2006年全国统一高考数学试卷Ⅱ(理科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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2006年全国统一高考数学试卷Ⅱ(理科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

‎2006年全国统一高考数学试卷Ⅱ(理科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1. 已知集合M=‎{x|x<3}‎,N=‎{x|log‎2‎x>1}‎,则M∩N=( )‎ A.‎⌀‎ B.‎{x|00)‎,则f(x)‎的反函数为(        )‎ A. y=ex+1‎(x∈R)‎ B.y=ex-1‎(x∈R)‎ C. y=ex+1‎(x>1)‎ D. ‎y=ex-1‎(x>1)‎ ‎7. 如图,平面α⊥‎平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α、β所成的角分别为π‎4‎和π‎6‎.过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为A'‎、B'‎,则AB:A'B'=(‎ ‎‎)‎ A.‎2:1‎ B.‎3:1‎ C.‎3:2‎ D.‎‎4:3‎ ‎8. 函数y=f(x)‎的图象与函数g(x)=log‎2‎x(x>0)‎的图象关于原点对称,则f(x)‎的表达式为( )‎ A.f(x)=‎1‎log‎2‎x(x>0)‎ B.‎f(x)=‎1‎log‎2‎‎(-x)‎(x<0)‎ C.f(x)=-log‎2‎x(x>0)‎ D.‎f(x)=-log‎2‎(-x)(x<0)‎ ‎9. 已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1‎的一条渐近线方程为y=‎4‎‎3‎x,则双曲线的离心率为( )‎ A.‎5‎‎3‎ B.‎4‎‎3‎ C.‎5‎‎4‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎10. 若f(sinx)=2-cos2x,则f(cosx)‎等于( )‎ A.‎2-sin2x B.‎2+sin2x C.‎2-cos2x D.‎‎2+cos2x ‎11. 设Sn是等差数列‎{an}‎的前n项和,若S‎3‎S‎6‎‎=‎‎1‎‎3‎,则S‎6‎S‎12‎‎=(‎         ‎‎)‎ A.‎3‎‎10‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎8‎ D.‎‎1‎‎9‎ ‎12. 函数f(x)=n=1‎‎19‎‎|‎x-n|‎的最小值为( )‎ A.‎190‎ B.‎171‎ C.‎90‎ D.‎‎45‎ 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)‎ ‎13. 在‎(x‎4‎+‎‎1‎x‎)‎‎10‎的展开式中常数项为________(用数字作答).‎ ‎14. 已知‎△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,且AB=1‎,BC=4‎,则边BC上的中线AD的长为________.‎ ‎15. 过点‎(1,‎2‎)‎的直线l将圆‎(x-2‎)‎‎2‎+y‎2‎=4‎分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k=‎________.‎ ‎ 6 / 6‎ ‎16. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了‎10000‎人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这‎10000‎人中再用分层抽样方法抽出‎100‎人作进一步调查,则在‎[2500, 3000)‎(元)月收入段应抽出________人.‎ 三、解答题(共6小题,满分74分)‎ ‎17. 已知向量a‎→‎‎=(sinθ,‎3‎)‎,b‎→‎‎=(1,cosθ)‎,θ∈(-π‎2‎,π‎2‎)‎.‎ ‎(1)若a‎→‎‎⊥‎b‎→‎,求θ;‎ ‎(2)求‎|a‎→‎+b‎→‎|‎的最大值.‎ ‎18. 某批产品成箱包装,每箱‎5‎件,一用户在购进该批产品前先取出‎3‎箱,再从每箱中任意出取‎2‎件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有‎0‎件、‎1‎件、‎2‎件二等品,其余为一等品.‎ ‎(1)用ξ表示抽检的‎6‎件产品中二等品的件数,求ξ的分布列及ξ的数学期望;‎ ‎(2)若抽检的‎6‎件产品中有‎2‎件或‎2‎件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品被用户拒绝的概率.‎ ‎19. 如图,在直三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中,AB=BC,D、E分别为BB‎1‎、AC‎1‎的中点.‎ ‎ 6 / 6‎ ‎(1)证明:ED为异面直线BB‎1‎与AC‎1‎的公垂线;‎ ‎(2)设AA‎1‎=AC=‎2‎AB,求二面角A‎1‎‎-AD-‎C‎1‎的大小.‎ ‎20. 设函数f(x)=(x+1)ln(x+1)‎.若对所有的x≥0‎,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.‎ ‎21. 已知抛物线x‎2‎=‎4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且AF‎→‎‎=λFB‎→‎(λ>0)‎.过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎证明FM‎→‎‎.‎AB‎→‎为定值;‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎设‎△ABM的面积为S,写出S=f(λ)‎的表达式,并求S的最小值.‎ ‎22. 设数列‎{an}‎的前n项和为Sn,且方程x‎2‎‎-anx-an=0‎有一根为Sn‎-1‎,n=1‎,‎2‎,‎3‎,….‎ ‎(1)求a‎1‎,a‎2‎;‎ ‎(2)猜想数列‎{Sn}‎的通项公式,并给出严格的证明.‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2006年全国统一高考数学试卷Ⅱ(理科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.D ‎2.D ‎3.A ‎4.C ‎5.C ‎6.B ‎7.A ‎8.D ‎9.A ‎10.D ‎11.A ‎12.C 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)‎ ‎13.‎‎45‎ ‎14.‎‎3‎ ‎15.‎‎2‎‎2‎ ‎16.‎‎25‎ 三、解答题(共6小题,满分74分)‎ ‎17.解:(1)因为a‎→‎‎⊥‎b‎→‎,所以sinθ+‎3‎cosθ=0‎ 得tanθ=-‎‎3‎ 又θ∈(-π‎2‎,π‎2‎)‎,‎ 所以θ=-‎π‎3‎ ‎(2)因为‎|a‎→‎+b‎→‎‎|‎‎2‎=(sinθ+1‎)‎‎2‎+(cosθ+‎‎3‎‎)‎‎2‎ ‎=5+4sin(θ+π‎3‎)‎ 所以当θ=‎π‎6‎时,‎|a‎→‎+‎b‎→‎‎|‎‎2‎的最大值为‎5+4=9‎ 故‎|a‎→‎+b‎→‎|‎的最大值为‎3‎ ‎18.由题意知抽检的‎6‎件产品中二等品的件数ξ=‎0‎,‎1‎,‎2‎,‎‎3‎ P(ξ=0)=C‎4‎‎2‎C‎5‎‎2‎⋅C‎3‎‎2‎C‎5‎‎2‎=‎18‎‎100‎=‎9‎‎50‎P(ξ=1)=C‎4‎‎1‎C‎5‎‎2‎⋅C‎3‎‎2‎C‎5‎‎2‎+C‎4‎‎2‎C‎5‎‎2‎⋅C‎3‎‎1‎‎⋅‎C‎2‎‎1‎C‎5‎‎2‎=‎24‎‎50‎=‎12‎‎25‎P(ξ=2)=C‎4‎‎1‎C‎5‎‎2‎⋅C‎3‎‎1‎‎⋅‎C‎2‎‎1‎C‎5‎‎2‎+C‎4‎‎2‎C‎5‎‎2‎⋅C‎2‎‎2‎C‎5‎‎2‎=‎15‎‎50‎P(ξ=3)=C‎4‎‎1‎C‎5‎‎2‎⋅C‎2‎‎2‎C‎5‎‎2‎=‎2‎‎50‎=‎‎1‎‎25‎‎,‎ ‎∴ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎9‎‎50‎ ‎24‎‎50‎ ‎15‎‎50‎ ‎2‎‎50‎ ‎∴ ξ的数学期望E(ξ)=0×‎9‎‎50‎+1×‎24‎‎50‎+2×‎15‎‎50‎+3×‎2‎‎50‎=1.2‎ ‎∵ P(ξ=‎2)=‎‎15‎‎50‎,P(ξ=‎3)=‎‎2‎‎50‎,这两个事件是互斥的 ‎∴ ‎P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=‎15‎‎50‎+‎2‎‎50‎=‎‎17‎‎50‎ ‎19.解:(1)设O为AC中点,连接EO,BO,则EO‎=‎‎ // ‎‎1‎‎2‎C‎1‎C,又C‎1‎C‎=‎‎ // ‎B‎1‎B,所以EO‎=‎‎ // ‎DB,EOBD为平行四边形,ED // OB.‎ ‎∵ AB=BC,‎ ‎∴ BO⊥AC,‎ 又平面ABC⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎,BOÌ面ABC,‎ 故BO⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎,‎ ‎∴ ED⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎,ED⊥AC‎1‎,ED⊥CC‎1‎,‎ ‎ 6 / 6‎ ‎∴ ED⊥BB‎1‎,ED为异面直线AC‎1‎与BB‎1‎的公垂线.‎ ‎(2)连接A‎1‎E,由AA‎1‎=AC=‎2‎AB可知,A‎1‎ACC‎1‎为正方形,‎ ‎∴ A‎1‎E⊥AC‎1‎,又由ED⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎和EDÌ平面ADC‎1‎知平面 ADC‎1‎⊥‎平面A‎1‎ACC‎1‎,‎ ‎∴ A‎1‎E⊥‎平面ADC‎1‎.‎ 作EF⊥AD,垂足为F,连接A‎1‎F,则A‎1‎F⊥AD,‎∠A‎1‎FE为二面角A‎1‎‎-AD-‎C‎1‎的平面角.‎ 不妨设AA‎1‎=2‎,则AC=2‎,AB=‎‎2‎,ED=OB=1‎,EF=AE×EDAD=‎‎2‎‎3‎,‎ tan∠A‎1‎FE=‎‎3‎‎,‎ ‎∴ ‎∠A‎1‎FE=‎‎60‎‎∘‎.‎ 所以二面角A‎1‎‎-AD-‎C‎1‎为‎60‎‎∘‎.‎ ‎20.解法一:‎ 令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,‎ 对函数g(x)‎求导数:‎g'(x)=ln(x+1)+1-a 令g'(x)=0‎,解得x=ea-1‎-1‎,‎ ‎(I)‎当a≤1‎时,对所有x>0‎,g'(x)>0‎,所以g(x)‎在‎[0, +∞)‎上是增函数,‎ 又g(0)=0‎,所以对x≥0‎,都有g(x)≥g(0)‎,‎ 即当a≤1‎时,对于所有x≥0‎,都有f(x)≥ax.‎ ‎(II)‎当a>1‎时,对于‎01‎时,不是对所有的x≥0‎,都有f(x)≥ax成立.‎ 综上,a的取值范围是‎(-∞, 1]‎.‎ 解法二:‎ 令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,‎ 于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)‎成立.‎ 对函数g(x)‎求导数:‎g'(x)=ln(x+1)+1-a 令g'(x)=0‎,解得x=ea-1‎-1‎,‎ 当x>ea-1‎-1‎时,g'(x)>0‎,g(x)‎为增函数,‎ 当‎-10‎.‎ x‎1‎‎+‎x‎2‎‎=‎4k,x‎1‎x‎2‎=‎‎-4‎ 于是曲线‎4y=x‎2‎上任意一点斜率为y'=‎x‎2‎,则易得切线AM,BM方程分别为y=‎(‎1‎‎2‎)x‎1‎(x-x‎1‎)+‎y‎1‎,y=‎(‎1‎‎2‎)x‎2‎(x-x‎2‎)+‎y‎2‎,其中‎4‎y‎1‎=x‎1‎‎2‎,‎4‎y‎2‎=x‎2‎‎2‎,联立方程易解得交点M坐标,xo‎=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=2k,yo‎=x‎1‎x‎2‎‎4‎=-1‎,即M(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎, -1)‎ 从而,FM‎→‎‎=(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎, -2)‎,‎AB‎→‎‎(x‎2‎-x‎1‎, y‎2‎-y‎1‎)‎ FM‎→‎‎⋅AB‎→‎=‎1‎‎2‎(x‎1‎+x‎2‎)(x‎2‎-x‎1‎)-2(y‎2‎-y‎1‎)=‎1‎‎2‎(x‎2‎‎2‎-x‎1‎‎2‎)-2[‎1‎‎4‎(x‎2‎‎2‎-x‎1‎‎2‎)]‎‎=‎0‎,(定值)命题得证.‎ 这就说明AB⊥FM.‎ ‎(2)由‎(‎Ⅰ‎)‎知在‎△ABM中,FM⊥AB,因而S=‎1‎‎2‎|AB||FM|‎.‎ ‎∵ AF‎→‎‎=λFB‎→‎(λ>0)‎,‎ ‎ 6 / 6‎ ‎∴ ‎(-x‎1‎, 1-y‎1‎)‎=λ(x‎2‎, y‎2‎-1)‎,即‎-x‎1‎=λx‎2‎‎1-y‎1‎=λ(y‎2‎-1)‎‎ ‎,‎ 而‎4‎y‎1‎=x‎1‎‎2‎,‎4‎y‎2‎=x‎2‎‎2‎,‎ 则x‎2‎‎2‎‎=‎‎4‎λ,x‎1‎‎2‎=‎4λ,‎ ‎|FM|=‎(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎)‎‎2‎‎+(-2‎‎)‎‎2‎=‎1‎‎4‎x‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎4‎x‎2‎‎2‎+‎1‎‎2‎x‎1‎x‎2‎+4‎=λ+‎1‎λ+2‎=λ+‎‎1‎λ‎.‎ 因为‎|AF|‎、‎|BF|‎分别等于A、B到抛物线准线y=‎-1‎的距离,所以 ‎|AB|‎‎=‎|AF|+|BF|‎=y‎1‎‎+y‎2‎+2=‎1‎‎4‎x‎1‎‎2‎+‎1‎‎4‎x‎2‎‎2‎+2‎=λ+‎1‎λ+2‎=‎(λ+‎‎1‎λ‎)‎‎2‎.‎ 于是S=‎1‎‎2‎|AB||FM|=‎1‎‎2‎(λ+‎‎1‎λ‎)‎‎3‎,‎ 由λ‎+‎1‎λ≥2‎知S≥4‎,且当λ=‎1‎时,S取得最小值‎4‎.‎ ‎22.解:(1)当n=1‎时,x‎2‎‎-a‎1‎x-a‎1‎=0‎有一根为S‎1‎‎-1=a‎1‎-1‎,‎ 于是‎(a‎1‎-1‎)‎‎2‎-a‎1‎(a‎1‎-1)-a‎1‎=0‎,解得a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎.‎ 当n=2‎时,x‎2‎‎-a‎2‎x-a‎2‎=0‎有一根为S‎2‎‎-1=a‎2‎-‎‎1‎‎2‎,‎ 于是‎(a‎2‎-‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎-a‎2‎(a‎2‎-‎1‎‎2‎)-a‎2‎=0‎,‎ 解得a‎2‎‎=‎‎1‎‎6‎.‎ ‎(2)由题设‎(Sn-1‎)‎‎2‎-an(Sn-1)-an=0‎,‎ Sn‎2‎‎-2Sn+1-anSn=0‎‎.‎ 当n≥2‎时,an‎=Sn-‎Sn-1‎,‎ 代入上式得Sn-1‎Sn‎-2Sn+1=0‎.①‎ 由(1)得S‎1‎‎=a‎1‎=‎‎1‎‎2‎,S‎2‎‎=a‎1‎+a‎2‎=‎1‎‎2‎+‎1‎‎6‎=‎‎2‎‎3‎.‎ 由①可得S‎3‎‎=‎‎3‎‎4‎.由此猜想Sn‎=‎nn+1‎,n=1‎,‎2‎,‎3‎,.‎ 下面用数学归纳法证明这个结论.‎ ‎(I)n=1‎时已知结论成立.‎ ‎(II)‎假设n=k时结论成立,即Sk‎=‎kk+1‎,当n=k+1‎时,由①得Sk+1‎‎=‎‎1‎‎2-‎Sk,即Sk+1‎‎=‎k+1‎k+2‎,故n=k+1‎时结论也成立.‎ 综上,由‎(I)‎、‎(II)‎可知Sn‎=‎nn+1‎对所有正整数n都成立.‎ ‎ 6 / 6‎
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