2006年全国统一高考数学试卷Ⅱ(理科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】
2006年全国统一高考数学试卷Ⅱ(理科)
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1. 已知集合M={x|x<3},N={x|log2x>1},则M∩N=( )
A.⌀ B.{x|0
0),则f(x)的反函数为( )
A. y=ex+1(x∈R) B.y=ex-1(x∈R) C. y=ex+1(x>1) D. y=ex-1(x>1)
7. 如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为A'、B',则AB:A'B'=( )
A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:3
8. 函数y=f(x)的图象与函数g(x)=log2x(x>0)的图象关于原点对称,则f(x)的表达式为( )
A.f(x)=1log2x(x>0) B.f(x)=1log2(-x)(x<0)
C.f(x)=-log2x(x>0) D.f(x)=-log2(-x)(x<0)
9. 已知双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线方程为y=43x,则双曲线的离心率为( )
A.53 B.43 C.54 D.32
10. 若f(sinx)=2-cos2x,则f(cosx)等于( )
A.2-sin2x B.2+sin2x C.2-cos2x D.2+cos2x
11. 设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S3S6=13,则S6S12=( )
A.310 B.13 C.18 D.19
12. 函数f(x)=n=119|x-n|的最小值为( )
A.190 B.171 C.90 D.45
二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)
13. 在(x4+1x)10的展开式中常数项为________(用数字作答).
14. 已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为________.
15. 过点(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k=________.
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16. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[2500, 3000)(元)月收入段应抽出________人.
三、解答题(共6小题,满分74分)
17. 已知向量a→=(sinθ,3),b→=(1,cosθ),θ∈(-π2,π2).
(1)若a→⊥b→,求θ;
(2)求|a→+b→|的最大值.
18. 某批产品成箱包装,每箱5件,一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意出取2件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品,其余为一等品.
(1)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数,求ξ的分布列及ξ的数学期望;
(2)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品被用户拒绝的概率.
19. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC,D、E分别为BB1、AC1的中点.
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(1)证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线;
(2)设AA1=AC=2AB,求二面角A1-AD-C1的大小.
20. 设函数f(x)=(x+1)ln(x+1).若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.
21. 已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且AF→=λFB→(λ>0).过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.
(Ⅰ)证明FM→.AB→为定值;
(Ⅱ)设△ABM的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值.
22. 设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,….
(1)求a1,a2;
(2)猜想数列{Sn}的通项公式,并给出严格的证明.
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参考答案与试题解析
2006年全国统一高考数学试卷Ⅱ(理科)
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.D
2.D
3.A
4.C
5.C
6.B
7.A
8.D
9.A
10.D
11.A
12.C
二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)
13.45
14.3
15.22
16.25
三、解答题(共6小题,满分74分)
17.解:(1)因为a→⊥b→,所以sinθ+3cosθ=0
得tanθ=-3
又θ∈(-π2,π2),
所以θ=-π3
(2)因为|a→+b→|2=(sinθ+1)2+(cosθ+3)2
=5+4sin(θ+π3)
所以当θ=π6时,|a→+b→|2的最大值为5+4=9
故|a→+b→|的最大值为3
18.由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ=0,1,2,3
P(ξ=0)=C42C52⋅C32C52=18100=950P(ξ=1)=C41C52⋅C32C52+C42C52⋅C31⋅C21C52=2450=1225P(ξ=2)=C41C52⋅C31⋅C21C52+C42C52⋅C22C52=1550P(ξ=3)=C41C52⋅C22C52=250=125,
∴ ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
950
2450
1550
250
∴ ξ的数学期望E(ξ)=0×950+1×2450+2×1550+3×250=1.2
∵ P(ξ=2)=1550,P(ξ=3)=250,这两个事件是互斥的
∴ P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=1550+250=1750
19.解:(1)设O为AC中点,连接EO,BO,则EO= // 12C1C,又C1C= // B1B,所以EO= // DB,EOBD为平行四边形,ED // OB.
∵ AB=BC,
∴ BO⊥AC,
又平面ABC⊥平面ACC1A1,BOÌ面ABC,
故BO⊥平面ACC1A1,
∴ ED⊥平面ACC1A1,ED⊥AC1,ED⊥CC1,
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∴ ED⊥BB1,ED为异面直线AC1与BB1的公垂线.
(2)连接A1E,由AA1=AC=2AB可知,A1ACC1为正方形,
∴ A1E⊥AC1,又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面
ADC1⊥平面A1ACC1,
∴ A1E⊥平面ADC1.
作EF⊥AD,垂足为F,连接A1F,则A1F⊥AD,∠A1FE为二面角A1-AD-C1的平面角.
不妨设AA1=2,则AC=2,AB=2,ED=OB=1,EF=AE×EDAD=23,
tan∠A1FE=3,
∴ ∠A1FE=60∘.
所以二面角A1-AD-C1为60∘.
20.解法一:
令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,
对函数g(x)求导数:g'(x)=ln(x+1)+1-a
令g'(x)=0,解得x=ea-1-1,
(I)当a≤1时,对所有x>0,g'(x)>0,所以g(x)在[0, +∞)上是增函数,
又g(0)=0,所以对x≥0,都有g(x)≥g(0),
即当a≤1时,对于所有x≥0,都有f(x)≥ax.
(II)当a>1时,对于01时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.
综上,a的取值范围是(-∞, 1].
解法二:
令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,
于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立.
对函数g(x)求导数:g'(x)=ln(x+1)+1-a
令g'(x)=0,解得x=ea-1-1,
当x>ea-1-1时,g'(x)>0,g(x)为增函数,
当-10.
x1+x2=4k,x1x2=-4
于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y'=x2,则易得切线AM,BM方程分别为y=(12)x1(x-x1)+y1,y=(12)x2(x-x2)+y2,其中4y1=x12,4y2=x22,联立方程易解得交点M坐标,xo=x1+x22=2k,yo=x1x24=-1,即M(x1+x22, -1)
从而,FM→=(x1+x22, -2),AB→(x2-x1, y2-y1)
FM→⋅AB→=12(x1+x2)(x2-x1)-2(y2-y1)=12(x22-x12)-2[14(x22-x12)]=0,(定值)命题得证.
这就说明AB⊥FM.
(2)由(Ⅰ)知在△ABM中,FM⊥AB,因而S=12|AB||FM|.
∵ AF→=λFB→(λ>0),
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∴ (-x1, 1-y1)=λ(x2, y2-1),即-x1=λx21-y1=λ(y2-1) ,
而4y1=x12,4y2=x22,
则x22=4λ,x12=4λ,
|FM|=(x1+x22)2+(-2)2=14x12+14x22+12x1x2+4=λ+1λ+2=λ+1λ.
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离,所以
|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=14x12+14x22+2=λ+1λ+2=(λ+1λ)2.
于是S=12|AB||FM|=12(λ+1λ)3,
由λ+1λ≥2知S≥4,且当λ=1时,S取得最小值4.
22.解:(1)当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,
于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=12.
当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-12,
于是(a2-12)2-a2(a2-12)-a2=0,
解得a2=16.
(2)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,
Sn2-2Sn+1-anSn=0.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0.①
由(1)得S1=a1=12,S2=a1+a2=12+16=23.
由①可得S3=34.由此猜想Sn=nn+1,n=1,2,3,.
下面用数学归纳法证明这个结论.
(I)n=1时已知结论成立.
(II)假设n=k时结论成立,即Sk=kk+1,当n=k+1时,由①得Sk+1=12-Sk,即Sk+1=k+1k+2,故n=k+1时结论也成立.
综上,由(I)、(II)可知Sn=nn+1对所有正整数n都成立.
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