陕西省西安中学2020届高三下学期第六次模拟数学（文）试题

陕西省西安中学2020届高三下学期第六次模拟数学（文）试题

西安中学高2020届高三第六次模拟考试 数学（文）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由集合，然后结合集合，判断即可得解.‎ 详解】解：由，‎ 又，‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的包含关系，属基础题.‎ ‎2.复数的共轭复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由复数的运算可得，然后求其共轭复数即可.‎ ‎【详解】解：因为，‎ 则，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了共轭复数的概念，属基础题.‎ ‎3.刘徽的割圆术是建立在圆面积论的基础之上的．他首先论证，将圆分割成多边形，分割越来越细，多边形的边数越多，多边形的面积和圆的面积的差别就越来越小了．如图，阴影部分是圆内接正12边形，现从圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出阴影部分及圆的面积，然后结合几何概型中面积型的概率公式求解即可.‎ ‎【详解】解：设圆的半径为1，‎ 由题意可得阴影部分的面积为，‎ 又圆的面积为，‎ 则由几何概型中面积型的概率公式可得此点取自阴影部分的概率是,‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了几何概型中面积型的概率公式，重点考查了正多边形面积的求法，属基础题.‎ ‎4.设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，得解.‎ ‎【详解】解：由，‎ 则，‎ 即，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了对数值，指数幂的大小的比较，属基础题.‎ ‎5.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆和x轴相交于M点，根据圆的定义得到CA＝CM＝R，因为x=-2,是抛物线的准线，结合抛物线的定义得到M点为焦点.‎ ‎【详解】圆心C在抛物线上，设与直线相切的切点为A，与x轴交点为M，由抛物线的定义可知，CA＝CM＝R，直线为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点．‎ 故选B ‎【点睛】‎ 这个题目考查了抛物线的定义的应用以及圆的定义的应用，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．‎ ‎6.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数图像的对称性及特殊点逐一判断即可得解.‎ ‎【详解】解：由函数图像关于轴对称可得，函数为偶函数，‎ 又选项C对应的函数为奇函数，则排除选项C，‎ 又，显然选项B不满足题意，即排除选项B，‎ 又，显然选项A不满足题意，即排除选项A，‎ 即的解析式可能为D，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的图像，重点考查了函数的奇偶性，属基础题.‎ ‎7.设n%m表示自然数n被正整数m除所得余数，[x]表示不超过x的最大整数，如20%7=6，[3.14]=3.在图示框图中，若输入2049 ，则输出值为（ ）‎ A. 15 B. ‎20 ‎C. 45 D. 38‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先理解程序框图的功能，然后依次循环运算即可得解.‎ ‎【详解】解：由题意有第一次循环：，‎ 第二次循环：，‎ 第三次循环：，‎ 第四次循环：，‎ 则此时，输出当前的，‎ 即输出值为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图，重点考查了阅读能力，属基础题.‎ ‎8.已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则=（ ）‎ A. 32 B. ‎31 ‎C. 30 D. 29‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据已知求出，再求出公比和首项，最后求.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以.‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用，考查等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎9.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：‎ ‎①AB⊥EF；‎ ‎②AB与CM成60°的角；‎ ‎③EF与MN是异面直线；‎ ‎④MN∥CD.其中正确的是(　　)‎ A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①③‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】将展开图还原为正方体，由于EF∥ND，而ND⊥AB，∴EF⊥AB；显然AB与CM平行；EF与MN 是异面直线，MN与CD也是异面直线，故①③正确，②④错误.‎ ‎10.的面积为，角的对边分别为，若，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由余弦定理及三角形面积公式可得，然后利用二倍角的正切公式求解即可.‎ ‎【详解】解：因为，‎ 由余弦定理及三角形面积公式可得：，‎ 即，即，‎ 即,‎ 即，‎ 所以,‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理及三角形面积公式，重点考查了二倍角的正切公式，属基础题.‎ ‎11.设双曲线()的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点，连结，若，，则双曲线的离心率为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本道题设,利用双曲线性质,计算x，结合余弦定理，计算离心率，即可．‎ ‎【详解】结合题意可知,设 则结合双曲线的性质可得,‎ 代入,解得,所以,‎ 对三角形运用余弦定理,得到 ‎,解得 故选B.‎ ‎【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x，即可，难度偏难．‎ ‎12.已知，.定义集合，则的元素个数满足（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先理解题意，然后分①当,时,②当,时, ③当,时,三种情况讨论即可.‎ ‎【详解】解:由，,‎ ‎①当,时, ,‎ ‎,‎ 此时的元素个数为个,‎ ‎②当,时, ,‎ ‎,‎ 这种情况和第①种情况除外均相同,故新增个,‎ ‎③当,时, ,‎ ‎,这种情况与前面重复,新增0个,‎ 综合①②③可得:‎ 的元素个数为个,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.点是正方形的边的中点，若，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 以为坐标原点，为轴，为轴，设正方形的边长为，则：，，，可得：，，若，可得，解得，，，则，故答案为3.‎ ‎14.设是等差数列的前项和，若，，则__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 因为，，所以 ，因此 ‎ ‎15.已知，满足不等式组，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可得点的坐标为．‎ 又直线过定点，故得.‎ 由图形得，若不等式恒成立，‎ 则，解得．‎ 故实数的取值范围是．‎ 答案： ‎ 点睛：线性规划中的参数问题及其求解思路 ‎（1）线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．‎ ‎（2）求解策略：解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值（或范围）．‎ ‎16.若某直线被两平行线与所截得的线段的长为 ‎，则该直线的倾斜角大小为_______.‎ ‎【答案】和 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由两平行直线的距离公式得直线与的距离为，再结合直线被两平行线所截得的线段的长为，求得该直线与直线所成角，然后结合直线的倾斜角为求解即可.‎ ‎【详解】解：由两平行直线的距离公式可得：‎ 直线与的距离为，‎ 又直线被两平行线与所截得的线段的长为，‎ 即该直线与直线所成角，‎ 又直线的倾斜角为，‎ 则该直线的倾斜角大小为和，‎ 故答案为：和.‎ ‎【点睛】本题考查了两平行直线的距离公式及直线的倾斜角，重点考查了运算能力，属基础题.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）在所给的坐标纸上作出函数的图像（不要求写出作图过程）；‎ ‎（2）令， 求函数的定义域及不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）定义域为，不等式解集为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数的解析式作出其图像即可；‎ ‎（2）先解，求出函数的定义域，然后解不等式，求其解集即可.‎ ‎【详解】解：（1）由题意可得：，‎ 则函数的图像为：‎ ‎（2），‎ 由，解得，‎ 则函数的定义域为 解不等式，‎ 即，‎ 即，‎ 解得：‎ 不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数图像的作法，重点考查了三角函数的定义域及三角不等式的解法，属基础题.‎ ‎18.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：‎ 数据表明y与x之间有较强的线性关系．‎ ‎（1）求y关于x的线性回归方程；‎ ‎（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；‎ ‎（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人．能否在犯错误概率不超过0．01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？‎ 参考数据:回归直线的系数．‎ ‎，．‎ ‎【答案】（1）（2）82（3）可以认为 ‎【解析】‎ ‎（1）由题意可知，‎ 故 ．‎ ‎，‎ 故回归方程为．‎ ‎（2）将代入上述方程，得． ‎ ‎（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36． ‎ 抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，‎ 故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人．‎ 于是可以得到列联表为：‎ 于是，‎ 因此在犯错误概率不超过0．01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关．‎ 点睛：本题主要考查线性回归方程，属于难题．求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势．‎ ‎19.如图，六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图所示，且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证:点不在同一平面内；‎ ‎（3）求翻折后所得多面体的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明，，然后证明面即可；‎ ‎（2）用反证法，结合线面平行的判定定理和性质定理，即可证明；‎ ‎（3）由，然后求解即可.‎ ‎【详解】证明：（1）在等腰梯形ADEF中，作于M，‎ 则，‎ ‎．‎ 连接AC，则，‎ ‎；‎ 平面ADEF. ‎ ‎（2）假设在同一平面内，‎ 则平面，‎ 平面，平面，‎ 平面，，，‎ ‎，这与已知条件四边形是梯形矛盾，‎ 所以假设不成立，即点不在同一平面内；‎ ‎（3）由1知，平面ADEF，而平面ABCD，‎ 平面平面ADEF．‎ 平面ABCD，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直的判定、直线与平面平行的判定与性质的应用，重点考查了空间几何体体积的运算，属中档题.‎ ‎20.已知抛物线经过椭圆的两个焦点.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设点，又为 与不在轴上的两个交点，若的重心在抛物线 上，求椭圆的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得即，再结合及椭圆的离心率求解即可.‎ ‎（2）联立抛物线与椭圆的方程，求出的坐标，然后利用重心坐标公式求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点， ‎ 又抛物线经过椭圆的两个焦点，‎ 则，‎ 即，‎ 由，‎ 则椭圆的离心率.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 则椭圆的方程为，‎ 联立抛物线的方程，‎ 消得， ‎ 解得：或（舍去），‎ 所以，‎ 即，‎ 所以的重心坐标为. ‎ 又因为的重心在上，‎ 所以，‎ 得.‎ 所以，‎ 即椭圆的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆离心率的求法，重点考查了运算能力，属中档题.‎ ‎21.设函数 ‎（1）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（3）当时，若存在极值点，求证:‎ ‎【答案】（1）；（2）增区间，无减区间；（3）证明见解析 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由导数的几何意义，先求出切线斜率，再求切线方程即可；‎ ‎（2）先求出函数的导函数，再解不等式求解即可；‎ ‎（3）由导数的应用，求出函数的极值点，再代入运算即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）当时，. ‎ 则切线斜率，‎ 即切线方程为，即. ‎ ‎（2）当时，.‎ 令，则，‎ 则当时，，当时，，‎ 即在区间上递减，在上递增.‎ 从而，‎ 所以在上恒成立，. ‎ 所以，函数的单调缔造者区间为. ‎ ‎（3）由题意有，‎ 由题设得函数有正零点，设为，即.‎ ‎ ‎ 可得：在区间上递减，在上递增，‎ 所以，‎ 于是，即. ‎ 于是.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了利用导数求函数的单调性及证明不等式，属中档题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，圆的方程为．‎ ‎（1）求出直角坐标系中方程和圆心的极坐标；‎ ‎（2）若射线分别与圆与和直线交点（异于原点），求长度．‎ ‎【答案】（1），圆心的极坐标为；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由极坐标与直角坐标的互化即可得解；‎ ‎（2）由极坐标中的几何意义可得，代入求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）由直线的极坐标方程为，‎ 则，‎ 即直线的直角坐标系方程为， ‎ 又圆的方程为，‎ ‎，‎ 即直角坐标系方程为，‎ 则该圆圆心坐标为（0，2），‎ 即圆心的极坐标为. ‎ ‎（2）由题意有.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化，重点考查了极坐标的应用，属基础题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设实数，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由绝对值不等式的解法，分类讨论当时，当时，当时， 的解集即可；‎ ‎（2）由不等式的性质可得，然后再运算即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）当时，不等式等价于，即，‎ 当时，不等式等价于，即，‎ 当时，不等式等价于，即，‎ 综上可得不等式解集. ‎ ‎（2）由实数，‎ 则，‎ 即，‎ 于是， 即，‎ 所以，.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，重点考查了不等式的性质，属基础题.‎