- 2021-06-30 发布 |
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文档介绍
高考数学考点42 曲线与方程
1 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 一、曲线与方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二 元方程 的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 二、坐标法（直接法）求曲线方程的步骤 求曲线的方程，一般有下面几个步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点 M 的坐标； （2）写出适合条件 p 的点 M 的集合 ； （3）用坐标表示条件 p(M)，列出方程 ； （4）化方程 为最简形式； （5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． #网 一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲 线上时，可通过限制方程中 x，y 的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出 曲线方程． 三、两曲线的交点 （1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成 的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有 交点． （2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就 是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题. ( , ) 0f x y { | ( )}P M p M ( , ) 0f x y ( , ) 0f x y 2 考向一 考查曲线与方程的概念 判断曲线与方程的关系时，把握两个对应关系： （1）曲线上的每个点都符合某种条件； （2）每个符合条件的点都在这条曲线上.若要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足 方程. 典例 1 方程 表示的曲线是 A．一个圆和一条直线 B．半个圆和一条直线 C．一个圆和两条射线 D．一个圆和一条线段 【答案】C 典例 2 方程 y=- 对应的曲线是 【答案】A 【解析】将 y=- 平方得 x2+y2=4(y≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为 2 的圆的下半部分， 故选 A. 1．方程 x2＋y2－2x+4y+5＝0 表示的图形是 A．一个点 B．两条直线 C．一个圆 D．一条直线与一个圆 考向二 直接法求轨迹方程 3 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将 步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐 标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性． 典例 3 已知坐标平面上一点 与两个定点 ， ，且 ． （1）求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）记（1）中轨迹为 ，过点 的直线 被 所截得的线段长度为 ，求直线 的方程． 【解析】（1）由 ，得 ， 化简得 ， 所以点 的轨迹方程是 ， 该轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆． （2）当直线 的斜率不存在时， ，此时所截得的线段的长为 ， 2．在平面直角坐标系中，已知定点 ， ，直线 与直线 的斜率之积为-4，则动点 的轨迹方程为 A． B． ( , )M x y 1(26,1)M 2 (2,1)M 1 2 5MM MM M C ( 2,3)P l C 8 l 1 2 | | 5| | MM MM 2 2 2 2 ( 26) ( 1) 5 ( 2) ( 1) x y x y 2 2 2 2 23 0x y x y M 2 2( 1) ( 1) 25x y (1,1) 5 l : 2l x 2 22 5 3 8 0, 2A 0,2B PA PB P 2 2 1 04 y x x 2 2 14 y x 4 C． D． 3．设 ，且 是 和 的等比中项，则动点 的轨迹为除去 轴上点的 A．一条直线 B．一个圆 C．双曲线的一支 D．一个椭圆 考向三 定义法求轨迹方程 求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根 据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．理解解析几何中有关曲线的定义是解题的关键． 利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲 线，则应对其中的变量 x 或 y 进行限制． 典例 4 已知圆 A ，圆 B： ，动圆 P 与圆 A、圆 B 均外切. （1）求动圆 P 的圆心的轨迹 C 的方程； （2）过圆心 B 的直线与曲线 C 交于 M、N 两点，求｜MN｜的最小值. 【解析】（1）设动圆 P 的半径为 ，则│PA│＝ ，│PB│= , 2 2 14 y x 2 2 1 24 y x y ,x yR 2y 1 x 1 x ,P x y x 2 2 12 4x y 5 2r 1 2r 5 4．设圆(x＋1)2＋y2＝25 的圆心为 C，A(1，0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M，则 M 的轨迹方程为 A． B． C． D． 5．如果点 在运动过程中总满足关系式 . （1）说明点 的轨迹是什么曲线，并求出它的轨迹方程； （2）若 是坐标原点，直线 ： 交点 的轨迹于不同的两点 ，求 面积的最大 值. 考向四 相关点法求轨迹方程 动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点 却随另一动点 的运动而有规 2 24 4 121 25 x y 2 24 4 125 21 x y 2 24 4 125 21 x y 2 24 4 121 25 x y ,M x y 2 22 22 2 2 3x y x y M O l 2y kx M ,A B AOB△ ,( )P x y ( ),Q x y 6 律地运动，而且动点 Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将 ， 表示成关于 x，y 的式子，再 代入 Q 的轨迹方程整理化简即得动点 P 的轨迹方程． 典例 5 已知圆 C 的方程为 x2＋y2＝4，过圆 C 上的一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m，设 m 与 y 轴的交点为 N，若向量 ，求动点 Q 的轨迹方程. 【解析】设点 Q 的坐标为(x，y)，点 M 的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，则点 N 的坐标为(0，y0). 因为 ，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0，2y0)，则 x0＝x，y0＝ . 又点 M 在圆 C 上，所以 ，即 ， 所以动点 Q 的轨迹方程为 . 典例 6 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1. (1)求椭圆的方程; (2)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, =e(e 为椭圆 C 的离心率),求点 M 的 轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. x y 2 y 2 2 1 04 16 ＋ ＝x y y OP OM 7 6．若动点 在曲线 上移动，点 和定点 连线的中点为 ，则点 的轨迹方程为 A． B． C． D． 7．如图所示，已知 P(4，0)是圆 x2+y2=36 内的一点，A，B 是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程. 8 考向五 参数法求轨迹方程 若动点 坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点 的轨迹，也没有明显的相关动点可 用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点 中的 x，y 分 别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种求轨迹方程的方法叫 做参数法. 参数法求轨迹方程的步骤： @网 （1）选取参数 k，用 k 表示动点 M 的坐标． （2）得出动点 M 的参数方程 . （3）消去参数 k，得 m 的轨迹方程． （4）由 k 的范围确定 x，y 的范围． 典例 7 如图,在正方形 OABC 中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为(10,0),点 C 的坐标为(0,10).分别将线段 OA 和 AB 十等分,分点分别记为 A1,A2,…,A9 和 B1,B2,…,B9.连接 OBi,过 Ai 作 x 轴的垂线与 OBi 交于点 Pi(i∈ N*,1≤i≤9). （1）求证:点 Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线 E 的方程; （2）过点 C 作直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 M,N,若 与 的面积比为 4∶1,求直线 l 的 方程. 【解析】解法一：（1）依题意,过 Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与 x 轴垂直的直线的方程为 x=i, Bi 的坐标为(10,i),所以直线 OBi 的方程为 y= x. ,( )P x y ,( )P x y ,( )P x y ( ) ( ) x f k y g k △OCM △OCN 9 Bi 的坐标为(10,i),所以直线 OBi 的方程为 y= x. 由 解得 Pi 的坐标为(i, ). 因为点 Pi 的坐标都满足方程 x2=10y，所以点 Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线 E 的方程为 x2=10y. （2）同解法一. 8．过点 P1(1,5)作一条直线交 x 轴于点 A,过点 P2(2,7)作直线 P1A 的垂线,交 y 轴于点 B,点 M 在线段 AB 上,且 |BM|∶|MA|=1∶2,则动点 M 的轨迹方程为 . 考向六 圆锥曲线中的对称问题 圆锥曲线上两点关于直线对称的问题是高考命题的一个热点问题，该问题集垂直、中点弦、直线与圆锥曲 10 x i iy x 10 线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程、函数、不等式、点差法等重要数学知识和思想方法于一 体，符合在知识网络交汇处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题的命题特点，此类试题 综合性强，但难度适中,对数学知识和能力的考查具有一定的深度,具有很好的选拔功能.圆锥曲线上两点关于 直线对称的问题主要有联立方程和点差法两种解法. @#网 典例 8 若在抛物线 y2=2x 上存在相异的两点关于直线 l:y=m(x-2)对称,求 m 的取值范围. 【解析】解法一：如图, 11 9．已知椭圆 ，四点 、 、 、 中恰有三点在椭圆 上. （1）求椭圆 的方程； （2）椭圆 上是否存在不同的两点 、 关于直线 对称？若存在，请求出直线 的方程，若不 存在，请说明理由； （3）设直线 不经过点 且与 相交于 、 两点，若直线 与直线 的斜率的和为 1，求证：直线 过 定点. 1．命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0 的解”是正确的，下面命题中正确的是 A．方程 f(x，y)＝0 的曲线是 C B．方程 f(x，y)＝0 的曲线不一定是 C C．f(x，y)＝0 是曲线的方程 D．以方程 f(x，y)＝0 的解为坐标的点都在曲线上 2 2 2 2: 1 0x yC a ba b 12 2．下列四组方程表示同一条曲线的是 A．y2=x 与 y= B．y=lg x2 与 y=2lg x C． =1 与 lg(y+1)=lg(x-2) D．x2+y2=1 与|y|= 3．方程 表示的曲线是 A．半个圆 B．双曲线的一支 C．一个圆 D．双曲线 4． 表示的曲线一定不是 A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线 5．当点 在圆 上运动时，它与定点 相连，则线段 的中点 的轨迹方程是 A． B． C． D． 6．设动点 P 到 A(－5，0)的距离与它到 B(5，0)的距离的差等于 6，则 P 点的轨迹方程是 A． B． C． D． 7．设 为椭圆 上任意一点， ， ，延长 至点 ，使得 ，则点 的 轨迹方程为 A． B． C． D． 8．已知两点 M(－2，0)，N(2，0)，点 P 满足 ，则点 P 的轨迹方程为__________. 9．由动点 向圆 引两条切线 、 ，切点分别为 、 ，若 ，则动点 的 轨迹方程为__________． 10．已知双曲线的一支 C:y= 和直线 l:y=kx,若 l 与 C 有两个不同的交点 A,B,则线段 AB 的中点的 1 2 y x 28x y 2 2 19 16 x y 2 2 19 16 y x 2 2 1 39 16 x y x 2 2 1 39 16 x y x P 2 2 1x y PA PB A B 120APB P 13 轨迹方程为__________. 11．已知点 P(2,2)，圆 C：x2＋y2－8y＝0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M， O 为坐标原点. （1）求 M 的轨迹方程； （2）当|OP|＝|OM|时，求 l 的方程. 12．如图所示，已知 ， 两点分别在 轴和 轴上运动，点 为 延长线上一点，并且满足 ， ，试求动点 的轨迹方程． ( 3,0)A ,B C y x P BC AB BP 1 2BC CP P 14 13．已知圆 ，直线 ， . （1）求证：对于 ，直线 与圆 总有两个不同的交点 ； （2）求弦 的中点 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线. 14．已知动点 与 ， 两点连线的斜率之积为 ，点 的轨迹为曲线 ，过点 的直线交曲 线 于 ， 两点. （1）求曲线 的方程； （2）若直线 ， 的斜率分别为 ， ，试判断 是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说 明理由. 2 2: 2 5C x y : 1 2 0l mx y m mR mR l C A B、 AB M 15 15．已知椭圆 的长轴长与短轴长之和为 6，椭圆上任一点到两焦点 ， 的距离之 和为 4. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线 ： 与椭圆交于 ， 两点， ， 在椭圆上，且 ， 两点关于直线 对称，问：是否存在实数 ，使 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 16．已知动圆 恒过 且与直线 相切，动圆圆心 的轨迹记为 ；直线 与 轴的交点 为 ，过点 且斜率为 的直线 与轨迹 有两个不同的公共点 ， ， 为坐标原点． （1）求动圆圆心 的轨迹 的方程，并求直线 的斜率 的取值范围； （2）点 是轨迹 上异于 ， 的任意一点，直线 ， 分别与过 且垂直于 轴的直线 交于 ， ，证明： 为定值，并求出该定值． 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b 1F 2F AB y x m A B C D C D AB m 2AB CD m M ( )1,0F 1x M C 1x x N N k l C A B O M C l k D C A B DA DB ( )1,0F x P Q OP OQ 16 17．已知焦点在 轴上的椭圆的离心率为 ，短轴长为 ， 为坐标原点，定点 ，点 在已知椭圆上， 动点 满足 . （1）求动点 的轨迹方程； （2）过椭圆右焦点 的直线与椭圆交于点 ，求 的面积的最大值． 1．（2011 北京理科）曲线 C 是平面内与两个定点 F1(－1，0)和 F2(1，0)的距离的积等于常数 a2(a＞1)的点 的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线 C 过坐标原点； ②曲线 C 关于坐标原点对称； ③若点 P 在曲线 C 上，则 的面积不大于 ． 其中，所有正确结论的序号是______________． 2．（2017 新课标全国 II 理科）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 上，过 M 作 x 轴的垂线， 垂足为 N，点 P 满足 ． （1）求点 P 的轨迹方程； （2）设点 Q 在直线 上，且 ．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F． 2 2 △AMN 1 2F PF△ 21 2 a 2 2 12 x y 2NP NM 3x 1OP PQ 17 1．【答案】A 【解析】由题意得 ， 则 ， ∴方程 表示的图形是点 ．故选 A． 2．【答案】A 【解析】设动点 P 的坐标为 ， 则由条件得 ，即 ． 所以动点 P 的轨迹方程为 ．故选 A． 学@ 3．【答案】D 4．【答案】B 【解析】本题主要考查轨迹方程的求解.结合线段的中垂线的性质可知，|MA|=|MQ|,且|MC|+|MQ|=5，故有 |MA|+|MC|=5，则可知动点到两个定点的距离和为定值 5>|AC|=2，则可知点 M 的轨迹就是椭圆，且 2a=5， 2c=2，结合椭圆的性质可知 b = ,故其方程为 . 5．【解析】（1） 可表示 与 的距离之和 等于常数 ， 由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆，且 ， 故轨迹方程为 . （2）由 消去 y，得 ， ( , )x y 2 2. 4y y x x 2 2 1 04 y x x 2 2 1 04 y x x 2 21 4 2 24 4 125 21 x y 2 22 22 2 2 3x y x y ,x y 2,0 , 2,0 2 3 3, 2a c 2 2 13 x y 2 2 13 2 x y y kx 2 21 3 12 9 0k x kx 18 ∵ ,∴ ， ， ， 令 ，则 ， ∴ ， 当且仅当 ，即 时，S 取得最大值. 故 面积的最大值为 . 6．【答案】B 7．【解析】设 AB 的中点为 R,坐标为(x,y),则在 中,｜AR｜=｜PR｜, 又因为 R 是弦 AB 的中点,依垂径定理，在 中, , 又 ,所以有 ,即 , 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动. 设 Q(x,y),R(x1,y1),因为 R 是 PQ 的中点,所以 ,代入方程 ,得 ,整理得 x2+y2=56,这就是所求的点 Q 的轨迹方程. 8．【答案】12x+15y-74=0 2 2 212 36 1 3 36 36 0k k k 2 1k 1 2 1 22 2 12 9,1 3 1 3 kx x x xk k 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 6 12 42 1 3 kS x x x x x x k 2 1( 0)t k t 2 2 1k t 2 6 6 3 43 4 23 tS t t t 2 3 3t 21 3k AOB△ 3 2 Rt△ABP Rt△OAR 1 1 4 0,2 2 x yx y 2 24 44 10 02 2 2 x y x 19 【解析】设过点 P2 的直线方程为 y-7=k(x-2)(k≠0),则过点 P1 的直线方程为 y-5=- (x-1),所以 A(5k+1,0)， B(0,-2k+7).设 M(x,y),则由|BM|∶|MA|=1∶2,得 ,消去 k,整理得 12x+15y-74=0.当 k=0 时,易得 A(1,0),B(0,7),则 M( , ),也满足上述方程.故点 M 的轨迹方程为 12x+15y-74=0. 9．【解析】（1）结合椭圆的几何特征，可得 、 、 在椭圆上， 学@# 将 代入 ，得 . 故直线 的方程为 . （3）设 ，联立 ， 消去 y，得 ， 设 ，则 . 5 1 3 4 14 3 kx ky 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 1 2 1 22 2 8 4 4,1 4 1 4 kb bx x x xk k 20 1．【答案】B 【解析】由题意，曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0 的解只满足点在曲线上，不能说明曲线上的 点都是方程的解，即方程 f(x，y)＝0 的曲线不一定是 C，所以答案 B 正确. 2．【答案】D 学@ 【解析】根据每一组曲线方程中 x 和 y 的取值范围,不难发现 A,B,C 中各组曲线对应的 x 或 y 的取值范围 不一致;而 D 中两曲线的 x 与 y 的取值范围都是[-1,1],且化简后的解析式相同,所以 D 正确.故选 D. 又点 在圆 上，所以 ， 故选择 6．【答案】D 21 【解析】由题意得动点 P 到 A(－5，0)的距离与它到 B(5，0)的距离的差等于 6，知轨迹是双曲线的一支， 根据定义得到：c＝5，a＝3，∴b＝4，∴点 P 的轨迹方程是 .故选 D． ∴点 P 的轨迹方程为 ． 10．【答案】(x- )2-y2= (x>2) 【解析】设 AB 的中点为 M(x0,y0),联立 ,得(k2-1)y2+2ky-2k2=0,则 y0= ,x0= , 消去 k 得 - =x0,因为 ,所以查看更多