云南省保山市中小学2019-2020学年高二下学期期末教育教学质量理科数学试题 Word版含答案

云南省保山市中小学2019-2020学年高二下学期期末教育教学质量理科数学试题 Word版含答案

保山市中小学2019-2020学年高二下学期期末教育教学质量 理科数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 注意事项：‎ ‎1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚.‎ ‎2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎2. 已知数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. 1 B. -1 C. 0 D. 2‎ ‎3. 已知点为三角形的外心（各边中垂线的交点），，则（ ）‎ A. 8 B. 6 C. 4 D. 2‎ ‎4. 已知函数是定义在上的连续函数，则函数在区间上存在零点是的（ ）条件.‎ A. 充分不必要 B. 充要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 ‎5. 执行如图所示的程序框图，如果依次输入-2与，则两次输出的结果之和为（ ）‎ A. 5 B. 9‎ C. 12 D. 15‎ ‎6. 已知，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7. 若直线过点，倾斜角为，则点到直线的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 已知，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9. 已知函数，下列说法错误的是（ ）‎ A. 是函数的一个周期 B. 函数的图象关于成中心对称 C. 函数的一条对称轴为 D. 函数图象向左平移个单位后关于轴对称 ‎10. 某几何体的三视图为三个直角边为1的等腰直角三角形，如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 如图所示，三棱柱所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，点是两曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 2‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 注意事项：‎ 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 设，满足约束条件，则的最大值为______.‎ ‎14. 已知等比数列各项均为正数，满足，，则公比______.‎ ‎15. 在长为3、宽为2的长方形内任取一点，使它到四个顶点的距离均不小于1的概率为______.‎ ‎16. 函数在上的最小值为8，则实数______.‎ 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17. 2020年初，一场突如其来的疫情打乱了人们的生活节奏，也改变了很多人的消费方式，某集团在各地区共有20家商品销售门店，为应对疫情，确保公司商品销售营业额，集团决定在所有门店重点推行线上销售模式，经过半年的努力，公司统计了所有门店在1月~6月的商品销售营业额，发现营业额均分布在600万元~1100万元之间，其频率分布直方图如图.‎ ‎（Ⅰ）估计集团20家门店在上半年的平均营业额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅱ）为帮助营业额落后的门店，集团决定在营业额超过900万元的门店中抽取若干家对销售额不超过700万元的门店实施一对一帮扶，规定销售额超过1000万元的门店必须参与，若甲门店上半年的销售额为950万元，求甲门店被选中的概率.‎ ‎18. 函数是定义在上的奇函数，当时，.‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数零点的个数.‎ ‎19. 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足关系式.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的面积.‎ ‎20. 如图，在四棱锥中，，，，平面，为的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值.‎ ‎21. 已知数列的前项和为，满足，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的前项和；‎ ‎（Ⅱ）令，求的前项和.‎ ‎22. 已知椭圆：，点在曲线上，短轴下顶点为，且短轴长为2.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作直线与椭圆的另一交点为，且与所成的夹角为，求的面积.‎ ‎2020年保山市中小学教育教学质量监测 高二年级理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1-5：CDACD 6-10：BCADA 11-12：AB ‎【解析】‎ ‎1. ，，故选C.‎ ‎2. ，故选D.‎ ‎3. 设的中点为，则，故选A.‎ ‎4. 若二次函数在上存在两个零点，则可大于零，故函数在区间上存在零点不能推出；当时，由于函数在上连续，根据零点存在性定理，在区间上必存在零点，故为必要不充分条件，故选C.‎ ‎5. 当输入-2时，，当输入时，，故和为15，故选D.‎ ‎6. ，，故选B.‎ ‎7. 由倾斜角为得直线的斜率为，求得直线的方程为，则点到直线的距离，故选C.‎ ‎8. ，，，故，故选A.‎ ‎9. 函数的最小正周期为，故是函数的一个周期，A正确；当时，，故B正确；当时，函数取得最小值，为对称轴，C正确；函数图象向左平移个单位后函数解析式为，即，不是偶函数，图象不关于轴对称，故选D.‎ ‎10. 在正方体内将三视图还原为直观图，如图，棱锥为三视图的直观图，四个顶点均为正方体的顶点，故棱锥的外接球为正方体的外接球，由三视图知正方体的棱长为1，则，，故选A.‎ ‎11. 如图，取的中点，连接，，易证，则异面直线与所成角为，令三棱柱各棱长为2，可计算，，由余弦定理得，故选A.‎ ‎12. 由双曲线与抛物线有共同的焦点知，因为，且，则，，点在双曲线上，则，故，则，所以，离心率为，故选B.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 8 14. 15. 16. 3‎ ‎【解析】‎ ‎13. 根据约束条件可作图如图，当直线经过点时，目标函数取得最大值，最大值为8.‎ ‎14. 由，得，则，因为数列各项均为正数，故.‎ ‎15. .‎ ‎16. 令，解得，当时，即，函数在上单调递减，，则，符合题意；当时，即，函数在上单减，在上单增，，解得（舍）；当时，即，函数在上单调递增，，解得（舍），综上得.‎ 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17. 解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，设该集团20家门店上半年的平均营业额为，‎ 则（万元），‎ ‎（Ⅱ）可计算得营业额不超过700万元的门店有3家，营业额在900~1000万元的门店有5家，1000万元以上的有1家，‎ 由题意知需要在营业额在900~1000万元的5家门店中再抽取两家.‎ 设“甲门店被选中”为事件，用，，，表示5家门店中的另4家，‎ 则组合方式列举如下：甲，甲，甲，甲，，，，，，，共10种情形，‎ 其中表示甲门店被选中的有4种情形，‎ 故，‎ ‎∴甲门店被选中的概率为.‎ ‎18. 解：（Ⅰ）当时，，，‎ ‎∵是奇函数，，‎ ‎∴时，，‎ 当时，，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）令，则，‎ 当时，显然，无论取何值，均为函数的零点，‎ 当时，由，得，‎ 当时，函数在有一个零点；‎ 当时，函数在有两个零点；‎ 当时，函数在无零点，‎ 根据奇函数的对称性可得，‎ 当时，函数在有3个零点；‎ 当时，函数在有5个零点；‎ 当时，函数在有1个零点.‎ ‎19. 解：（Ⅰ）由正弦定理得，‎ 化简得，‎ ‎∵，∴，‎ 则，得或（舍），‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得，‎ 化简得，故，，‎ ‎∴的面积为.‎ ‎20.（Ⅰ）证明：如图，取的中点，连接，，‎ ‎∵，分别为，的中点，‎ ‎∴且.‎ ‎∵且，‎ ‎∴，‎ ‎∵四边形为平行四边形，‎ 则.‎ ‎∵平面，∴平面，‎ ‎∴.‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 故平面，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）解：建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，，‎ ‎∵，∴.‎ 又∵平面，‎ 则，故平面，‎ 则平面的法向量为，‎ 设平面的法向量为，满足关系：‎ ‎，即，‎ 则.‎ 设二面角的平面角为，‎ ‎，‎ ‎∴二面角的正弦值为.‎ ‎21. 解：（Ⅰ）由，‎ 得 ‎，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎.‎ ‎22. 解：（Ⅰ）将点代入椭圆的方程得，‎ 由短轴长为2，知，‎ 故，‎ 则椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由题意可得的斜率为，即的倾斜角为，‎ 当与直线所成夹角为时，易知直线的倾斜角为或.‎ ‎①当直线的倾斜角为时，‎ ‎，，‎ 则；‎ ‎②当直线的倾斜角为时，‎ 直线的方程为，‎ 即，‎ 联立方程，得，‎ 则，‎ 故.‎ ‎，‎ ‎，‎ 综上可得的面积为或.‎