2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第二篇 第25练
第25练 基本初等函数、函数的应用[小题提速练]
[明晰考情] 1.命题角度：考查二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；能利用函数解决简单的实际问题.2.题目难度：中档偏难.
考点一 基本初等函数的图象与性质
方法技巧 (1)指数函数的图象过定点(0，1)，对数函数的图象过定点(1，0).
(2)应用指数函数、对数函数的单调性，要注意底数的范围，底数不同的尽量化成相同的底数.
(3)解题时要注意把握函数的图象，利用图象研究函数的性质.
1.已知函数f(x)＝则f(2 019)等于( )
A.2 018 B.2
C.2 020 D.
答案 D
解析 f(2 019)＝f(2 018)＋1＝…＝f(0)＋2 019＝f(－1)＋2 020＝2－1＋2 020＝.
2.函数y＝ln|x|－x2的图象大致为( )
答案 A
解析 f(x)＝y＝ln|x|－x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln|x|－x2＝f(x)，故函数y＝ln|x|－x2为偶函数，排除B，D；当x>0时，y＝ln x－x2，则y′＝－2x，当x∈时，y′＝－2x>0，y＝ln x－x2单调递增，排除C.故选A.
3.(2017·全国Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
答案 D
解析 令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z为正数，∴t>1.
则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝>0，
∴2x>3y.
又∵2x－5z＝－＝
＝<0，
∴2x<5z，
∴3y<2x<5z.故选D.
4.设函数f(x)＝则满足f(f(t))＝2f(t)的t的取值范围是____________________.
答案
解析 若f(t)≥1，显然成立，则有
或解得t≥－.
若f(t)<1，由f(f(t))＝2f(t)，可知f(t)＝－1，
所以t＋＝－1，得t＝－3.
综上，实数t的取值范围是.
考点二 函数与方程
方法技巧 (1)判断函数零点个数的主要方法
①解方程f(x)＝0，直接求零点；②利用零点存在性定理；③数形结合法：通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.
(2)解由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.
5.函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为( )
A. B.
C.(1，2) D.(2，3)
答案 C
解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数.
f(1)＝log21－＝0－1<0， f(2)＝log22－＝1－＝>0，
∴ f(1)·f(2)<0，
∴函数f(x)＝log2x－的零点在区间(1，2)内.
6.已知函数f(x)＝ln＋x3，若函数y＝f(x)＋f(k－x2)有两个零点，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为f(x)＝ln＋x3在区间(－1，1)上单调递增，且是奇函数，令y＝f(x)＋f(k－x2)＝0，则f(x)＝－f(k－x2)＝f(x2－k).
由函数y＝f(x)＋f(k－x2)有两个零点，等价于方程x2－x－k＝0在区间(－1，1)上有两个不相等的实根，令g(x)＝x2－x－k，则满足解得－
1}
解析 当直线y＝x＋a与曲线y＝ln x相切时，设切点为(t，ln t)，则切线斜率k＝(ln x)′|x＝t＝＝1，
所以t＝1，切点坐标为(1，0)，代入y＝x＋a，得a＝－1.
又当x≤0时，f(x)＝x＋a⇔(x＋1)(x＋a)＝0，
所以①当a＝－1时，ln x＝x＋a(x>0)有1个实根，
此时(x＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有1个实根，满足题意；
②当a<－1时，ln x＝x＋a(x>0)有2个实根，
此时(x＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有1个实根，不满足题意；
③当a>－1时，ln x＝x＋a(x>0)无实根，此时要使(x＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有2个实根，应有－a≤0且－a≠－1，即a≥0且a≠1，
综上得实数a的取值范围是{a|a＝－1或0≤a<1或a>1}.
考点三 函数的综合应用
方法技巧 (1)函数实际应用问题解决的关键是通过读题建立函数模型，要合理选取变量，寻找两个变量之间的关系.
(2)基本初等函数与不等式的交汇问题是高考的热点，突破此类问题的关键在于准确把握函数的图象和性质，结合函数的图象寻求突破点.
9.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A.2018年 B.2019年
C.2020年 D.2021年
答案 B
解析 设2015年后的第n年该公司投入的研发资金为y万元，则y＝130(1＋12%)n.
依题意130(1＋12%)n>200，得1.12n>.
两边取对数，得n·lg 1.12>lg 2－lg 1.3，
∴n>≈＝，∴n≥4，
∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.
10.已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为( )
A.[1，3] B.(1，3)
C.[2－，2＋] D.(2－，2＋)
答案 D
解析 函数f(x)＝ex－1的值域为(－1，＋∞)，g(x)＝－x2＋4x－3的值域为(－∞，1]，若存在f(a)＝g(b)，则需g(b)＞－1，即－b2＋4b－3＞－1，所以b2－4b＋2＜0，解得2－＜b＜2＋.
11.已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.
答案 (1，＋∞)
解析 画出函数y＝f(x)与y＝a－x的图象如图所示，所以a>1.
12.已知f(x)＝则f(x)≥－2的解集是________.
答案 ∪(0，4]
解析 当x＜0时，f(x)≥－2，即≥－2，可转化为1＋x≤－2x，得x≤－；
当x＞0时，f(x)≥－2，
即≥－2，
可转化为≥
解得0＜x≤4.
综上可知不等式的解集为∪(0，4].
1.函数f(x)＝－2x2的图象大致为( )
答案 A
解析 因为f(－x)＝－2(－x)2＝f(x)，
所以函数y＝f(x)是偶函数.
当x>0时，f′(x)＝2x－4x＝2x(－2)，
若x∈(0，)，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；
若x∈(，＋∞)，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增，
则f(x)min＝f()＝2－2ln 2>0，
结合图象的对称性可知，故选A.
2.如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为( )
A. B.1
C.3 D.或3
答案 D
解析 令ax＝t(t>0)，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3(负值舍去)；
当00，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A.(－∞，2] B.[2，＋∞)
C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]
答案 B
解析 由f(1)＝，得a2＝，
解得a＝或a＝－(舍去)，
即f(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，
在[2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减.
3.函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内零点的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案 C
解析 由题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由函数零点的定义，f(x)在(0，＋∞)内的零点即是方程|x－2|－ln x＝0的根.
令y1＝|x－2|，y2＝ln x(x＞0)，在同一坐标系中画出两个函数的图象.
由图得两个函数图象有两个交点，
故方程有两个根，即对应函数有两个零点.
4.函数y＝(0≤x＜3)的值域是( )
A.(0，1] B.(e－3，e]
C.[e－3，1] D.[1，e]
答案 B
解析 ∵y＝＝(0≤x＜3)，
当0≤x＜3时，－3＜－(x－1)2＋1≤1，
∴e－3＜≤e1，
即e－3＜y≤e，
∴函数的值域是(e－3，e].
5.函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为( )
A. B.
C.2 D.4
答案 B
解析 当a＞1时，由a＋loga2＋1＝a，
得loga2＝－1，
所以a＝，与a＞1矛盾；
当0＜a＜1时，由1＋a＋loga2＝a，
得loga2＝－1，所以a＝.
6.已知函数f(x)＝设m>n≥－1，且f(m)＝f(n)，则m·f(m)的最小值为( )
A.4 B.2
C. D.2
答案 D
解析 当－1≤x<1时，f(x)＝5·2x∈，f(0)＝5；当x≥1时，f(x)＝1＋≤5，f(4)＝，1≤m<4.m·f(m)＝m＋≥2，当且仅当m＝时取等号，故选D.
7.若函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.(－∞，0) D.(0，＋∞)
答案 D
解析 函数f(x)＝aex－x－2a的导函数f′(x)＝aex－1，
当a≤0时，f′(x)<0恒成立，函数f(x)在R上单调递减，不可能有两个零点；
当a＞0时，令f′(x)＝0，得x＝ln ，函数在上单调递减，在上单调递增，
∴f(x)的最小值为f＝1－ln －2a＝1＋ln a－2a.
令g(a)＝1＋ln a－2a(a＞0)，
则g′(a)＝－2.
当a∈时，g(a)单调递增，
当a∈时，g(a)单调递减，
∴g(a)max＝g＝－ln 2＜0，
∴f(x)的最小值f＜0，函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点.
综上，实数a的取值范围是(0，＋∞).
8.函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A.a>0，b>0，c<0
B.a<0，b>0，c>0
C.a<0，b>0，c<0
D.a<0，b<0，c<0
答案 C
解析 由f(x)＝及图象可知，x≠－c，－c＞0，
则c＜0；当x＝0时，f(0)＝＞0，
所以b＞0；当f(x)＝0时，ax＋b＝0，
所以x＝－＞0，所以a＜0，故选C.
9.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，那么n的值为________.
答案 1
解析 由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，经检验，只有n＝1符合题意.
10.已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
答案 [－1，＋∞)
解析 设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图).
当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)且t1<－1，t2≥－1，当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解.当a<－1时，只有一个零点.综上可知，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点.
11.设函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))－1的零点个数为________.
答案 2
解析 ①当x≤0时，y＝f(f(x))－1＝f(2x)－1＝log22x－1＝x－1，令x－1＝0，
则x＝1，显然与x≤0矛盾，
所以当x≤0时，y＝f(f(x))－1无零点.
②当x＞0时，分两种情况：当x＞1时，log2x＞0，y＝f(f(x))－1＝f(log2x)－1＝log2(log2x)－1，
令log2(log2x)－1＝0，
得log2x＝2，解得x＝4；
当0＜x≤1时，log2x≤0，y＝f(f(x))－1＝f(log2x)－1＝－1＝x－1，
令x－1＝0，解得x＝1.
综上，函数y＝f(f(x))－1的零点个数为2.
12.函数f(x)＝的图象与函数g(x)＝2sin x在区间[0，4]上的所有交点为(x1，y1)，(x2，y2
)，…，(xn，yn)，则f(y1＋y2＋…＋yn)＋g(x1＋x2＋…＋xn)＝________.
答案
解析 如图，画出函数f(x)和g(x)在[0，4]上的图象，
可知有4个交点，并且关于点(2，0)对称，所以y1＋y2＋y3＋y4＝0，x1＋x2＋x3＋x4＝8，所以f(y1＋y2＋y3＋y4)＋g(x1＋x2＋x3＋x4)＝f(0)＋g(8)＝＋0＝.
