‎2.复数的共轭复数( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由复数的运算可得,然后求其共轭复数即可.‎ ‎【详解】解:因为,‎ 则,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算,重点考查了共轭复数的概念,属基础题.‎ ‎3.刘徽的割圆术是建立在圆面积论的基础之上的.他首先论证,将圆分割成多边形,分割越来越细,多边形的边数越多,多边形的面积和圆的面积的差别就越来越小了.如图,阴影部分是圆内接正12边形,现从圆内任取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出阴影部分及圆的面积,然后结合几何概型中面积型的概率公式求解即可.‎ ‎【详解】解:设圆的半径为1,‎ 由题意可得阴影部分的面积为,‎ 又圆的面积为,‎ 则由几何概型中面积型的概率公式可得此点取自阴影部分的概率是,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了几何概型中面积型的概率公式,重点考查了正多边形面积的求法,属基础题.‎ ‎4.设,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得,得解.‎ ‎【详解】解:由,‎ 则,‎ 即,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了对数值,指数幂的大小的比较,属基础题.‎ ‎5.一动圆的圆心在抛物线上,且动圆恒与直线相切,则此动圆必过定点( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆和x轴相交于M点,根据圆的定义得到CA=CM=R,因为x=-2,是抛物线的准线,结合抛物线的定义得到M点为焦点.‎ ‎【详解】圆心C在抛物线上,设与直线相切的切点为A,与x轴交点为M,由抛物线的定义可知,CA=CM=R,直线为抛物线的准线,故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 这个题目考查了抛物线的定义的应用以及圆的定义的应用,一般和抛物线有关的小题,很多时可以应用结论来处理的;平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用.尤其和焦半径联系的题目,一般都和定义有关,实现点点距和点线距的转化.‎ ‎6.已知函数的部分图象如图所示,则的解析式可能为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数图像的对称性及特殊点逐一判断即可得解.‎ ‎【详解】解:由函数图像关于轴对称可得,函数为偶函数,‎ 又选项C对应的函数为奇函数,则排除选项C,‎ 又,显然选项B不满足题意,即排除选项B,‎ 又,显然选项A不满足题意,即排除选项A,‎ 即的解析式可能为D,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的图像,重点考查了函数的奇偶性,属基础题.‎ ‎7.设n%m表示自然数n被正整数m除所得余数,[x]表示不超过x的最大整数,如20%7=6,[3.14]=3.在图示框图中,若输入2049 ,则输出值为( )‎ A. 15 B. ‎20 ‎C. 45 D. 38‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先理解程序框图的功能,然后依次循环运算即可得解.‎ ‎【详解】解:由题意有第一次循环:,‎ 第二次循环:,‎ 第三次循环:,‎ 第四次循环:,‎ 则此时,输出当前的,‎ 即输出值为,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图,重点考查了阅读能力,属基础题.‎ ‎8.已知数列为各项均为正数的等比数列,是它的前项和,若,且,则=( )‎ A. 32 B. ‎31 ‎C. 30 D. 29‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据已知求出,再求出公比和首项,最后求.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以.‎ 因为,‎ 所以.‎ 所以,‎ 所以.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算,考查等比中项的应用,考查等比数列的前n项和的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎9.一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有下列结论:‎ ‎①AB⊥EF;‎ ‎②AB与CM成60°的角;‎ ‎③EF与MN是异面直线;‎ ‎④MN∥CD.其中正确的是(  )‎ A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①③‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】将展开图还原为正方体,由于EF∥ND,而ND⊥AB,∴EF⊥AB;显然AB与CM平行;EF与MN 是异面直线,MN与CD也是异面直线,故①③正确,②④错误.‎ ‎10.的面积为,角的对边分别为,若,则的值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由余弦定理及三角形面积公式可得,然后利用二倍角的正切公式求解即可.‎ ‎【详解】解:因为,‎ 由余弦定理及三角形面积公式可得:,‎ 即,即,‎ 即,‎ 即,‎ 所以,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理及三角形面积公式,重点考查了二倍角的正切公式,属基础题.‎ ‎11.设双曲线()的左、右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点,连结,若,,则双曲线的离心率为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本道题设,利用双曲线性质,计算x,结合余弦定理,计算离心率,即可.‎ ‎【详解】结合题意可知,设 则结合双曲线的性质可得,‎ 代入,解得,所以,‎ 对三角形运用余弦定理,得到 ‎,解得 故选B.‎ ‎【点睛】本道题考查了双曲线的性质,考查了余弦定理,关键利用余弦定理,解三角形,进而计算x,即可,难度偏难.‎ ‎12.已知,.定义集合,则的元素个数满足( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先理解题意,然后分①当,时,②当,时, ③当,时,三种情况讨论即可.‎ ‎【详解】解:由,,‎ ‎①当,时, ,‎ ‎,‎ 此时的元素个数为个,‎ ‎②当,时, ,‎ ‎,‎ 这种情况和第①种情况除外均相同,故新增个,‎ ‎③当,时, ,‎ ‎,这种情况与前面重复,新增0个,‎ 综合①②③可得:‎ 的元素个数为个,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断,重点考查了计数原理的应用,属中档题.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.点是正方形的边的中点,若,则__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 以为坐标原点,为轴,为轴,设正方形的边长为,则:,,,可得:,,若,可得,解得,,,则,故答案为3.‎ ‎14.设是等差数列的前项和,若,,则__________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 因为,,所以 ,因此 ‎ ‎15.已知,满足不等式组,若不等式恒成立,则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,由题意可得点的坐标为.‎ 又直线过定点,故得.‎ 由图形得,若不等式恒成立,‎ 则,解得.‎ 故实数的取值范围是.‎ 答案: ‎ 点睛:线性规划中的参数问题及其求解思路 ‎(1)线性规划中的参数问题,就是已知目标函数的最值或其他限制条件,求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题.‎ ‎(2)求解策略:解决这类问题时,首先要注意对参数取值的讨论,将各种情况下的可行域画出来,以确定是否符合题意,然后在符合题意的可行域里,寻求最优解,从而确定参数的值(或范围).‎ ‎16.若某直线被两平行线与所截得的线段的长为 ‎,则该直线的倾斜角大小为_______.‎ ‎【答案】和 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由两平行直线的距离公式得直线与的距离为,再结合直线被两平行线所截得的线段的长为,求得该直线与直线所成角,然后结合直线的倾斜角为求解即可.‎ ‎【详解】解:由两平行直线的距离公式可得:‎ 直线与的距离为,‎ 又直线被两平行线与所截得的线段的长为,‎ 即该直线与直线所成角,‎ 又直线的倾斜角为,‎ 则该直线的倾斜角大小为和,‎ 故答案为:和.‎ ‎【点睛】本题考查了两平行直线的距离公式及直线的倾斜角,重点考查了运算能力,属基础题.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎17.已知函数.‎ ‎(1)在所给的坐标纸上作出函数的图像(不要求写出作图过程);‎ ‎(2)令, 求函数的定义域及不等式的解集.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)定义域为,不等式解集为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由函数的解析式作出其图像即可;‎ ‎(2)先解,求出函数的定义域,然后解不等式,求其解集即可.‎ ‎【详解】解:(1)由题意可得:,‎ 则函数的图像为:‎ ‎(2),‎ 由,解得,‎ 则函数的定义域为 解不等式,‎ 即,‎ 即,‎ 解得:‎ 不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数图像的作法,重点考查了三角函数的定义域及三角不等式的解法,属基础题.‎ ‎18.某高三理科班共有60名同学参加某次考试,从中随机挑选出5名同学,他们的数学成绩x与物理成绩y如下表:‎ 数据表明y与x之间有较强的线性关系.‎ ‎(1)求y关于x的线性回归方程;‎ ‎(2)该班一名同学的数学成绩为110分,利用(1)中的回归方程,估计该同学的物理成绩;‎ ‎(3)本次考试中,规定数学成绩达到125分为优秀,物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%,且除去抽走的5名同学外,剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关?‎ 参考数据:回归直线的系数.‎ ‎,.‎ ‎【答案】(1)(2)82(3)可以认为 ‎【解析】‎ ‎(1)由题意可知,‎ 故 .‎ ‎,‎ 故回归方程为.‎ ‎(2)将代入上述方程,得. ‎ ‎(3)由题意可知,该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36. ‎ 抽出的5人中,数学优秀但物理不优秀的共1人,‎ 故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人.‎ 于是可以得到列联表为:‎ 于是,‎ 因此在犯错误概率不超过0.01的前提下,可以认为数学优秀与物理优秀有关.‎ 点睛:本题主要考查线性回归方程,属于难题.求回归直线方程的步骤:①依据样本数据画出散点图,确定两个变量具有线性相关关系;②计算的值;③计算回归系数;④写出回归直线方程为; 回归直线过样本点中心是一条重要性质,利用线性回归方程可以估计总体,帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎19.如图,六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成,且,,沿进行翻折,得到的图形如图所示,且.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求证:点不在同一平面内;‎ ‎(3)求翻折后所得多面体的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先证明,,然后证明面即可;‎ ‎(2)用反证法,结合线面平行的判定定理和性质定理,即可证明;‎ ‎(3)由,然后求解即可.‎ ‎【详解】证明:(1)在等腰梯形ADEF中,作于M,‎ 则,‎ ‎.‎ 连接AC,则,‎ ‎;‎ 平面ADEF. ‎ ‎(2)假设在同一平面内,‎ 则平面,‎ 平面,平面,‎ 平面,,,‎ ‎,这与已知条件四边形是梯形矛盾,‎ 所以假设不成立,即点不在同一平面内;‎ ‎(3)由1知,平面ADEF,而平面ABCD,‎ 平面平面ADEF.‎ 平面ABCD,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直的判定、直线与平面平行的判定与性质的应用,重点考查了空间几何体体积的运算,属中档题.‎ ‎20.已知抛物线经过椭圆的两个焦点.‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)设点,又为 与不在轴上的两个交点,若的重心在抛物线 上,求椭圆的方程.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意可得即,再结合及椭圆的离心率求解即可.‎ ‎(2)联立抛物线与椭圆的方程,求出的坐标,然后利用重心坐标公式求解即可.‎ ‎【详解】解:(1)因为抛物线经过椭圆的两个焦点, ‎ 又抛物线经过椭圆的两个焦点,‎ 则,‎ 即,‎ 由,‎ 则椭圆的离心率.‎ ‎(2)由(1)可知,‎ 则椭圆的方程为,‎ 联立抛物线的方程,‎ 消得, ‎ 解得:或(舍去),‎ 所以,‎ 即,‎ 所以的重心坐标为. ‎ 又因为的重心在上,‎ 所以,‎ 得.‎ 所以,‎ 即椭圆的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆离心率的求法,重点考查了运算能力,属中档题.‎ ‎21.设函数 ‎(1)当时,求函数在处的切线方程;‎ ‎(2)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(3)当时,若存在极值点,求证:‎ ‎【答案】(1);(2)增区间,无减区间;(3)证明见解析 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)由导数的几何意义,先求出切线斜率,再求切线方程即可;‎ ‎(2)先求出函数的导函数,再解不等式求解即可;‎ ‎(3)由导数的应用,求出函数的极值点,再代入运算即可得解.‎ ‎【详解】解:(1)当时,. ‎ 则切线斜率,‎ 即切线方程为,即. ‎ ‎(2)当时,.‎ 令,则,‎ 则当时,,当时,,‎ 即在区间上递减,在上递增.‎ 从而,‎ 所以在上恒成立,. ‎ 所以,函数的单调缔造者区间为. ‎ ‎(3)由题意有,‎ 由题设得函数有正零点,设为,即.‎ ‎ ‎ 可得:在区间上递减,在上递增,‎ 所以,‎ 于是,即. ‎ 于是.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义,重点考查了利用导数求函数的单调性及证明不等式,属中档题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,圆的方程为.‎ ‎(1)求出直角坐标系中方程和圆心的极坐标;‎ ‎(2)若射线分别与圆与和直线交点(异于原点),求长度.‎ ‎【答案】(1),圆心的极坐标为;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由极坐标与直角坐标的互化即可得解;‎ ‎(2)由极坐标中的几何意义可得,代入求解即可.‎ ‎【详解】解:(1)由直线的极坐标方程为,‎ 则,‎ 即直线的直角坐标系方程为, ‎ 又圆的方程为,‎ ‎,‎ 即直角坐标系方程为,‎ 则该圆圆心坐标为(0,2),‎ 即圆心的极坐标为. ‎ ‎(2)由题意有.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化,重点考查了极坐标的应用,属基础题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)设实数,求证:.‎ ‎【答案】(1);(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由绝对值不等式的解法,分类讨论当时,当时,当时, 的解集即可;‎ ‎(2)由不等式的性质可得,然后再运算即可得解.‎ ‎【详解】解:(1)当时,不等式等价于,即,‎ 当时,不等式等价于,即,‎ 当时,不等式等价于,即,‎ 综上可得不等式解集. ‎ ‎(2)由实数,‎ 则,‎ 即,‎ 于是, 即,‎ 所以,.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,重点考查了不等式的性质,属基础题.‎
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