备战2014高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：动点轨迹方程

备战2014高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：动点轨迹方程

动点轨迹方程 典型例题： ‎ 例1. （2012年全国大纲卷理5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为，则该椭圆的方程为【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】椭圆的方程以及性质的运用。‎ ‎【解析】通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数，从而得到椭圆的方程：‎ ‎∵，∴。‎ ‎∵该椭圆的一条准线方程为，∴该椭圆的焦点在轴上且，∴。‎ ‎∴。故选C。‎ 例2. （2012年山东省理5分）已知椭圆C：的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为【 】‎ A B C D ‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】椭圆和双曲线性质的应用。‎ ‎【解析】∵双曲线的渐近线方程为，‎ 代入可得。‎ 又∵根据椭圆对称性质，知所构成的四边形是正方形，‎ ‎∴，即①。‎ 又由椭圆的离心率为可得②。‎ 联立①②，解得。∴椭圆方程为。故选D。‎ 例3. （2012年山东省文5分）已知双曲线：的离心率为2.若抛物线 的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为【 】‎ ‎ A 　B 　　C 　　D [来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】双曲线和抛物线的性质。‎ ‎【解析】∵抛物线的焦点坐标为，双曲线：的渐近线为，不妨取，即。‎ ‎ ∴抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，即。 ∴。‎ ‎ 又∵双曲线的离心率为，∴，即。‎ ‎ ∴抛物线的方程为。故选D。‎ 例4. （2012年湖南省理5分）已知双曲线C ：的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为【 】‎ A． B. C. D. #ww.zz&st^ep.com@]‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】双曲线的方程、双曲线的渐近线方程。‎ ‎【解析】设双曲线C ：的半焦距为，则。‎ ‎∵C 的渐近线为，点P （2,1）在C 的渐近线上，∴，即。‎ 又∵，∴，∴C的方程为。故选A。‎ 例5. （2012年陕西省理5分）下图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面‎2米，水面宽‎4米，水位下降‎1米后，水面宽 ▲ 米.‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】抛物线的应用。‎ ‎【解析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为，‎ ‎　　　　∴∵当水面在时，拱顶离水面‎2米，水面宽‎4米，‎ ‎∴抛物线过点（2，－2，）.‎ 代入得，，即。‎ ‎∴抛物线方程为。‎ ‎∴当时，，∴水位下降‎1米后，水面宽米。‎ 例6. （2012年四川省文12分）如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为4，设动点的轨迹为。‎ ‎（Ⅰ）求轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），‎ ‎∵当x=－1时，直线MA的斜率不存在；当x=1时，直线MB的斜率不存在；‎ ‎∴，MA的斜率为，MB的斜率为。‎ 由题意，有·=4，化简可得，。‎ ‎∴轨迹的方程为（）。‎ ‎（Ⅱ）由消去y，可得 (﹡)‎ ‎ 对于方程(﹡)，其判别式，‎ 而当1或－1为方程（*）的根时，m的值为－1或1，‎ 结合题设可知，，且m≠1。‎ 设的坐标分别为，,则为方程（*）的两根。‎ ‎∵，∴。 ∴。‎ ‎∴。‎ 此时，且。 ‎ ‎ ∴且。‎ ‎∴且。‎ 综上所述，的取值范围为 。‎ ‎【考点】直线、双曲线、轨迹方程的求法。‎ ‎【解析】（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），由当x=－1时，直线MA的斜率不存在；当x=1时，直线MB的斜率不存在，得到，由直线的斜率之积为4列式即可得到轨迹的方程。‎ ‎（Ⅱ）直线与联立，消元可得 ‎ (﹡)，利用(﹡)有两根且，且m≠1。设Q，R的坐标，求出xR，xQ，利用 ，即可确定 的取值范围。‎ 例7. （2012年广东省文14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且点在上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆和抛物线相切，求直线的方程．‎ ‎【答案】解：（1）∵椭圆的左焦点为，∴。‎ 将点代入椭圆，得，即。‎ ‎ ∴。‎ ‎∴椭圆的方程为。‎ ‎（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，‎ 联立，消去并整理得。‎ ‎∵直线与椭圆相切，∴，[来源:Zxxk.Com]‎ 整理得 ①‎ ‎ 联立，消去并整理得。‎ ‎∵直线与抛物线相切，∴，‎ 整理得 ②‎ 联立①②，解得或[来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎ ∴直线的方程为或。‎ ‎【考点】椭圆的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系，一元二次方程根的判别式的应用，待定系数法。‎ ‎【解析】（1）由椭圆的左焦点为可得；由点在上，根据曲线上点的坐标满足方程的关系，将代入椭圆的方程可得。从而可求得。得到椭圆的方程。[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ （2）应用待定系数法，设直线的方程为。将直线的方程与与椭圆和抛物线的方程分别联立，消去，分别得到关于的一元二次方程，根据直线与椭圆和抛物线相切， 可由得关于和的方程组，解之即可求得直线的方程。‎ 例8. （2012年江西省文13分）已知三点O（0，0），A（－2，1），B（2，1），曲线C上任意一点满足 ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）点是曲线C上动点，曲线C在点Q处的切线为l，点P的坐标是（0，－1），l与分别交于点D，E，求与的面积之比。‎ ‎【答案】解：（1）由，，得 ‎|，。‎ 由已知得，化简得曲线C的方程：。‎ ‎（2）直线的方程分别为 ，‎ 曲线C在点处的切线方程为，且与y轴的交点F（0，）。‎ 由求得，由求得。‎ ‎∴，∴。‎ ‎∴。‎ 又∵，‎ ‎∴，即与的面积之比等于2。‎ ‎【考点】圆锥曲线的轨迹问题，利用导数研究曲线上某点切线方程。‎ ‎【解析】（1）用坐标表示 和，从而可得|＋| ，利用向量的数量积，结合满足 ‎，可得曲线C的方程。‎ ‎ （2）根据直线的方程以及曲线C在点处的切线方程，求出F点的坐标，D、E两点的横坐标，可得和面积的值，从而求得与的面积之比。‎ 例9. （2012年湖北省理13分）设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；‎ ‎（II）过原点且斜率为的直线交曲线于两点，其中在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线交曲线于另一点，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）如图1，设，，则由，‎ 可得，，所以，. ①‎ ‎∵点在单位圆上运动，∴. ②‎ 将①式代入②式即得所求曲线的方程为。 ‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为，；‎ 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为，。‎ ‎（Ⅱ）如图2、3，，设，，则，，‎ 直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得 ‎。‎ 依题意可知此方程的两根为，。‎ 于是由韦达定理可得，即。‎ ‎∵点H在直线QN上，∴。‎ ‎∴，。 ‎ ‎∵，∴，即。[来源:Zxxk.Com]‎ 又∵，∴。[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有。‎ ‎【考点】求曲线的轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系。‎ ‎【解析】（Ⅰ）由和点在圆上列式即可求得曲线的方程，并可判断曲线的类型，求得焦点坐标。‎ ‎　　　（II）设，，则，，表示出直线 的方程代入椭圆的方程并整理，应用韦达定理得到，利用Q、N、H三点共线得到，利用PQ⊥PH得到，从而求得结论。‎ ‎　　　另解：如图2、3，，设，，则，，‎ ‎∵，两点在椭圆上，∴ ‎ 两式相减可得. ‎ 依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，‎ ‎∴。‎ ‎∴由可得. 。‎ 又∵，，三点共线，∴，即。‎ ‎∴由可得。‎ ‎∵，∴，即。‎ 又∵，∴。‎ ‎∴存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有。‎