高中数学易错、易混、易忘题分类汇编2

高中数学易错、易混、易忘题分类汇编2

高中数学易错、易混、易忘题分类汇编 【易错点 42】向量与解析几何的交汇 例 42、（ 03 年新课程高考）已知常数 a>0，向量 c=（0，a）， i=（1，0）， 经过原点 O 以 c+λ i 为方向向量 的直线与经过定点 A（0，a）以 i－2λ c 为方向向量的直线相交于点 P，其中λ ∈R.试问：是否存在两个定 点 E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，说明理由. 【易错点分析】此题综合程度较高，一方面学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误，另一面在向量 的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答，使思维陷入僵局。 解析：根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点 P 到两定点距离的 和为定值.∵i=（1，0）， c=（0，a）， ∴c+λ i=（λ ，a）， i－2λ c=（1，－2λ a）因此，直线 OP 和 AP 的 方 程 分 别 为 axy  和 axay 2 . 消 去 参 数 λ ， 得 点 ),( yxP 的 坐 标 满 足 方 程 222)( xaayy  .整理得 .1 )2( )2( 8 1 2 2 2    a ayx ……① 因为 ,0a 所以得：（i）当 2 2a 时，方程①是 圆方程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F；（ ii）当 2 20  a 时，方程①表示椭圆，焦点 )2,2 1 2 1( 2 aaE  和 )2,2 1 2 1( 2 aaF  为合乎题意的两个定点；（iii）当 2 2a 时，方程①也表示椭圆，焦点 ))2 1(2 1,0( 2  aaE 和 ))2 1(2 1,0( 2  aaF 为合乎题意的两个定点. 【知识点归类点拔】本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定 曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在高考中向量与圆锥曲线的结合是成 为高考命题的主旋律，在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方面也要注意应用向 量的坐标运算来解决解析几何问题如：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题，提高自已应用向 量知识解决解析几何问题的意识。 【练 42】（ 1）（ 2005 全国卷 1）已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的 直线交椭圆于 A、B 两点， OBOA 与 )1,3( a 共线。（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设 M 为椭圆上任意 一点，且 ),( ROBOAOM   ，证明 22   为定值。 答案：（1） 6 3e  （2） =1 （2） （02 年新课程高考天津卷）已知两点 M（-1，0）， N（1，0），且点 P 使 MP ·MN ，PM ·PN , NM ·NP 成公差小于零的等差数列（1）点 P 的轨迹是什么曲线？（2）若点 P 坐标为（ ,ooxy），记 为 与 的 夹角，求 tan ；答案：①点 P 的轨迹是以原点为圆心， 3 为半径的右半圆②tan =|y 0 | （3）（ 2001 高考江西、山西、天津）设坐标原点为 O，抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点，则 OBOA  等于（ ）A. 4 3 B.－ C.3 D.－3 答案：B 【易错点 43】解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。 例 43、已知椭圆 C： 22 142 xy上动点 P 到定点  ,0Mm ,其中 02m的距离 PM 的最小值为 1. （1）请确定 M 点的坐标（2）试问是否存在经过 M 点的直线 l ,使 与椭圆 C 的两个交点 A、B 满足条件 OA OB AB （O 为原点）,若存在,求出 的方程,若不存在请说是理由。 【思维分析】此题解题关键是由条件 知 0OA OB从而将条件转化点的坐标运算再结 合韦达定理解答。 解析：设  ,p x y ，由 得 2 2 21 4 xy  故   2 2 2 21 4 xPM x m       2 2 212 1 2 242 x x m m      由于 且 22x   故当 0 2 2m时， 2PM 的最小值为 221m此时 1m  ，当 2 2 4m时， 2x  取得最小值为 22 4 2 1mm    解得 1,3m  不合题意舍去。综上所知当 是满足题意此时 M 的坐 标为（1，0）。 （2）由题意知条件 等价于 ，当 l 的斜率不存在时， 与 C 的交点为 61, 2  ，此时 0OA OB，设 的方程为  1y k x，代入椭圆方程整理得  2 2 2 21 2 4 2 4 0k x k x k     ，由于点 M 在椭圆内部故 0 恒成立，由 知 1 2 1 2 0x x y y即    2 2 2 1 2 21 1 0k x x k x k     ，据韦达定理得 2 12 2 4 12 kxx k ， 2 12 2 24 12 kxx k   代入上式得     2 2 2 2 2 21 2 4 4 1 2 0k k k k k k       得 2 4k  不合题意。 综上知这样的直线不存在。 【知识点归类点拔】在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系 起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。 【练 43】已知椭圆的焦点在 x 轴上，中心在坐标原点，以右焦点 2F 为圆心，过另一焦点 1F 的圆被右准线截的 两段弧长之比 2:1,  2,1P 为此平面上一定点，且 121PF PF.（1）求椭圆的方程（2）若直线  10y kx k   与椭圆交于如图两点 A、B，令    12 0f k AB F F k   。求函数  fk的值域答 案：（1） 22 142 xy（2）  0,8 例 45、（ 2005 高考福建卷）已知函数 daxbxxxf  23)( 的图象过点 P（0，2），且在点 M（－1，f （－1））处的切线方程为 076  yx . （Ⅰ）求函数 )(xfy  的解析式； 【思维分析】利用导数的几何意义解答。 解析：（Ⅰ）由 )(xf 的图象经过 P（0，2），知 d=2，所以 ,2)( 23  cxbxxxf .23)( 2 cbxxxf  由在 ))1(,1(  fM 处的切线方程是 076  yx ，知 .6)1(,1)1(,07)1(6  fff 即 .3,0 ,32 .121 ,623            cbcb cb cb cb 解得即 故 所求的解析式是 .233)( 23  xxxxf 【知识点归类点拔】导数的几何意义:函数 y=f(x)在点 0x 处的导数，就是曲线 y=(x)在点 ))(,( 00 xfxP 处的 切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步： (1)求出函数 y=f(x)在点 0x 处的导数， 即曲线 y=f(x)在点 处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 ))((' 000 xxxfyy  特别地，如果曲线 y=f(x)在点 处的切线平行于 y 轴，这时导数不 存，根据切线定义，可得切线方程为 0xx  。利用导数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解析几何综合 试题中，复习时要注意到这一点. 【练 45】（ 1）（ 2005 福建卷）已知函数 bx axxf   2 6)( 的图象在点 M（－1，f(x)）处的切线方程为 x+2y+5=0. （Ⅰ）求函数 y=f(x)的解析式；答案： 3 62)( 2   x xxf （2）（ 2005 高考湖南卷）设 0t ，点 P（ t ，0）是函数 cbxxgaxxxf  23 )()( 与 的图象的一个 公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切线.（Ⅰ）用 表示 a，b，c；答案： .3tabc  故 2ta  ， tb  ， .3tc  【易错点 46】利用导数求解函数的单调区间及值域。 例 46、( 2005 全国卷 III)已知函数   247 2 xfx x   ，  01x ， （Ⅰ）求  fx的单调区间和值域； （Ⅱ）设 1a  ，函数    223 2 01g x x a x a x   ， ，，若对于任意  1 01x  ， ，总存在  0 01x  ， 使 得    01g x f x 成立，求 a 的取值范围。 【易错点分析】利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识，同时要培养自已的求导及解不等 式的运算能力第（Ⅱ）问要注意将问题进行等价转化即转化为函数  y g x 在区间 01， 上的值域是函 数 的值域的子集，从而转化为求解函数 在区间 上的值域。 解析( Ⅰ )     2 2222 4 16 7 (2 1)(2 7)() 22 x x x xfx xx          ，令 ( ) 0fx  解得 1 2x  或 7 2x  , 在 1(0, )2x ， ( ) 0,fx  所以 ()fx为单调递减函数；在 1( ,1)2x ， ( ) 0,fx  所以 为单调递增函 数；又 71(0) , (1) 3, ( ) 422f f f      ，即 的值域为[-4，-3]，所以 的单调递减区间为 1(0, )2 ， 的单调递增区间为 1( ,1)2 ， 的值域为[-4，-3].( 单调区间为闭区间也可以). （Ⅱ）∵ 22( ) 3( )g x x a ,又 1a  ，当 (0,1)x 时， 2( ) 3(1 ) 0g x a    ， 因此，当 时， ()gx为减函数，从而当 [0,1]x 时，有 ( ) [ (1), (0)]g x g g . 又 2(1) 1 2 3 , (0) 2g a a g a     ，即当 时，有 2( ) [1 2 3 , 2 ]g x a a a    ， 任给 1 [0,1]x  ，有 1( ) [ 4, 3]fx   ，存在 0 [0,1]x  使得 01( ) ( )g x f x ， 则 2 51,1 2 3 4 3 323 2 aaaa a a              或 又 ，所以 a 的取值范围是 21 3a。 【知识点分类点拔】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解 析几何中的应用，主要有以下几个方面：①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的 热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用 函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．用导数研究函数的性质比 用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为 2006 年高考命题重点应引起高度注意．单调区间 的求解过程，已知 )(xfy  （1）分析 )(xfy  的定义域； （2）求导数 )(xfy  （3）解不等式 0)(  xf ，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式 0)(  xf ，解集在定义域内的部分为减区间， 对于函数单调区间的合并:函数单调区间的合并主要依据是函数 )(xf 在 ),( ba 单调递增，在 ),( cb 单调递增， 又知函数在 bxf )( 处连续，因此 )(xf 在 ),( ca 单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单 调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。 【练 46】（ 1）（ 2005 高考北京卷）已知函数 f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, （I）求 f(x)的单调递减区间；（II） 若 f(x)在区间[－2，2]上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值．答案：（1）（－∞，－1），（3，＋∞） （2）－7 （2）(2005 全国卷 III)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方 形,然后把四边翻转 90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少? 答案：当 x=10 时,V 有最大值 V(10)=1960 例 55、在等比数列 na 中， 1 1a  ，且 n 项和 nS ，满足 1 1lim ,nn S a  那么 1a 的取值范围是（ ） A、  1,  B、 1, 2 C、  1,2 D、 1,4 【易错点分析】利用无穷递缩等比数列的各项和公式 1 1 as q  ，求 的范围时，容易忽视 0q  这个条件。 解析：设公比为 q，由 1 1lim nn S a  知 1 2 11 2 2 1 1 122 11 1 1111 021 1 1 11000 a q a a q a aq q a aaqq                         又 所以 112a 。 【知识点归类点拨】对于       11 lim 0 1 11 n n qq qq qq         存在 或 不存在 或 ，公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前 n 项和在 n 无限增大时的极限，叫做这个无穷数列各项的和。 【练 55】  1 31lim 331 n nnn a   ，求 a 的取值范围。 解析：  1 3 1 1 1lim lim lim 0331313 3 1 1, 4 23 nn nnnn n n a aa a a               【易错点 56】立体图形的截面问题。 例 56、（ 2005 哈师大附中、东北师大附中高三第二次联考）正方体 ABCD -- 1 1 1 1A B C D ，E、F 分别是 1AA 、 1CC 的中点，p 是 上的动点（包括端点），过 E、D、P 作正方体的截面，若截面为四边形，则 P 的轨迹是 （） A、 线段 1CFB、线段 CF C、线段 和一点 1C D、线段 和一点 C。 【易错点分析】学生的空间想象能力不足，不能依据平面的基本定理和线面平行定理作两平面的交线。 解析：如图当点 P 在线段 上移动时，易由线面平行的性质定理知：直线 DE 平行于平面 11BB CC ，则过 DE 的截面 DEP 与平面 的交线必平行，因此两平面的交线为过点 P 与 DE 平行的直线，由于点 P 在线 段 CF 上故此时过 P 与 DE 平行的直线与直线 1BB 的交点在线段 上，故此时截面为四边形（实质上是平行 四边形），特别的当 P 点恰为点 F 时，此时截面为 1DEFB 也为平行四边形，当点 P 在线段 上时如图分别 延长 DE、DP 交 11AD、 11DC 于点 H、G 则据平面基本定理知点 H、G 既在平 截面 DEP 内也在平面 内，故 GH 为两平面的交线，连结 GH 分别交 11AB 、 11BC 于点 K、N（注也 有可能交在两直线的延长线上），再分别连结 EK、KN、PN 即得截面为 DEKNP 此时为五边形。故选 C 【 知 识 点归类点拔】高考对 用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面 平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种： 一种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内和两 平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该定理地应用如证明诸线共点的方法：先证明其中 两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定 理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上）据 这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公 共点，并且两交点的连线即为两平的交线。另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面 P F E D1 C1 B1 A1 C B D A K N H G P F E D1 C1 B1 A1 C B D A 平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线。一般情况下这两种方法要结合应用。 【练 56】（ 1）（ 2005 高考全国卷二）正方体 ABCD—A1 B1 C1 D1 中，P、Q、R、分别是 AB、AD、B1 C1 的中点。那 么正方体的过 P、Q、R 的截面图形是（） （A）三角形 （B）四边形 （C）五边形 （D）六边形 答案：D （2）在正三棱柱 ABC - 1 1 1A B C 中，P、Q、R 分别是 BC 、 1CC 、 11AC 的中点，作出过三点 P、Q、R 截 正三棱柱的截面并说出该截面的形状。答案：五边形。 例 58、如图， PA  矩形 ABCD 所在的平面，M，N 分别为 AB，PC 的中点。求证： //MN 平面 PAD [易错点分析]：在描述条件中，容易忽视 ,AE PAD MN PAD面 面 。 解析：取 PD 中点 E，连结 AE，EN，则有 // // //EN CD AB AM ， 11 22EN CD AB AM    AMEN 为平行四边形， //MN AE //MN PAD 面 [知识点归类点拨]判定直线与平面平行的主要依据是判定定理，它是通过线线平行来判定线面平行，这是所指 的直线是指平面外的一条直线与平行于平面内的一条直线，在应用该定理证线面平行时，这三个条件缺一不可。 【练习 58（2005 浙江）如图，在三棱锥 P—ABC 中， ,AB BC AB BC kPA   ， 点 O，D 分别为 AC，PC 的中点， OP  平面 ABC 求证：OD//平面 PAB 证明： ,OD分别为 AC、PC 的中点 // ,OD PA 又 PA  平面 ,PAB , //PA PAB OD PAB OD PAB  平面 平面 平面 【易错点 59】对于两个平面平行的判定定理易把条件误记为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两 条相交直线分别平行”，容易导致证明过程跨步太大。 例 59、如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，M、N、P 分别是 1 1 1 1 1,,C C B C C D 的中点， 求证：平面 MNP//平面 1A BD 【易错点分析】本题容易证得 MN// 1AD,MP//BD，而直接由此得出面 1//MNP A BD面 解析：连结 1 1 1, , ,B D B C P N 分别是 1 1 1 1,D C B C 的中点， 11// ,PN B D 11// , /B D BD PN BD 又 11, //PN A BD PN A BD面 平面 同理： 1// ,MN A BD PN MN N平面 又 1//DMN A BD平面 平面 。 【知识点归类点拨】个平面平行问题的判定或证明是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题， 即“线面平行则面面平行”，必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面，定理中的 条件缺一不可。 【练 59】正方体 中，（1）M，N 分别是棱 1 1 1 1,A B A D 的 中点，E、F 分别是棱 1 1 1 1,B C C D 的中点，求证：①E、F、B、D 共面； C B A P D O A P N M E D C B A B P C D M N E ②平面 AMN//平面 EFDB③平面 11AB D //平面 1C BD 证明：（1）① 1 1 1 1// , // // ,EF B D B D BD EF BD 则 E、F、B、D 共面。 ②易证：MN//EF，设 1 1 1 1,,AC MN P AC EF Q AC BD O   // , //PQ AO PQ AO PA OQ //AMN EFDB平面 平面 ③连结 AC， 1 1 1 1ABCD A B C D 为正方体， AC DB 11,AA ABCD AC BD  平面 ，同理可证 11AC BC 于是得 1 1 1 ! 1,AC C BD AC ABD平面 同理可证 平面 1 1 1//AB D C BD面 面 【易错点 60】求异面直线所成的角，若所成角为 090 ，容易忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重要方法。 例 60、（ 2001 全国 9）在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，若 12AB BB ，则 11AB C B与 所成角的大小为（ ） A、 060 B、 C、 0105 D、 075 【易错点分析】忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。 解析：如图 1,DD分别为 11,B C BC 中点， 连结 1,AD D C ，设 1 1, 2BB AB则 则 AD 为 1AB 在平面 1BC 上的射影。又 1 1 3 2 2, ,cos ,32 3 BCBE BD C BC BC     2 2 2 12 cosDE BE BD BE BD C BC       1 1 3 2 2 123 2 3 2 63        而 2 2 2 01 1 1 , 903 6 2BE DE BD BED        11AB C B与 垂直。 【知识点归类点拨】求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，对特殊的角，如 时，可以采 用证明垂直的方法来求之。 【练 60】（ 2005 年浙江 12） 设 M，N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点， DE AD 于 E （如图），现将 ADE 沿 DE 折起，使二面角 A DE B为 045 ，此时点 A 在平面 BCDE 内的 射影恰为点 B，则 M，N 的连线与 AE 所成的角的 大小等于 。 解 析 ： 易 知 0045 , 90 ,AEB ABE AB BE      取 AE 中点 Q ，连 MQ ， BQ 11// , , // ,22MQ DE MQ DE DE BC DE BC，N 为 BC 的中点 // , , //MQ BN MQ BN BQ MN   ,BQ AE MN AE   ，即 M，N 连线与 AE 成 090 角。 【易错点 61】在求异面直线所成角，直线与平面所成的角以及二面角时，容易忽视各自所成角的范围而出现错 误。 例 61、如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，M，N，P 分别为 1 1 1 1,,A B BB CC 的中点。求异面 直线 1 ,D P AM CN AM与 与 所成的角。 [易错点分析]异面直线所成角的范围是  000 ,90   ，在利用余弦定理求异面直线所成角时，若出现角的余 弦值为负值，错误的得出异面直线所成的角为钝角，此时应转化为正值求出相应的锐角才是异面直线所成的角。 解析：如图，连结 1AN，由 ,NP为 11,BB CC 中点， 则 1 1 1 1// , ,PN A D PN A D 从而 11//A N D P 故 AM 和 1DP所成的角为 1AM D P和 所成的角。 易证 1Rt AA M ≌ 11Rt A B N 。所以 1A N AM ， 故 1D P AM与 所成的角为 。 又设 AB 的中点为 Q，则 11// , .B Q AM B Q AM 又 11// , ,CN B P CN B P 从而 CN 与 AM 所成的角就是 1PB Q （或其补角）。 易求得 11 56,.22B Q B P PQ   在 1PB Q 中，由余弦定理得 1 2cos 5PB Q， 故 CN AM与 所成的角为 2arccos 5 。 【知识点归类点拨】在历届高考中，求夹角是不可缺少的重要题型之一，要牢记各类角的范围，两条异面直线 所成的角的范围： 000 90 ；直线与平面所成角的范围： 000 90 ；二面角的平面角的取值范围： 000 180 。同时在用向量求解两异面直线所成的角时，要注意两异面直线所成的角与两向量的夹角的联 系与区别。 【练 61】（济南统考题）已知平行六面体 ABCD -- 1 1 1 1A B C D 中，底面 是边长为 1 的的正方形，侧 棱 1AA 的长为 2，且侧棱 和 AB 与 AD 的夹角都等于120 ，（ 1）求对角线 1AC 的长（2）求直线 1BD 与 D C B A A1 D1 B1 C1 N M P AC 的夹角值。答案：（1） 2 （2） 3arccos 3 （提示采用向量方法，以 1AA 、 AB 、 AD 为一组基底， 求得 1 3cos , 3BD AC  故两异面直线所成的角的余弦值为 3 3 ） 【易错点 62】对于经度和纬度两个概念，经度是二面角，纬度为线面角，二者容易混淆。 例 62、如图，在北纬 045 的纬线圈上有 B 两点，它们分别在东经 070 与东经 0160 的经度上，设地球的半径为 R，求 B 两点的球面距离。 【易错点分析】求 A、B 两点的距离，主要是求 B 两点的球心角的大小，正确描述 纬线 角和经度角是关键。 解析：设北纬 圈的圆心为 O ，地球中心为 O，则 0 0 0 1 160 70 90 ,AO B    0 1 45 , ,OBO OB R   11 2 ,,2O B O A R AB R   连结 ,AO AB ，则 0, 60AO BO AB R AOB     11263AB R R   。故 A、B 两点间的球面距离为 1 3 R 。 【知识点归类点拨】数学上，某点的经度是：经过这点的经线与地轴确定的平面与本初子午线（ 00 经线）和地 轴确定的半平面所成的二面角的度数。某点的纬度是：经过这点的球半径与赤道面所成的角的度数。如下图： 图（1）：经度——P 点的经度，也是 AB AOB或 的度数。 图（2）：纬度——P 点的纬度，也是 POAPA或 的度数。 【练 62】（ 2005 高考山东卷）设地球的半径为 R ，若甲地位于北纬 45东经120 ，乙地位于南纬 75 东经120， 则甲、乙两地的球面距离为（ ） （A） 3R （B）6 R （C）5 6 R （D）2 3 R 答案：D 如图所示东经120 与北纬 45 线交于 A 点 东经120 与南纬 75 线交于 C 点,设球心 为 B 点从而 45ABC, 75DBC 即 120ABD以 B 点为圆心过 A、C、D 的 大圆上 ACD 即为所求. 120 22.360 3RR   【易错点 64】常见几何体的体积计算公式，特别是棱锥，球的体积公 式容 易忽视公式系数，导致出错。 例 64、（ 2003 年天津理 12）棱长为 a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ） 东经120o 南纬75o 北纬45o B A C D A、 3 3 a B、 3 4 a C、 3 6 a D、 3 12 a 【易错点分析】正确的分析图形，采用割补法。 解析：如图此八面体可以分割为两个正四棱锥，而 222 2 .2 2 2 a a aAB             231 1 1 3 2 6V a a a    八面体 ，故选 C。 【知识点归类点拨】计算简单几何体的体积，要选择某个面作为底面， 选择的 前提条件是这个面上的高易求。 【练 64】（ 2004 全国 20）如图四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为 矩 形， AB=8，AD= 43，侧面PAD为 等边三角形，并且与底面成二面角为 060 。 求四棱 锥 P—ABCD 的体积。 解析：如图，去 AD 的中点 E，连结 PE，则 PE AD 。作 PO  平面 ABCD，垂足为 O，连结 OE。 根据三垂线定理的逆定理得 OE AD ，所以 PEO 为侧面 PAD 与底面所成二面角的平面角。由已知条件可 060 , 6PEO PE   ，所以 33PO  ，四棱锥 P—ABCD 的体积 1 8 4 3 3 3 963P ABCDV       。 【易错点 65】求点到平面的距离的方法有直接法、等体积法、换点法。 例 65、（ 2005 年春季上海 19）如图，已知正三棱锥 P—ABC 的体积为 72 3 ，侧面与底面所成的二面角的大小为 。 （1） 证明 PA BC ； （2） 求底面中心 O 到侧面的距离。 解析：（1）证明：取 BC 边的中点 D，连结 AD、PD，则 ,AD BC PD BC，故 BC APD 平面 PA BC 。 （2）解：如图，由（1）可知平面 PBC  平面 APD，则 PDA 是侧面与底面所成二面角的平面角。 过点 O 做 OE PD ，E 为垂足，则 OE 就是点 O 到侧面的距离，设 OE 为 h，由题意可知点 O 在 AD 上， 060 , 2 .PDO OP h   2 , 4 , 3 hOD BC h    2 23 4 4 34ABCS h h   221 8 372 3 4 3 2 , 333h h h h      即底面中心 O 到侧面的距离为 3。 【知识点归类点拨】求点到平面的距离一般由该点向平面引垂线，确定垂足，转化为解三角形求边长，或者利 用空间向量表示点到平面的垂线段，设法求出该向量，转化为计算向量的模，也可借助体积公式利用等积求高。 【练 65】 如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1 中， 底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°， 侧棱 AA1=2，D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点， 点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的垂心 G. （Ⅰ）求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小 （结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点 A1 到平面 AED 的距离. 解析：连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即∠EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角. 设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC， 11 22 1 1 , , , , , , . 1 , 1, 3.3 1 2 62, .33 2, 2 2, 2 3, 3. 6 1 2sin .333 2arcsin .3 D E CC A B DC ABC CDEF DE G ADB G DF EFD EF FG FD FD EF FD ED EG FC CD AB A B EB EGEBG EB A B ABD                           分别是 的中点 又 平面 为矩形 连结 是 的重心 在直角三角形 中 于是 与平面 所成的角是 （Ⅱ）连结 A1D，有 EAADAEDA VV 11   ,,, FABEFEFEDABED  又 ABAED 1平面 , 设 A1 到平面 AED 的距离为 h， 则 EDShS ABAAED   1 3 62 1  KA . 故 A1 到平面 AED 的距离为 3 62 . 【易错点 62】二面角平面角的求法，主要有定义法、三垂线法、垂面法等。 例 62、 如图所示，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，已知 AA1＝A1C1＝a，E 为 BB1 的 中点，若 截面 A1EC⊥侧面 AC1．求截面 A1EC 与底面 A1B1C1 所成锐二面角度数． 解法 1 ∵截面 A1EC∩侧面 AC1＝A1C．连结 AC1，在正三棱 ABC－A1B1C1 中， ∵截面 A1EC⊥侧面 AC1， 数就是所求二面角的度数．易得∠A1AC1＝45°，故所求二面角的度数是 45°． 解法 2 如图 3 所示，延长 CE 与 C1B1 交于点 F，连结 AF，则截面 A1EC∩面 A1B1C＝AF． ∵EB1⊥面 A1B1C1，∴过 B1 作 B1G⊥A1F 交 A1F 于点 G， 连接 EG，由三垂线定理知∠EGB1 就是所求二面角的平面角． 即所求二面角的度数为 45°． 【知识点归类点拨】二面角平面角的作法：（1）垂面法：是指根据平面角的定义，作垂直于棱的平面，通过这 个平面和二面角两个面的交线得出平面角。（2）垂线法：是指在二面角的棱上取一特殊点，过此点在二面角的 两个半平面内作两条射线垂直于棱，则此两条射线所成的角即为二面角的平面角；（3）三垂线法：是指利用三 垂线定理或逆定理作出平面角； 【练 65】如图，已知直三棱柱 ABC－A1B1C1，侧棱长为 2，底面△ABC 中， ∠B=90°，AB=1，BC= 3 ，D 是侧棱 CC1 上一点，且 BD 与底面所成角为 30°. （1）求点 D 到 AB 所在直线的距离. （2）求二面角 A1－BD－B1 的度数. 解析：①∵CC1⊥面 ABC， ∠B=90°，∴DB⊥AB， ∴DB 的长是点 D 到 AB 所在直线的距离， ∠DBC 是 BD 与底面所成的角，即∠DBC=30°， ∵BC= 3 ， ∴BD= 30cos 3 cos DBC BC =2 . ②过 B1 作 B1E⊥BD 于 E，连 A1E，∵BB1⊥AB，AB⊥BC，且 BB1∩BC=B，∴AB⊥平面 BCC1B1，∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥ 平面 BCC1B1，∵B1E⊥BD，∴A1E⊥BD，即∠A1EB1 是面 A1BD 与面 BDC1B1 所成二面角的平面角. 连 B1D . ∵ BC= ，BD=2，∴CD=1 .∵CC1=2，∴D 为 CC1 的中点 ∴S△BDB1= 2 1 SBCC1B1 ∴ B1E·BD= BC·CC1 即 B1E·2= ·2∴B1E= 在 Rt△A1B1E 中， tan∠A1EB1= 63 3arctan,3 3 3 1 11 1 11  EBAEB BA 【易错点 66】直线与双曲线的位置关系可通过分析直线方程与渐进线方程的位置关系，也可以联立直线方程与 双曲线方程通过判别式，两种方法往往会忽视一些特殊情形。 例 66、过点（0，3）作直线 l，如果它与双曲线 22 143 xy只有一个公共点，则直线 l 的条数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 【易错点分析】在探讨直线与双曲线的位置关系时，可以考虑直线方程与双曲线方程的解的情况，但容易忽视 直线与渐进线平行的特殊情况，这时构成的方程是一次的。 解析：用数形结合的方法：过点（0，3）与双曲线只有一个公共点的直线分两类。一类是平行于渐进线的，有 两条；一类是与双曲线相切的有两条。如图所示： 故选（D） 【知识点归类点拨】直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种。其判定方法有两种： 一是将直线方程与双曲线的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程 2 0ax bx c   。 （1） 若 0, 0a    ，直线与双曲线相交，有两个交点；若 0a  ，直线与渐进线平行，有一个交点。 （2） 若 0, 0a    ，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点。 （3） 若 0, 0a    ，直线与双曲线相离，没有公共点。 二是可以利用数形结合的思想。 【练 66】（ 2004 年浙江，理 21）如图已知双曲线的中心在原点， 右顶点为 A（1，0）P、Q 在双曲线的右支上，点 M（m，0）到 直线 AP 的距离为 1。 （1）若直线 AP 的斜率为 1，且 3 ,33k   ，求实数 m 的取值范围。 解析：（1）如图，由条件得直线 AP 的方程为 ( 1)y k x，即 0kx y k   点 M 到直线 AP 的距离为 1。 2 1 1 mk k k   ， 即 2 2 1111km kk     3 2 3, 3 1 233km      解得 2 3 2 31 3 1 133mm      或 m 的取值范围是 2 3 2 31,1 1 ,333              o A Q P M y x O O y x ( 0 , 3 )