山西运城市景胜中学2019-2020学年高二下学期期末模考数学（文）试题
景胜中学高二年级期末模考试题（6月）
数学（文科）
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）
1. 已知复数z=5i2-i+5i，则|z|＝（ ）
A.5 B.52 C.32 D.25
2. 已知命题p:∀x∈R+，lnx>0，那么命题￢p为( )
A.∃x∈R+，lnx≤0 B.∀x∈R+，lnx<0
C.∃x∈R+，lnx<0 D.∀x∈R+，lnx≤0
3. 已知命题p:∀x∈R，x2>x-1，q:∃x0∈R，sinx0>1，下列命题为真命题的是（ ）
A.p∧q B.￢p∨q C.￢p D.p∧￢q
4. 若输出的S的值等于22，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ）
A.i>5 B.i>6 C.i>7 D.i>8
5. 设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.
命题：“若a2+b2=0(a, b∈R)，则a=b=0”的逆否命题是（ ）
A. 若a≠b≠0(a, b∈R)，则a2+b2≠0
B. 若a=b≠0(a, b∈R)，则a2+b2≠0
C. 若a≠0且b≠0(a, b∈R)，则a2+b2≠0
D. 若a≠0或b≠0(a, b∈R)，则a2+b2≠0
7. 函数y＝f(x)在P（1, f(1)）处的切线如图所示，则f(1)+f'(1)＝（ ）
A.0 B.12 C.32 D.-12
8. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，直线x=2与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则椭圆的方程为( )
A.x22+y2=1 B.x24+y22=1 C.x28+y24=1 D.x26+y23=1
9. 函数f(x)=12x2-lnx的单调减区间是( )
A.(-1，1) B.(0，1) C.(1，+∞) D.(-∞，1)
10. 点P是双曲线C1：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与圆C2:x2+y2=a2+b2的一个交点，且2∠PF1F2=∠PF2F1，其中F1、F2分别为C1的左右焦点，则C1的离心率为( )
A.3+12 B.3+1 C.5+12 D.5-1
11. 若点A的坐标为(3, 2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P是抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|取得最小值时点P的坐标是( )
A.(0, 0) B.(1, 1) C.(2, 2) D.(12，1)
12. 设F1，F2为椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，若双曲线C2的离心率e∈[32, 4]，则椭圆C1的离心率取值范围是( )
A.[49, 59] B.[0, 38] C.[38, 49] D.[59, 1]
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）
13. (2-5i)(4+3i)＝________．
14. 若“x>a”是“x2-5x+6≥0”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
15. 已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的离心率为2，若抛物线C2:x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．
16. 在Rt△ABC中，若∠C=90∘，AC=b，BC=a，则三角形ABC的外接圆半径r=a2+b22，把此结论类比到空间，空间三条侧棱互相垂直的四面体，三条侧棱长分别为a，b，c，则此三棱锥外接球的半径是R=________．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ）
17.(10分) 为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工的月工资均在[25, 55]（百元）内，且月工资收入在[45, 50)（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：
(1)求n的值；
(2)已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名．
①完成如下所示2×2列联表;
技术工
非技术工
总计
月工资不高于平均数
50
月工资高于平均数
50
总计
50
50
100
②则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？
参考公式及数据：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
P(K2≥k0)
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
18.(12分) 某校医务室欲研究昼夜温差大小与高三患感冒人数多少之间的关系，他们统计了2019年9月至2020年1月每月8号的昼夜温差情况与高三因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：
日期
2019年9月8日
2019年10月8日
2019年11月8日
2019年12月8日
2020年1月8日
昼夜温差x(∘C)
5
8
12
13
16
就诊人数y
10
16
26
30
35
该医务室确定的研究方案是先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．假设选取的是2019年9月8日与2020年1月8日的2组数据．
（1）求就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程y=bx+a（结果精确到0.01）
（2）若由（1）中所求的线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过3人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该医务室所得线性回归方程是否理想？
参考公式：b=i=1n (xi-x¯)(yi-y¯)i=1n (xi-x¯)2=i=1n xiyi-nxy¯i=1n xi2-nx¯2，a=y¯-bx¯．
19.(12分) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为22，过左顶点A的直线l与椭圆交于另一点B．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若|AB|=43，求直线l的倾斜角．
20.(12分) 一个圆经过点F(2, 0)，且和直线x+2＝0相切．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）已知点B(-1, 0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P、Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．
21. （12分） 设函数f(x)＝lnx+2x2-5x．
(Ⅰ)求函数f(x)的极小值；
(Ⅱ)设函数g(x)＝2x2+(m-6)x，若关于x的方程f(x)＝g(x)在区间[1, e2]上有唯一实数解，求实数m的取值范围．
22.(12分)
设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x，a∈R．
(1)令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
景胜中学高二年级期末模考试题（6月）
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
B
【解答】
解：∵ z=5i2-i+5i=5i(2+i)5+5i=-1+7i，
∴ |z|=(-1)2+72=52．
故选B.
2.
【答案】
A
【解答】
解：因为全称命题的否定是特称命题，
故命题“p:∀x∈R+，lnx>0”的否定命题￢p为：∃x∈R+，lnx≤0．
故选A.
3.
【答案】
D
【解答】
∵ x2-x+1＝(x-12)2+34>0恒成立，
∴ ∀x∈R，x2>x-1恒成立，即命题p是真命题，
∵ ∀x∈R，sinx≤1，
∴ q:∃x0∈R，sinx0>1为假命题，
则p∧￢q为真命题，其余为假命题，
4.
【答案】
B
【解答】
S=1+1=2，i=2，不满足条件，执行循环；
S=2+2=4，i=3，不满足条件，执行循环；
S=4+3=7，i=4，不满足条件，执行循环；
S=7+4=11，i=5，不满足条件，执行循环；
S=11+5=16，i=6，不满足条件，执行循环；
S=16+6=22，i=7，满足条件，退出循环体，输出S=22
故判定框中应填i>6或i≥7
5.
【答案】
B
【解答】
解：若a，b，c，d成等比数列，则ad=bc，
反之数列-1，-1，1，1．满足-1×1=-1×1，
但数列-1，-1，1，1不是等比数列，
即“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．
故选B．
6.
【答案】
D
【解答】
解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”；
故选D．
7.
【答案】
A
【解答】
∵ 切线过点(2, 0)与(0, -1)，∴ f'(1)=-1-00-2=12，
则切线方程为y=12x-1，取x＝1，得f(1)=-12，
∴ f(1)+f'(1)=-12+12=0．
故选：A．
8.
【答案】
D
【解答】
解：设直线x=2与椭圆在第一象限的交点为A(2,y0)，
因为OA⊥OB，所以y0=2，即A(2,2)，
由2a2+2b2=1,ca=22,a2=b2+c2, 可得a2=6，b2=3，
故所求椭圆的方程为x26+y23=1．
故选D.
9.
【答案】
B
【解答】
解：由已知，
f'(x)=x-1x=x2-1x，
令f'(x)<0，则x2-1<0，
即-1
0，
所以单调减区间为(0，1).
故选B.
10.
【答案】
B
【解答】
解：∵ a2+b2=c2，
∴ 圆C2必过双曲线C1的两个焦点，∠F1PF2=π2，
2∠PF1F2=∠PF2F1=π3，则|PF2|=c，|PF1|=3c，
故双曲线的离心率为2c3c-c=3+1．
故选B．
11.
【答案】
C
【解答】
解：根据题意，作图如下，
设点P在其准线x=-12上的射影为M，有抛物线的定义得：|PF|=|PM|，
∴ 欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，
∵ |PA|+|PM|≥|AM|（当且仅当M，P，A三点共线时取“=”），
∴ |PA|+|PF|取得最小值时（M，P，A三点共线时）点P的纵坐标y0=2，设其横坐标为x0，
∵ P(x0, 2)为抛物线y2=2x上的点，
∴ x0=2，
∴ 点P的坐标为P(2, 2)．
故选C．
12.
【答案】
C
【解答】
解：如图所示：
∵ △MF1F2为等腰三角形，
∴ |MF2|=|F1F2|=2c，
根据椭圆定义应该有|MF2|+|MF1|=2a=2c+|MF1|，
可推出|MF1|=2a-2c，
∵ 双曲线也以F1和F2为焦点，根据其定义也有：
|MF1|-|MF2|=(2a-2c)-2c=2a-4c，
∴ A点横坐标为a-2c，由a-2c>0，得：0a”是“x2-5x+6≥0”成立的充分不必要条件，
则a≥3，
即实数a的取值范围是[3, +∞)，
15.
【答案】
x2＝16y
【解答】
由题意可得双曲线C1:x2a2-y2b2=1的渐近线为y＝±bax，
化为一般式可得bx±ay＝0，离心率e=ca=a2+b2a=2，
解得b=3a，∴ c=a2+b2=2a，
又抛物线C2:x2＝2py(p>0)故焦点到bx±ay＝0的距离d=ap2a2+b2=ap2c=2，
∴ p=4ca=8，
∴ 抛物线C2的方程为：x2＝16y
16.
【答案】
a2+b2+c22
【解答】
解：若三棱锥S-ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，且长度分别为a，b，c，
则构造以S为顶点，SA，SB，SC为长方体的相邻的三条棱，
其外接球的直径为长方体的对角线，即R=a2+b2+c22.
故答案为：a2+b2+c22.
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ）
17.
【答案】
解：(1)∵ 月工资收入在[45, 50)（百元）内的人数为15，
∴ 月工资收入在[45, 50)（百元）内的频率为：15100=0.15,
由频率分布直方图得：(0.02+0.04+2n+0.01)×5+0.15=1，
解得n=0.05.
(2)①根据题意得到列联表如下：
技术工
非技术工
总计
月工资不高于平均数
19
31
50
月工资高于平均数
31
19
50
总计
50
50
100
②由表中数据，计算K2=100×(19×19-31×31)250×50×50×50=5.76<10.828，
∴ 不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关．
【解答】
解：(1)∵ 月工资收入在[45, 50)（百元）内的人数为15，
∴ 月工资收入在[45, 50)（百元）内的频率为：15100=0.15,
由频率分布直方图得：(0.02+0.04+2n+0.01)×5+0.15=1，
解得n=0.05.
(2)①根据题意得到列联表如下；
技术工
非技术工
总计
月工资不高于平均数
19
31
50
月工资高于平均数
31
19
50
总计
50
50
100
②由表中数据，计算K2=100×(19×19-31×31)250×50×50×50=5.76<10.828，
∴ 不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关．
18.
【答案】
由题意可得x¯=8+12+133=11，y¯=16+26+303=24，
则b=i=24 (xi-x¯)(yi-y¯)i=24 (xi-x¯)2=197≈2.71，
a=y¯-bx¯=24-197×11≈-5.86，
故y关于x的线性回归方程为y=2.71x-5.86；
当x＝5时，y=2.71×5-5.86=7.69；
当x＝16时，y=2.71×16-5.86=37.5．
∵
|7.69-10|＝2.31<3，且|37.5-35|＝2.5<3，
∴ 该医务室所得线性回归方程是理想的．
【解答】
由题意可得x¯=8+12+133=11，y¯=16+26+303=24，
则b=i=24 (xi-x¯)(yi-y¯)i=24 (xi-x¯)2=197≈2.71，
a=y¯-bx¯=24-197×11≈-5.86，
故y关于x的线性回归方程为y=2.71x-5.86；
当x＝5时，y=2.71×5-5.86=7.69；
当x＝16时，y=2.71×16-5.86=37.5．
∵ |7.69-10|＝2.31<3，且|37.5-35|＝2.5<3，
∴ 该医务室所得线性回归方程是理想的．
19.
【答案】
解：(1)由题意得：2b=2,ca=22,a2=b2+c2,
则b=1,a=2,
椭圆C的方程为x22+y2=1.
(2)由题意直线得斜率存在，
因为左顶点为A(-2,0),
设直线l的方程为：y=k(x+2),
代入椭圆方程x22+y2=1得：
(2k2+1)x2+42k2x+4k2-2=0,
所以x1+x2=-42k22k2+1.
因为一根为x1=-2，
则另一根为x2=2-22k22k2+1,
则|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2222k2+1=43,
化简得8k4-k2-7=0，
即k2=1，
所以k=±1，
则倾斜角为45∘或135∘．
【解答】
解：(1)由题意得：2b=2,ca=22,a2=b2+c2,
则b=1,a=2,
椭圆C的方程为x22+y2=1.
(2)由题意直线得斜率存在，
因为左顶点为A(-2,0),
设直线l的方程为：y=k(x+2),
代入椭圆方程x22+y2=1得：
(2k2+1)x2+42k2x+4k2-2=0,
所以x1+x2=-42k22k2+1.
因为一根为x1=-2，
则另一根为x2=2-22k22k2+1,
则|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2222k2+1=43,
化简得8k4-k2-7=0，
即k2=1，
所以k=±1，
则倾斜角为45∘或135∘．
20.
【答案】
设动圆圆心P(x, y)，则由抛物线定义易得：点P是以F(2, 0)为焦点，以x＝-2为准线的抛物线，
动圆圆心的轨迹方程为：y2＝8x
设两点P(x1, y1)，Q(x2, y2)，设不垂直于x轴的直线：l:x＝ty+m(t≠0)，
则x=ty+my2=8x 有：y2-8ty-8m＝0，所以：y1+y2＝8t，y1y2＝-8m
因为x轴是∠PBQ的角平分线，
所以：kBP+kBQ＝0，即：y1x1+1+y2x2+1=0，即：2ty1y2+(m+1)(y1+y2)＝0
则：-16tm+(1+m)8t＝0，
所以：m＝1，l:x＝ty+1，
所以直线l过定点(1, 0)
【解答】
设动圆圆心P(x, y)，则由抛物线定义易得：点P是以F(2, 0)为焦点，以x＝-2为准线的抛物线，
动圆圆心的轨迹方程为：y2＝8x
设两点P(x1, y1)，Q(x2, y2)，设不垂直于x轴的直线：l:x＝ty+m(t≠0)，
则x=ty+my2=8x 有：y2-8ty-8m＝0，所以：y1+y2＝8t，y1y2＝-8m
因为x轴是∠PBQ的角平分线，
所以：kBP+kBQ＝0，即：y1x1+1+y2x2+1=0，即：2ty1y2+(m+1)(y1+y2)＝0
则：-16tm+(1+m)8t＝0，
所以：m＝1，l:x＝ty+1，
所以直线l过定点(1, 0)
21.
【答案】
（1）依题意知f(x)的定义域为(0, +∞)，
∵ f(x)＝lnx+2x2-5x，
∴ f'(x)=1x+4x-5=4x2-5x+1x=(4x-1)(x-1)x，
令f'(x)＝0，解得x＝1或x=14，
则01,f'(x)>0,f(x)单调递增，
140，所以lnxx=m-1，
要使方程f(x)＝g(x)在区间[1, e2]上有唯一实数解，
只需m=1+lnxx[1,e2]．
令g(x)=1+lnxx(1≤x≤e2)，则g'(x)=1-lnxx2，
由g'(x)≥0，得1≤x≤e，g(x)单调递增，
由g'(x)≤0，得e≤x≤e2 g(x)单调递减．
∴ g(x)在区间[1, e]上是单调递增，在区间[e, e2]上是单调递减．
∴ 当x＝e时函数g(x)有最大值，且最大值为g(e)=1+1e，
又g(1)=1,g(e2)=1+lne2e2=1+2e2，
∴ 当m=1+1e或1≤m<1+2e2时，方程m=1+lnxx[1,e2]，
∴ 实数m的取值范围为{m|1≤m<1+2e2m=1+1e}．
【解答】
（1）依题意知f(x)的定义域为(0, +∞)，
∵ f(x)＝lnx+2x2-5x，
∴ f'(x)=1x+4x-5=4x2-5x+1x=(4x-1)(x-1)x，
令f'(x)＝0，解得x＝1或x=14，
则01,f'(x)>0,f(x)单调递增，
140，所以lnxx=m-1，
要使方程f(x)＝g(x)在区间[1, e2]上有唯一实数解，
只需m=1+lnxx[1,e2]．
令g(x)=1+lnxx(1≤x≤e2)，则g'(x)=1-lnxx2，
由g'(x)≥0，得1≤x≤e，g(x)
单调递增，
由g'(x)≤0，得e≤x≤e2 g(x)单调递减．
∴ g(x)在区间[1, e]上是单调递增，在区间[e, e2]上是单调递减．
∴ 当x＝e时函数g(x)有最大值，且最大值为g(e)=1+1e，
又g(1)=1,g(e2)=1+lne2e2=1+2e2，
∴ 当m=1+1e或1≤m<1+2e2时，方程m=1+lnxx[1,e2]，
∴ 实数m的取值范围为{m|1≤m<1+2e2m=1+1e}．
22.
【答案】
解：(1)∵ f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x，
∴ g(x)=f'(x)=lnx-2ax+2a，x>0，
g'(x)=1x-2a=1-2axx，
若a≤0，g'(x)>0恒成立，即g(x)的单调递增区间是(0, +∞)；
若a>0，当x>12a时，g'(x)<0，函数为减函数；
当00，函数为增函数，
∴ 当a≤0时，g(x)的单调递增区间是(0, +∞)；
当a>0时，g(x)的单调递增区间是(0, 12a)，单调递减区间是(12a, +∞).
(2)∵ f(x)在x=1处取得极大值，
∴ f'(1)=0，由(1)中g(x)的单调性可知，
①当a≤0时，f'(x)单调递增，
则当01时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
∴ f(x)在x=1处取得极小值，不合题意；
②当01，f'(x)在(0, 12a)内单调递增，
当00，
∴ f(x)在(0, 1)内单调递减，在(1, 12a)内单调递增，
即f(x)在x=1处取得极小值，不合题意；
③当a=12时，12a=1，f'(x)在(0, 1)内单调递增，在(1, +∞)上单调递减，
则当x>0时，f'(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意；
④当a>12时，0<12a<1，当12a0，f(x)单调递增，
当x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
∴ 当x=1时，f(x)
取得极大值，满足条件．
综上实数a的取值范围是a>12．
【解答】
解：(1)∵ f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x，
∴ g(x)=f'(x)=lnx-2ax+2a，x>0，
g'(x)=1x-2a=1-2axx，
若a≤0，g'(x)>0恒成立，即g(x)的单调递增区间是(0, +∞)；
若a>0，当x>12a时，g'(x)<0，函数为减函数；
当00，函数为增函数，
∴ 当a≤0时，g(x)的单调递增区间是(0, +∞)；
当a>0时，g(x)的单调递增区间是(0, 12a)，单调递减区间是(12a, +∞).
(2)∵ f(x)在x=1处取得极大值，
∴ f'(1)=0，由(1)中g(x)的单调性可知，
①当a≤0时，f'(x)单调递增，
则当01时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
∴ f(x)在x=1处取得极小值，不合题意；
②当01，f'(x)在(0, 12a)内单调递增，
当00，
∴ f(x)在(0, 1)内单调递减，在(1, 12a)内单调递增，
即f(x)在x=1处取得极小值，不合题意；
③当a=12时，12a=1，f'(x)在(0, 1)内单调递增，在(1, +∞)上单调递减，
则当x>0时，f'(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意；
④当a>12时，0<12a<1，当12a0，f(x)单调递增，
当x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
∴ 当x=1时，f(x)取得极大值，满足条件．
综上实数a的取值范围是a>12．