2017-2018学年江西省南昌市第十中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

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绝密★启用前 江西省南昌市第十中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A. {1，2} B. {2，3} C. {1，3} D. {1，2，3}‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：将集合中的元素一一代入验证，即可求解．‎ 详解：易知，‎ 则．‎ 点睛：本题考查指数不等式、集合的交集运算等知识，意在考查学生的基本运算能力．‎ ‎2．设，是虚数单位，则的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为z= z的虚部为-3，选D.‎ ‎3．某单位为了了解用电量y度与气温x ℃之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:由表中数据得线性回归方程=bx+a中b=-2,预测当气温为-4 ℃时,用电量度数为(　　)‎ A. 68 B. 67 C. 65 D. 64‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先利用线性回归方程过样本点的中心求出线性回归方程，再代入进行求解．‎ 详解：由题意，得，‎ ‎，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 解得，‎ 即线性回归方程为，‎ 令，得，‎ 即当气温为时，用电量度数为68度．‎ 点睛：本题考查线性回归方程等知识，意在考查学生的数学应用能力和基本运算能力．‎ ‎4．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意．故选D．‎ 考点：古典概型，互斥事件的概率．‎ ‎【名师点睛】对含“至少”、“至多”等的概率问题，可以用分类加法原理求事件数，用古典概型概率公式求解，也可以从反面入手．本题直接做就是，从反面入手就是“至少有1个黑球”的反面“没有黑球”，没有黑球概率为，因此至少有有一个黑球的概率为．‎ 视频 ‎5．下列命题为真命题的是 ‎（A）若为真命题，则为真命题 ‎（B）“”是“”的充分不必要条件 ‎（C）命题“若，则”的否命题为：“若，则”‎ ‎（D）命题p：，，则：，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：A项中为真命题则至少1个为真，为真命题需都为真；B项中由可得成立，反之不正确，所以“”是“”的充分不必要条件；C项命题“若，则”的否命题为：“若，则”；‎ D项命题p：，，则：，‎ 考点：四种命题及否定 点评：命题：若则成立，则是的充分条件，是的必要条件，命题的否定需要将条件和结论分别否定，特称命题的否定是全称命题 ‎6．条件p:|x+1|>2,条件q:x≥2,则是的(　　)‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】分析：先通过解绝对值不等式得到的充要条件，再利用集合间的关系判定．‎ 详解：由，得 或，‎ 即或，‎ 即，‎ 因为，‎ 所以是的必要不充分条件．‎ 点睛：充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法：‎ ‎①定义法：若，则是的充分条件，是的必要条件；‎ ‎②构造命题法：“若，则”为真命题，则是的充分条件，是的必要条件；‎ ‎③数集转化法：，，若，则是的充分条件，是的必要条件．‎ ‎7．，是两个平面，，是两条直线，则下列命题中错误的是（ ）‎ A. 如果，，，那么 B. 如果，，那么 C. 如果，，，那么 D. 如果，，，那么 ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用空间中的平行或垂直的有关定理进行一一验证．‎ 详解：若，，则或，‎ 又，所以，即选项A正确；‎ 若，，则，即选项B正确；‎ 若，，，则，即选项C正确；‎ 若，，则或，‎ 又，则的位置不确定；故选C．‎ 点睛：本题考查空间中平行关系、垂直关系的转化等知识，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理理能力．‎ ‎8．若，，，满足，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先利用指数函数的单调性确定的取值范围，再通过对数函数的单调性确定的范围，进而比较三个数的大小．‎ 详解：因为，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以．‎ 点睛：本题考查指数函数的单调性、对数函数的单调性等知识，意在考查学生的逻辑思维能力．‎ ‎9．执行右画的程序框图,如果输入的x∈[-1,4],则输出的y属于(　　)‎ A. [-2,5] B. [-2,3) C. [-3,5) D. [-3,5]‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先正确理解该程序框图的功能，再利用分段函数的值域进行求解．‎ 详解：易知该程序框图的功能是 求的值域，‎ 而当时，，‎ 当，，‎ 即的值域为，‎ 即．‎ 点睛：本题考查程序框图、分段函数的值域等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．‎ ‎10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】几何体如图,表面积为 选C.‎ 点睛:空间几何体表面积的求法 ‎ (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．‎ ‎(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．‎ ‎11．函数在区间上的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用函数在内的零点个数排除选项A、B，再利用的符号排除选C．‎ 详解：因为，‎ 且，所以排除选项A、B；‎ 因为，所以，‎ 又，所以，‎ 所以排除选项C，故选D．‎ 点睛：已知函数的解析式判定其图象时，往往从以下方面（左右看定义域、上下看值域、对称性看奇偶性、单调性、周期性、特殊点对应的函数值等）进行验证，一般采用排除法进行验证．‎ ‎12．若是函数的一个极值点，则当时，的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：求导，利用求得，再利用导数的符号变化确定函数在的单调性和极值，与端点函数值进行比较确定最小值．‎ 详解：因为，‎ 所以，‎ 由题意，得，‎ 解得，‎ 即，‎ ‎，‎ 所以在单调递增，‎ 在区间上单调递减，‎ 又，‎ ‎，‎ 所以的最小值为．‎ 点睛：1.已知函数在取得极值求有关参数时，不仅要重视，还要注意验证在两侧的符号不同；‎ ‎2.利用导数求函数在某闭区间上的最值的一般步骤是：‎ ‎①求导；‎ ‎②通过研究导数在该区间上的符号变化确定函数的单调性和极值；‎ ‎③比较极值和端点函数值，确定函数的最值．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知函数f(x)的图象关于原点对称,且周期为4,若f(-1)=2,则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先利用函数的周期性将转化为求，再利用函数的奇偶性进行求解．‎ 详解：由题意，得，‎ 且，‎ 又因为，‎ 所以．‎ 点睛：本题考查函数的奇偶性、周期性等知识，意在考查学生的数学转化能力和基本计算能力．‎ ‎14．已知实数，满足，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】分析：作出可行域，利用图象平移确定最优解，再联立方程进行求解．‎ 详解：将化为，‎ 作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），‎ 当直线向左上方平移时，‎ 直线在轴上的截距增大，‎ 即减少，由图象得当直线过 点时，取得最小值，‎ 联立，得，‎ 即．‎ 点睛：本题考查简单的线性规划问题，意在考查学生的数形结合思想和基本计算能力．‎ ‎15．在区间[1,9]上随机取一个数x,则事件“log2(x-3)>0”发生的概率为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先通过对数函数的单调性确定对数不等式的解集，再利用几何概型的概率公式进行求解．‎ 详解：由，得，‎ ‎ 又，所以，‎ 由几何概型的概率公式，得 所求概率为．‎ 点睛：本题考查对数函数的单调性、几何概型的概率公式等知识，意在考查学生的基本计算能力和数学应用能力．‎ ‎16．在三棱锥中，，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥的外接球半径是_________‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】分析：先利用直角三角形的外心为斜边的中点确定该三棱锥的外接球的球心，再利用分割法和三棱锥的体积进行求解．‎ 详解：取的中点，连接，‎ 因为，，，，‎ 所以，‎ 且，‎ 所以平面，‎ 且是外接球的直径，‎ 设,‎ 所以为正三角形，则,‎ 则，‎ 解得．‎ 点睛：（1）处理多面体和球的组合问题，往往确定外接球或内切球的球心位置是解题的关键；‎ ‎（2）在求三棱锥的体积时，往往根据题意合理选择顶点或找出某条棱的垂面，利用等体积法或分割法进行求解，如本题中的．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）求的极值 ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调性；（2）利用（1）中的单调性确定极值．‎ 详解：（1），令，‎ ‎ 得或 ‎(2)‎ 点睛：本题考查导数与函数的单调性、导数与函数的极值等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．‎ ‎18．下表是一个容量为20的样本数据分组后的频率分布表：‎ 分组 频数 ‎4‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎（1）请估计样本的平均数；‎ ‎（2）以频率估计概率，若样本的容量为2000，求在分组中的频数；‎ ‎（3）若从数据在分组与分组的样本中随机抽取2个，求恰有1个样本落在分组的概率．‎ ‎【答案】（1）15.7；（2）600；（3）‎ ‎【解析】分析：（1）利用频率分布表求出数据的平均数；（2）利用频数、频率的关系进行求解；（3）列举出基本事件，利用古典概型的概率公式进行求解．‎ 详解：（1）依题意，整理表格数据如下：‎ 数据 频数 ‎4‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎8‎ 频率 故所求平均数为．‎ ‎（2）依题意，所求频数为．‎ ‎（3）记中的样本为A，B，C，D，中的样本为a，b，则随机抽取2个，所有的情况为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，D)，(B，a)，(B，b)，(C，D)，(C，a)，(C，b)，(D，a)，(D，b)，(a，b)，共15个．‎ 其中满足条件的为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(D，a)，(D，b)，共8个，故所求概率．‎ 点睛：本题考查频率分布表、样本的数字特征、古典概型的概率公式等知识，意在考查学生的数学应用能力和基本计算能力．‎ ‎19．如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,E,M分别是AD,PD的中点,PE⊥BE,PA=PD=AD=2,AB=.‎ ‎(1)求证:PB∥平面MAC.‎ ‎(2)求证:平面MAC⊥平面PBE.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）利用三角形的中位线性质得到线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（2）利用等边三角形的“三线合一”证得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和性质得到线面垂直和线线垂直，再利用线面垂直和面面垂直的判定定理进行证明．‎ 详解：(1)连接BD交线段AC于点N,连接MN,则N为线段BD中点.‎ ‎∵点M为线段PD中点,∴MN∥PB.又∵MN⊂平面MAC,PB⊄平面MAC,‎ ‎∴PB∥平面MAC.‎ ‎(2)∵PA=PD=AD=2,∴三角形PAD为等边三角形.‎ 又∵E为AD中点,∴PE⊥AD.又∵PE⊥BE,BE∩AD=E,‎ ‎∴PE⊥平面ABCD.又∵AC⊂平面ABCD,∴AC⊥PE.‎ ‎∵AD=2,AB=,四边形ABCD是矩形,E是AD中点,‎ ‎∴△ABE∽△DAC,∴∠ABE=∠DAC,∴AC⊥BE.‎ ‎∵PE∩BE=E,∴AC⊥平面PBE.∵AC⊂平面MAC,‎ ‎∴平面MAC⊥平面PBE.‎ 点睛：本题考查空间中平行关系的转化、垂直关系的转化等知识，意在学生的空间想象能力和逻辑思维能力．‎ ‎20．已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥3的解集;‎ ‎(2)若存在实数x满足f(x)≤-a2+a+7,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）利用零点分段讨论法进行求解；（2）将不等式有解问题转化为求函数的最小值问题，再通过解一元二次不等式进行求解．‎ 详解：(1)f(x)=|x-1|+|x-2|=‎ 当x≤1时,得-2x+3≥3,解得x≤0,‎ 当1

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