高考数学难点突破25__圆锥曲线综合题

高考数学难点突破25__圆锥曲线综合题

高中数学难点 25 圆锥曲线综合题 圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参 数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代 数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确 地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结 果的完整. ●难点磁场 (★★★★)若椭圆 2 2 2 2 b y a x  =1(a＞b＞0)与直线 l：x+y=1 在第一象限内有两个不同的交 点，求 a、b 所满足的条件，并画出点 P(a,b)的存在区域. ●案例探究 ［例 1］已知圆 k 过定点 A(a,0)(a＞0),圆心 k 在抛物线 C：y2=2ax 上运动，MN 为圆 k 在 y 轴上截得的弦. (1)试问 MN 的长是否随圆心 k 的运动而变化？ (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线 C 的准线与圆 k 有怎样的位置关系？ 命题意图：本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力，属 ★★★★★级题目. 知识依托：弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识. 错解分析：在判断 d 与 R 的关系时，x0 的范围是学生容易忽略的. 技巧与方法：对第(2)问，需将目标转化为判断 d=x0+ 2 a 与 R= ax 2 0 的大小. 解：(1)设圆心 k(x0,y0),且 y0 2=2ax0, 圆 k 的半径 R=|AK|= 22 0 2 0 2 0 )( axyax  ∴|MN|=2 2 0 22 0 2 0 2 2 xaxxR  =2a(定值) ∴弦 MN 的长不随圆心 k 的运动而变化. (2)设 M(0,y1)、N(0,y2)在圆 k：(x－x0)2+(y－y0)2=x0 2+a2 中， 令 x=0，得 y2－2y0y+y0 2－a2=0 ∴y1y2=y0 2－a2 ∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项. ∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a. 又|MN|=|y1－y2|=2a ∴|y1|+|y2|=|y1－y2| ∴y1y2≤0，因此 y0 2－a2≤0,即 2ax0－a2≤0. ∴0≤x0≤ 2 a . 圆心 k 到抛物线准线距离 d=x0+ 2 a ≤a,而圆 k 半径 R= 22 0 ax  ≥a. 且上两式不能同时取等号，故圆 k 必与准线相交. ［例 2］如图，已知椭圆 1 22  m y m x =1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆 及其准线的交点从左到右的顺序为 A、B、C、D，设 f(m)=||AB|－|CD|| (1)求 f(m)的解析式； (2)求 f(m)的最值. 命题意图：本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆 锥曲线与代数间的科间综合.属★★★★★级题目. 知识依托：直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值. 错解分析：在第(1)问中，要注意验证当 2≤m≤5 时，直线与椭圆恒有交点. 技巧与方法：第(1)问中，若注意到 xA,xD 为一对相反数，则可迅速将||AB|－|CD||化简.第 (2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法. 解：(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为 a、b、c，则 a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1 ∴椭圆的焦点为 F1(－1,0),F2(1,0). 故直线的方程为 y=x+1,又椭圆的准线方程为 x=± c a 2 ,即 x=±m. ∴A(－m,－m+1),D(m,m+1) 考虑方程组      11 1 22 m y m x xy ,消去 y 得：(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1) 整理得：(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0 Δ =4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2 ∵2≤m≤5,∴Δ ＞0 恒成立，xB+xC= 12 2   m m . 又∵A、B、C、D 都在直线 y=x+1 上 ∴|AB|=|xB－xA|= 2 =(xB－xA)· 2 ,|CD|= (xD－xC) ∴||AB|－|CD||= |xB－xA+xD－xC|= |(xB+xC)－(xA+xD)| 又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0 ∴||AB|－|CD||=|xB+xC|· =| m m 21 2   |· = m m 2 22 (2≤m≤5) 故 f(m)= m m 2 22 ，m∈［2,5］. (2)由 f(m)= ，可知 f(m)= m 12 22  又 2－ 2 1 ≤2－ m 1 ≤2－ 5 1 ∴f(m)∈［ 3 24,9 210 ］ 故 f(m)的最大值为 3 24 ，此时 m=2;f(m)的最小值为 9 210 ，此时 m=5. ［例 3］舰 A 在舰 B 的正东 6 千米处，舰 C 在舰 B 的北偏西 30°且与 B 相距 4 千米， 它们准备捕海洋动物，某时刻 A 发现动物信号，4 秒后 B、C 同时发现这种信号，A 发射麻 醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为 1 千米/秒，炮弹的速度是 3 320 g 千米/秒，其中 g 为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰 A 发射炮弹的方位角和仰角 应是多少？ 命题意图：考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力， 属★★★★★级题目. 知识依托：线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲 线方程. 错解分析：答好本题，除要准确地把握好点 P 的位置(既在线段 BC 的垂直平分线上， 又在以 A、B 为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚. 技巧与方法：通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解.对 空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程. 解：取 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系.由题意 可知，A、B、C 舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、(－5，2 3 ). 由于 B、C 同时发现动物信号，记动物所在位置为 P，则|PB|=|PC|.于是 P 在线段 BC 的 中垂线上，易求得其方程为 x－3y+7 =0. 又由 A、B 两舰发现动物信号的时间差为 4 秒，知|PB|－|PA|=4，故知 P 在双曲线 54 22 yx  =1 的右支上. 直线与双曲线的交点为(8，5 )，此即为动物 P 的位置，利用两点间距离公式，可得 |PA|=10. 据已知两点的斜率公式，得 kPA = ,所以直线 PA 的倾斜角为 60°,于是舰 A 发射炮弹 的方位角应是北偏东 30°. 设发射炮弹的仰角是θ ，初速度 v0= 3 320 g ，则   cos 10sin2 0 0  vg v , ∴sin2θ = 2 310 2 0  v g ,∴仰角θ =30°. ●锦囊妙计 解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何 性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高 能力的目的. (1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组) 求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域. (2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特 征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则 可先建立目标函数，再求这个函数的最值. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)已知 A、B、C 三点在曲线 y= x 上，其横坐标依次为 1，m,4(1＜m＜4)， 当△ABC 的面积最大时，m 等于( ) A.3 B. 4 9 C. 2 5 D. 2 3 2.(★★★★★)设 u,v∈R，且|u|≤ 2 ,v＞0,则(u－v)2+( vu 92 2  )2 的最小值为( ) A.4 B.2 C.8 D.2 二、填空题 3.(★★★★★)A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点 P，使 ∠OPA= 2  ,则椭圆离心率的范围是_________. 4.(★★★★)一辆卡车高 3 米，宽 1.6 米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线 的通径长，若拱口宽为 a 米，则能使卡车通过的 a 的最小整数值是_________. 5.(★★★★★)已知抛物线 y=x2－1 上一定点 B(－1，0)和两个动点 P、Q，当 P 在抛物 线上运动时，BP⊥PQ，则 Q 点的横坐标的取值范围是_________. 三、解答题 6.(★★★★★)已知直线 y=kx－1 与双曲线 x2－y2=1 的左支交于 A、B 两点，若另一条 直线 l 经过点 P(－2，0)及线段 AB 的中点 Q，求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围. 7.(★★★★★)已知抛物线 C：y2=4x. (1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线 C 的焦点 F 及准线 l 分别重合，试求椭圆短轴 端点 B 与焦点 F 连线中点 P 的轨迹方程； (2)若 M(m,0)是 x 轴上的一定点，Q 是(1)所求轨迹上任一点，试问|MQ|有无最小值？若 有，求出其值；若没有，说明理由. 8.(★★★★★)如图， 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆 圆心，且 OD⊥AB，Q 为线段 OD 的中点，已知|AB|=4，曲线 C 过 Q 点，动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变. (1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程； (2)过 D 点的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M、N，且 M 在 D、N 之间，设 DN DM = λ ，求λ 的取值范围. ［学法指导］怎样学好圆锥曲线 圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质 及直线与圆锥曲线的位置关系，从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始. 高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有.为此需要我们做到： 1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石，高考中的题 目都涉及到这些内容. 2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹，此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌 握住一般方法：定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等. 3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及 到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利 用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能 力的考查. 4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程. (1)方程思想 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交 的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量. (2)用好函数思想方法 对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而 使一些线的长度及 a,b,c,e 之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效. (3)掌握坐标法 坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标 法的训练. 参考答案 难点磁场 解：由方程组      1 1 2 2 2 2 b y a x yx 消去 y,整理得(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2)=0 ① 则椭圆与直线 l 在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程①在区间(0，1）内 有两相异实根，令 f(x)=(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2),则有                              0 10 10 1 0 10 0)1()1( 0)1()0( 0)1)((44 22 22 2 2222 22 22222 ba a b ba ba ba a baabf baf bbaaa 同时满足上述四个条件的点 P(a,b)的存在区域为下图所示的阴影部分： 歼灭难点训练 一、1.解析：由题意知 A(1，1)，B(m, m ),C(4,2). 直线 AC 所在方程为 x－3y+2=0, 点 B 到该直线的距离为 d= 10 |23|  mm . |4 1)2 3(|2 1|23|2 1 10 |23|102 1||2 1 2  mmmmmdABS ABC ∵m∈(1,4),∴当 2 3m 时，S△ABC 有最大值，此时 m= 4 9 . 答案：B 2.解析：考虑式子的几何意义，转化为求圆 x2+y2=2 上的点与双曲线 xy=9 上的点的距离 的最小值. 答案：C 二、3.解析：设椭圆方程为 2 2 2 2 b y a x  =1(a＞b＞0),以 OA 为直径的圆：x2－ax+y2=0,两式 联立消 y 得 2 22 a ba  x2－ax+b2=0.即 e2x2－ax+b2=0,该方程有一解 x2,一解为 a,由韦达定理 x2= 2e a －a,0＜x2＜a，即 0＜ 2e a －a＜a 2 2 ＜e＜1. 答案： 2 2 ＜e＜1 4.解析：由题意可设抛物线方程为 x2=－ay,当 x= 2 a 时，y=－ 4 a ；当 x=0.8 时，y=－ a 64.0 . 由题意知 a a 64.0 4  ≥3,即 a2－12a－2.56≥0.解得 a 的最小整数为 13. 答案：13 5.解析：设 P(t,t2－1)，Q(s,s2－1) ∵BP⊥PQ,∴ ts ts t t    )1()1( 1 1 222 =－1, 即 t2+(s－1)t－s+1=0 ∵t∈R,∴必须有Δ =(s－1)2+4(s－1)≥0.即 s2+2s－3≥0, 解得 s≤－3 或 s≥1. 答案：(－∞,－3 ] ∪[ 1,+∞) 三、6.解：设 A(x1,y1）,B(x2,y2). 由      1 1 22 yx kxy ,得(1－k2）x2+2kx－2=0, 又∵直线 AB 与双曲线左支交于 A、B 两点， 故有                  0 1 2 0 1 2 0)1(8)2( 01 221 221 22 2 k xx k kxx kk k 解得－ 2 ＜k＜－1 .222),22,1(22 )1,2(, 22 2,0 ).2( 22 1 22 1 2 1 1 1 2 0 1 11, 12),,( 2 2 2 2 2 2 0 0 2002 21 000                  bbkk k kk bx x kk yl kk k k k x yl k kxy k kxxxyxQ 或即 又则令 的方程为 的斜率为 则设 7.解：由抛物线 y2=4x,得焦点 F(1,0),准线 l：x=－1. (1)设 P(x,y)，则 B(2x－1,2y),椭圆中心 O′,则|FO′|∶|BF|=e,又设点 B 到 l 的距离为 d, 则|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)2+(2y)2=2x(2x－2),化简得 P 点轨迹方程为 y2=x －1(x＞1). (2)设 Q(x,y),则|MQ|= 22)( ymx  )1(4 5)]2 1([1)( 22  xmmxxmx (ⅰ)当 m－ 2 1 ≤1,即 m≤ 2 3 时，函数 t=[x－(m－ )2]+m－ 4 5 在(1，+∞)上递增，故 t 无 最小值，亦即|MQ|无最小值. (ⅱ)当 m－ ＞1,即 m＞ 时，函数 t=[x2－(m－ )2]+m－ 在 x=m－ 处有最小值 m － ,∴|MQ|min= 4 5m . 8.解：(1)以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴，O ∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 5212 22  ＞|AB|=4. ∴曲线 C 为以原点为中心，A、B 为焦点的椭圆. 设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 5 ,∴a= ,c=2,b=1. ∴曲线 C 的方程为 5 2x +y2=1. (2)设直线 l 的方程为 y=kx+2, 代入 +y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0. Δ =(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得 k2＞ 5 3 .由图可知 2 1 x x DN DM  =λ 由韦达定理得           221 221 51 15 51 20 k xx k kxx 将 x1=λ x2 代入得           2 2 2 22 2 2 2 2 51 15 )51( 400)1( k x k kx 两式相除得 )15(3 80 )51(15 400)1( 2 2 22 k k k      3 16 )51(3 804,3 20 5 15,3 510,5 3 2 22 2      k kk k 即 33 1,0,3 16)1(4 2   解得 DN DM ① , 2 1 DN DM x x  M 在 D、N 中间，∴λ ＜1 ② 又∵当 k 不存在时，显然λ = 3 1DN DM (此时直线 l 与 y 轴重合).