2012年天津市高考数学试卷（理科）

2012年天津市高考数学试卷（理科）

‎2012年天津市高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题 ‎1．（3分）i是虚数单位，复数=（　　）‎ A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i ‎2．（3分）设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．（3分）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x的值为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．3 D．9‎ ‎4．（3分）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎5．（3分）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x项的系数为（　　）‎ A．10 B．﹣10 C．40 D．﹣40‎ ‎6．（3分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（3分）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣，则λ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（3分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（　　）‎ A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）‎ C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎9．（3分）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取　　所学校，中学中抽取　　所学校．‎ ‎10．（3分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为　　m3．‎ ‎11．（3分）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}‎ ‎，且A∩B=（﹣1，n），则m=　　，n=　　．‎ ‎12．（3分）已知抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=　　．‎ ‎13．（3分）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为　　．‎ ‎14．（3分）已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎15．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．‎ ‎16．现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．‎ ‎（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；‎ ‎（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；‎ ‎（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．‎ ‎17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠‎ BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．‎ ‎（1）证明：PC⊥AD；‎ ‎（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；‎ ‎（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．‎ ‎18．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．‎ ‎（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎（2）记Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn，n∈N*，证明：Tn+12=﹣2an+10bn（n∈N*）．‎ ‎19．设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞．‎ ‎20．已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；‎ ‎（3）证明：（n∈N*）．‎ ‎　‎ ‎2012年天津市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．（3分）（2012•天津）i是虚数单位，复数=（　　）‎ A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i ‎【分析】由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项 ‎【解答】解：‎ 故选B ‎　‎ ‎2．（3分）（2012•天津）设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】直接把φ=0代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可．‎ ‎【解答】解：因为φ=0时，f（x）=cos（x+φ）=cosx是偶函数，成立；‎ 但f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数时，φ=kπ，k∈Z，推不出φ=0．‎ 故“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的充分而不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2012•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x的值为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．3 D．9‎ ‎【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|x|≤1时跳出循环，输出结果．‎ ‎【解答】解：当输入x=﹣25时，‎ ‎|x|＞1，执行循环，x=﹣1=4；‎ ‎|x|=4＞1，执行循环，x=﹣1=1，‎ ‎|x|=1，退出循环，‎ 输出的结果为x=2×1+1=3．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2012•天津）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【分析】根据函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点 ‎【解答】解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，‎ 所以f（0）f（1）＜0，‎ 故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2012•天津）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x项的系数为（　　）‎ A．10 B．﹣10 C．40 D．﹣40‎ ‎【分析】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项Tr+1==，再令10﹣3r=1，得r=3即可得出x项的系数 ‎【解答】解：（2x2﹣）5的二项展开式的通项为Tr+1==‎ 令10﹣3r=1，得r=3‎ 故x项的系数为=﹣40‎ 故选D ‎　‎ ‎6．（3分）（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC的值即可．‎ ‎【解答】解：因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，‎ 所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，所以cosB=，B为三角形内角，所以B∈（0，）．C．‎ 所以sinB==．‎ 所以sinC=sin2B=2×=，‎ cosC==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2012•天津）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣，则λ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据向量加法的三角形法则求出，进而根据数量积的定义求出再根据=﹣即可求出λ．‎ ‎【解答】解：∵，，λ∈R ‎∴，‎ ‎∵△ABC为等边三角形，AB=2‎ ‎∴=+λ+（1﹣λ）‎ ‎=2×2×cos60°+λ×2×2×cos180°+（1﹣λ）×2×2×cos180°+λ（1﹣λ）×2×2×cos60°‎ ‎=2﹣4λ+4λ﹣4+2λ﹣2λ2，‎ ‎=﹣2λ2+2λ﹣2‎ ‎∵=﹣‎ ‎∴4λ2﹣4λ+1=0‎ ‎∴（2λ﹣1）2=0‎ ‎∴‎ 故选A ‎　‎ ‎8．（3分）（2012•天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（　　）‎ A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）‎ C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）‎ ‎【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．‎ ‎【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，‎ ‎∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，‎ ‎∴圆心到直线的距离d==1，‎ 整理得：m+n+1=mn≤，‎ 设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，‎ ‎∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，‎ ‎∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，‎ 解得：x≥2+2或x≤2﹣2，‎ 则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．‎ 故选D ‎　‎ 二、填空题 ‎9．（3分）（2012•天津）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取　18　所学校，中学中抽取　9　所学校．‎ ‎【分析】从250所学校抽取30所学校做样本，样本容量与总体的个数的比为3：25，得到每个个体被抽到的概率，根据三个学校的数目乘以被抽到的概率，分别写出要抽到的数目，得到结果．‎ ‎【解答】解：某城地区有学校150+75+25=250所，‎ 现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取30所，‎ 每个个体被抽到的概率是=，‎ ‎∵某地区有小学150所，中学75所，大学25所．‎ ‎∴用分层抽样进行抽样，应该选取小学×150=18所，选取中学×75=9所．‎ 故答案为：18，9．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为　18+9π　m3．‎ ‎【分析】由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），下部为两个半径均为的球体．分别求体积再相加即可．‎ ‎【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），体积6×3×1=18．‎ 下部为两个半径均为的球体，体积2ו（）3=9π 故所求体积等于18+9π 故答案为：18+9π ‎　‎ ‎11．（3分）（2012•天津）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m=　﹣1　，n=　1　．‎ ‎【分析】由题意，可先化简A集合，再由B集合的形式及A∩B=（﹣1，n）直接作出判断，即可得出两个参数的值．‎ ‎【解答】解：A={x∈R||x+2|＜3}={x∈R|﹣5＜x＜1}，‎ 又集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，A∩B=（﹣1，n）．‎ 如图 由图知m=﹣1，n=1，‎ 故答案为﹣1，1．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2012•天津）已知抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=　2　．‎ ‎【分析】把抛物线的参数方程化为普通方程为y2=2px，则由抛物线的定义可得及|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形，设点M的坐标为（3，m ），则点E（﹣，m），把点M的坐标代入抛物线的方程可得 p=．再由|EF|=|ME|，解方程可得p的值．‎ ‎【解答】解：抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l，消去参数可得x=2p，‎ 化简可得y2=2px，表示顶点在原点、开口向右、对称轴是x轴的抛物线，‎ 故焦点F（，0），准线l的方程为x=﹣．‎ 则由抛物线的定义可得|ME|=|MF|，再由|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形．‎ 设点M的坐标为（3，m ），则点E（﹣，m）．‎ 把点M的坐标代入抛物线的方程可得m2=2×p×3，即 p=．‎ 再由|EF|=|ME|，可得 p2+m2=，即 p2+6p=9++3p，解得p=2，或p=﹣6 （舍去），‎ 故答案为 2．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2012•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为　　．‎ ‎【分析】由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD求解．‎ ‎【解答】解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1=×FC，FC=2，在△ABD中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=，‎ 设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=（）2，x=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是　（0，1）∪（1，4）　．‎ ‎【分析】先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象，结合图象，可得实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：y===‎ 函数y=kx﹣2的图象恒过点（0，﹣2）‎ 在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象 结合图象可实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）‎ 故答案为：（0，1）∪（1，4）‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎15．（2012•天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．‎ ‎【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1化为f（x）=sin（2x+‎ ‎），即可求得函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）可分析得到函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，从而可求得f（x）在区间[]上的最大值和最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x•cos+cos2x•sin+sin2x•cos﹣cos2x•sin+cos2x ‎=sin2x+cos2x ‎=sin（2x+），‎ ‎∴函数f（x）的最小正周期T==π．‎ ‎（2）∵函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，‎ 又f（﹣）=﹣1，f（）=，f（）=1，‎ ‎∴函数f（x）在区间[]上的最大值为，最小值为﹣1．‎ ‎　‎ ‎16．（2012•天津）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．‎ ‎（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；‎ ‎（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；‎ ‎（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．‎ ‎【分析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为 设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），故P（Ai）=‎ ‎（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）；‎ ‎（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，利用互斥事件的概率公式可求；‎ ‎（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．‎ ‎【解答】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为 设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），∴P（Ai）=‎ ‎（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=；‎ ‎（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，‎ ‎∴P（B）=P（A3）+P（A4）=‎ ‎（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=‎ P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=，P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=‎ ‎∴ξ的分布列是 ‎ ‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 2‎ ‎ 4‎ ‎ P 数学期望Eξ=‎ ‎　‎ ‎17．（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．‎ ‎（1）证明：PC⊥AD；‎ ‎（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；‎ ‎（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．‎ ‎【分析】解法一（1）以A为原点，建立空间直角坐标系，通过得出•=0，证出PC⊥AD．‎ ‎（2）求出平面PCD，平面PCD的一个法向量，利用两法向量夹角求解．‎ ‎（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，利用cos＜＞=cos30°=，得出关于h的方程求解即可．‎ 解法二：（1）通过证明AD⊥平面PAC得出PC⊥AD．‎ ‎（2）作AH⊥PC于点H，连接DH，∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△DAH中求解 ‎（3）因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，由余弦定理得出关于h的方程求解即可．‎ ‎【解答】解法一：如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（﹣，，0），P（0，0，2）．‎ ‎（1）证明：易得=（0，1，﹣2），=（2，0，0），于是•=0，所以PC⊥AD．‎ ‎（2）解：=（0，1，﹣2），=（2，﹣1，0），设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），则即 取z=1，则以=（1，2，1）．又平面PAC的一个法向量为=（1，0，0），于是cos ‎＜＞==，sin＜＞=‎ 所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．‎ ‎（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得=（ ，﹣，h）．由=（2，﹣1，0），故cos＜＞===‎ 所以=cos30°=，解得h=，即AE=．‎ 解法二：（1）证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，‎ 又由AD⊥AC，PA∩AC=A，故AD⊥平面PAC，‎ 又PC⊂平面PAC，‎ 所以PC⊥AD．‎ ‎（2）解：如图，作AH⊥PC于点H，连接DH，‎ 由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．‎ 在RT△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH=，由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH中，DH==，因此sin∠AHD==．所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．‎ ‎（3）解：如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，‎ 设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．‎ 由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC，在RT△DAC中，CD=，sin∠ADC=，故sin∠AFB=．‎ 在△AFB中，由，AB=，sin∠FAB=sin135°=，可得BF=‎ ‎，‎ 由余弦定理，BF2=AB2+AF2﹣2ABAFcos∠FAB，得出AF=，‎ 设AE=h，在RT△EAF中，EF==，‎ 在RT△BAE中，BE==，‎ 在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，‎ 由余弦定理得到，cos30°=，‎ 解得h=，‎ 即AE=．‎ ‎　‎ ‎18．（2012•天津）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．‎ ‎（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎（2）记Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn，n∈N*，证明：Tn+12=﹣2an+10bn（n∈N*）．‎ ‎【分析】（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．‎ ‎（2）先写出Tn的表达式；方法一：借助于错位相减求和；‎ 方法二：用数学归纳法证明其成立．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，‎ 由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，‎ 由条件a4+b4=27，s4﹣b4=10，‎ 得方程组，解得，‎ 故an=3n﹣1，bn=2n，n∈N*．‎ ‎（2）证明：方法一，由（1）得，Tn=2an+22an﹣1+23an﹣2+…+2na1； ①；‎ ‎2Tn=22an+23an﹣1+…+2na2+2n+1a1； ②；‎ 由②﹣①得，Tn=﹣2（3n﹣1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2‎ ‎=+2n+2﹣6n+2‎ ‎=10×2n﹣6n﹣10；‎ 而﹣2an+10bn﹣12=﹣2（3n﹣1）+10×2n﹣12=10×2n﹣6n﹣10；‎ 故Tn+12=﹣2an+10bn（n∈N*）．‎ 方法二：数学归纳法，‎ ‎③当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，﹣2a1+10b1=16，故等式成立，‎ ‎④假设当n=k时等式成立，即Tk+12=﹣2ak+10bk，‎ 则当n=k+1时有，‎ Tk+1=ak+1b1+akb2+ak﹣1b3+…+a1bk+1‎ ‎=ak+1b1+q（akb1+ak﹣1b2+…+a1bk）‎ ‎=ak+1b1+qTk ‎=ak+1b1+q（﹣2ak+10bk﹣12）‎ ‎=2ak+1﹣4（ak+1﹣3）+10bk+1﹣24‎ ‎=﹣2ak+1+10bk+1﹣12．‎ 即Tk+1+12=﹣2ak+1+10bk+1，因此n=k+1时等式成立．‎ ‎③④对任意的n∈N*，Tn+12=﹣2an+10bn成立．‎ ‎　‎ ‎19．（2012•天津）设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞．‎ ‎【分析】（1）设P（x0，y0），则，利用直线AP与BP的斜率之积为 ‎，即可求得椭圆的离心率；‎ ‎（2）依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），则，进一步可得，利用AP|=|OA|，A（﹣a，0），可求得，从而可求直线OP的斜率的范围．‎ ‎【解答】（1）解：设P（x0，y0），∴①‎ ‎∵椭圆的左右顶点分别为A，B，∴A（﹣a，0），B（a，0）‎ ‎∴，‎ ‎∵直线AP与BP的斜率之积为，∴‎ 代入①并整理得 ‎∵y0≠0，∴a2=2b2‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴椭圆的离心率为；‎ ‎（2）证明：依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），∴‎ ‎∵a＞b＞0，kx0≠0，∴‎ ‎∴②‎ ‎∵|AP|=|OA|，A（﹣a，0），‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 代入②得 ‎∴k2＞3‎ ‎∴直线OP的斜率k满足|k|＞．‎ ‎　‎ ‎20．（2012•天津）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；‎ ‎（3）证明：（n∈N*）．‎ ‎【分析】（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，即可求得a的值；‎ ‎（2）当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意；当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数，令g′（x）=0，可得x1=0，，分类讨论：①当k≥时，，g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）=0；②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，由此可确定k的最小值；‎ ‎（3）当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，不等式成立；当n≥2时，，在（2）中，取k=，得f（x）≤x2，从而可得，由此可证结论．‎ ‎【解答】（1）解：函数的定义域为（﹣a，+∞），求导函数可得 令f′（x）=0，可得x=1﹣a＞﹣a 令f′（x）＞0，x＞﹣a可得x＞1﹣a；令f′（x）＜0，x＞﹣a可得﹣a＜x＜1﹣a ‎∴x=1﹣a时，函数取得极小值且为最小值 ‎∵函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，‎ ‎∴f（1﹣a）=1﹣a﹣0，解得a=1‎ ‎（2）解：当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意 当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，‎ 求导函数可得g′（x）=‎ g′（x）=0，可得x1=0，‎ ‎①当k≥时，，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；‎ ‎②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，‎ 因此取时，g（x0）≥g（0）=0，即有f（x0）≤kx02不成立；‎ 综上知，k≥时对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，k的最小值为 ‎（3）证明：当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，所以不等式成立 当n≥2时，‎ 在（2）中，取k=，得f（x）≤x2，∴（i≥2，i∈N*）．‎ ‎∴=f（2）+＜2﹣ln3+‎ ‎=2﹣ln3+1﹣＜2‎ 综上，（n∈N*）．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：xintrl；庞会丽；caoqz；qiss；蔡华侨；sllwyn；minqi5；zwx097；wfy814；刘长柏（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日