高考数学复习练习第3部分 专题一 第三讲 “2道”拉分题专练卷（一～二）
“2 道”拉分题专练卷(一)
1．已知函数 f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x.
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)设 a>0，证明：当 0
f(
1
a－x )；
(3)若函数 y＝f(x)的图像与 x 轴交于 A，B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x 0，证明：
f′(x0)<0.
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1
x－2ax＋(2－a)＝－
(2x＋1)(ax－1)
x .
①若 a≤0，则 f′(x)>0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②若 a>0，则由 f′(x)＝0 得 x＝1
a，且当 x∈(0，1
a )时，f′(x)>0；当 x>1
a时，f′(x)<0，
所以 f(x)在(0，1
a )上单调递增，在(
1
a，＋∞)上单调递减．
(2)证明：设函数 g(x)＝f(
1
a＋x )－f(
1
a－x )，则
g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax，
g′(x)＝ a
1＋ax＋ a
1－ax－2a＝ 2a3x2
1－a2x2.
当 00，而 g(0)＝0，所以 g(x)>0，
故当 0f(
1
a－x ).
(3)证明：由(1)可得，当 a≤0 时，函数 y＝f(x)的图像与 x 轴至多有一个交点，故 a>0，
从而 f(x)的最大值为 f(
1
a )，且 f(
1
a )>0.
不妨设 A(x1,0)，B(x2,0)，0f(x1)＝0.
从而 x2>2
a－x1，于是 x0＝x1＋x2
2 >1
a.
由(1)知，f′(x0)<0.
2．在平面直角坐标系中，已知焦距为 4 的椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别
为 A、B，右焦点为 F，过 F 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于 R、S 两点，若线段 RS 的长
为10
3 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设 Q(9，m)是直线 x＝9 上的点，直线 QA、QB 与椭圆 C 分别交于点 M、N，求证：
直线 MN 必过 x 轴上的一定点，并求出此定点的坐标．
解：(1)依题意，椭圆过点(2，5
3 )，
故Error!解得Error!
所以椭圆 C 的方程为x2
9＋y2
5＝1.
(2)由题意知，直线 QA 的方程为 y＝m
12(x＋3)，代入椭圆方程，
得(80＋m2)x2＋6m2x＋9m2－720＝0，
设 M(x1，y1)，则－3x1＝9m2－720
m2＋80 ⇒x1＝240－3m2
m2＋80 ，
所以 y1＝m
12(x1＋3)＝m
12(
240－3m2
m2＋80 ＋3)＝ 40m
m2＋80，
故点 M 的坐标为(
240－3m2
m2＋80 ， 40m
m2＋80).
同理，直线 QB 的方程为 y＝m
6(x－3)，代入椭圆方程，得(20＋m2)x2－6m2x＋9m2－180＝
0，
设 N(x2，y2)，则 3x2＝9m2－180
m2＋20 ⇒x2＝3m2－60
m2＋20 ，
所以 y2＝m
6(x2－3)＝m
6(
3m2－60
m2＋20 －3)＝－ 20m
m2＋20，
故点 N 的坐标为(
3m2－60
m2＋20 ，－ 20m
m2＋20).
①若240－3m2
m2＋80 ＝3m2－60
m2＋20 ⇒m2＝40，直线 MN 的方程为 x＝1，与 x 轴交于点(1,0)；
②若 m2≠40，直线 MN 的方程为 y＋ 20m
m2＋20＝ 10m
40－m2(x－3m2－60
m2＋20 )，
令 y＝0，解得 x＝1.
综上所述，直线 MN 必过 x 轴上的定点(1,0)．
“2 道”拉分题专练卷(二)
1．(2013·温州八校联考)已知函数 f(x)＝ex＋2x2－3x.
(1)求曲线 y＝f(x)在点(1，f(x))处的切线方程；
(2)当 x≥1
2时，若关于 x 的不等式 f(x)≥5
2x2＋(a－3)x＋1 恒成立，试求实数 a 的取值范
围．
解：(1)f′(x)＝ex＋4x－3，则 f′(1)＝e＋1，
又 f(1)＝e－1，∴曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－e＋1＝(e＋1)(x－1)，即(e
＋1)x－y－2＝0.
(2)由 f(x)≥5
2x2＋(a－3)x＋1，得
ex＋2x2－3x≥5
2x2＋(a－3)x＋1，
即 ax≤ex－1
2x2－1.
∵x≥1
2，∴a≤
ex－1
2x2－1
x
令 g(x)＝
ex－1
2x2＋1
x .
则 g′(x)＝
ex(x－1)－1
2x2＋1
x2 .
令 φ(x)＝ex(x－1)－1
2x2＋1，
则 φ′(x)＝x(ex－1)．
∵x≥1
2，∴φ′(x)>0，∴φ(x)在[
1
2，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)≥φ(
1
2 )＝7
8－1
2 e>0，
因此 g′(x)>0，故 g(x)在[
1
2，＋∞)上单调递增，
则 g(x)≥g(
1
2 )＝
e－1
8－1
1
2
＝2 e－9
4.
∴a 的取值范围是(－∞，2 e－9
4].
2．经过点 F(0,1)且与直线 y＝－1 相切的动圆的圆心轨迹为 M.点 A、D 在轨迹 M 上，
且关于 y 轴对称，过线段 AD(两端点除外)上的任意一点作直线 l，使直线 l 与轨迹 M 在点 D
处的切线平行，设直线 l 与轨迹 M 交于点 B、C.
(1)求轨迹 M 的方程；
(2)证明：∠BAD＝∠CAD；
(3)若点 D 到直线 AB 的距离等于 2
2 |AD|，且△ABC 的面积为 20，求直线 BC 的方程．
解：(1)法一：设动圆圆心为(x，y)，依题意得， x2＋(y－1)2＝|y＋1|.
整理，得 x2＝4y.所以轨迹 M 的方程为 x2＝4y.
法二：设动圆圆心为 P，依题意得点 P 到定点 F(0,1)的距离和点 P 到定直线 y＝－1 的
距离相等，
根据抛物线的定义可知，动点 P 的轨迹是抛物线．
且其中定点 F(0,1)为焦点，定直线 y＝－1 为准线．
所以动圆圆心 P 的轨迹 M 的方程为 x2＝4y.
(2)证明：由(1)得 x2＝4y，即 y＝1
4x2，则 y′＝1
2x.
设点 D(x0，1
4x20
)，由导数的几何意义知，直线 l 的斜率为 kBC＝1
2x0.
由题意知点 A(－x0，1
4x20
)，设点 C(x1，1
4x21
)，B(x2，1
4x22
)，则 kBC＝
1
4x21－1
4x22
x1－x2 ＝x1＋x2
4 ＝1
2x0，
即 x1＋x2＝2x0.
因为 kAC＝
1
4x21－1
4x20
x1＋x0 ＝x1－x0
4 ，kAB＝
1
4x22－1
4x20
x2＋x0 ＝x2－x0
4 ，
所以 kAC＋kAB＝x1－x0
4 ＋x2－x0
4 ＝
(x1＋x2)－2x0
4 ＝0，即 kAC＝－kAB.
所以∠BAD＝∠CAD.
(3)法一：由点 D 到 AB 的距离等于 2
2 |AD|，可知∠BAD＝45°.
不妨设点 C 在 AD 上方，即 x2
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