2021届高考数学一轮总复习课时作业36数列的热点问题含解析苏教版

2021届高考数学一轮总复习课时作业36数列的热点问题含解析苏教版

课时作业36　数列的热点问题 一、选择题 ‎1．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N*)的前n项和是(　A　)‎ A． B． C． D． 解析：∵f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，∴f(x)＝x(x＋1)，则＝＝－，用裂项法求得和Sn＝1－＋－＋…＋－＝.‎ ‎2．(2020·柳州模拟)设函数f(x)定义为如下数表，且对任意自然数n均有xn＋1＝f(xn)，若x0＝6，则x2 019的值为(　D　)‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎…‎ f(x)‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎…‎ A．1 B．2‎ C．4 D．5‎ 解析：∵数列{xn}满足x0＝6，且对任意自然数n均有xn＋1＝f(xn)，∴利用表格可得x1＝f(x0)＝f(6)＝4，x2＝f(x1)＝f(4)＝2，x3＝f(x2)＝f(2)＝1，x4＝f(x3)＝f(1)＝5，x5＝f(x4)＝f(5)＝6，x6＝f(x5)＝f(6)＝4，…，∴xn＋5＝xn，∴x2 019＝x403×5＋4＝x4＝5.‎ ‎3．(2020·湖南长沙调研)数列{an}满足点(an，Sn)(n≥1)在直线y＝3x－2上，则{an}的前5项和为(　A　)‎ A． B． C． D．－ 解析：因为点(an，Sn)在直线y＝3x－2上，所以Sn＝3an－2，故Sn－1＝3an－1－2，所以当n≥2时，有an＝3an－3an－1，‎ 即an＝an－1.又a1＝1，‎ 故an≠0，所以＝，‎ 所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，‎ 所以S5＝＝2×＝.‎ 5‎ 故选A．‎ ‎4．(2020·兰州诊断)朱世杰是元代著名数学家，他所著《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中提到一些堆垛问题，如“三角垛果子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别为1,3,6,10，….现有一个“三角垛果子”，其最底层每边果子数为10，则该层果子数为(　B　)‎ A．50 B．55‎ C．100 D．110‎ 解析：由题意可知三角垛从上而下，每层果子数构成一个数列{an}，其中a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，可变形为a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，由此得数列{an}的通项为an＝，则a10＝＝55，故选B．‎ ‎5．(2020·江西名校联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＋2a2＝0，S3＝，且a≤Sn≤a＋2，则实数a的取值范围是(　B　)‎ A．[－1,0] B． C． D．[0,1]‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q.由a1＋2a2＝0，S3＝，得a1＝1，q＝－，所以Sn＝.当n＝1时，Sn取最大值1；当n＝2时，Sn取最小值.所以解得－1≤a≤，故选B．‎ ‎6．(2020·昆明模拟)数列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　A　)‎ A．S2 019＝F2 021－1 B．S2 019＝F2 021＋2‎ C．S2 019＝F2 020－1 D．S2 019＝F2 020＋2‎ 解析：根据题意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2 019＝F2 021－1.‎ ‎7．(2020·郑州预测)已知数列{an}满足2an＋1＋an＝3(n≥1)，且a3＝，其前n项和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|<的最小整数n是(　C　)‎ A．8 B．9‎ C．10 D．11‎ 解析：由2an＋1＋an＝3，得2(an＋1－1)＋(an－1)＝0，‎ 5‎ 即＝－，又a3＝，所以a3－1＝，‎ 代入上式，有a2－1＝－，a1－1＝9，‎ 所以数列{an－1}是首项为9，公比为－的等比数列．‎ 所以|Sn－n－6|＝|(a1－1)＋(a2－1)＋…＋(an－1)－6|＝＝<，又n∈N*，所以n的最小值为10.故选C．‎ 二、填空题 ‎8．(2020·昆明模拟)已知递增等比数列{an}满足a2＋a3＝6a1，则{an}的前三项依次是1,2,4(填首项为正数，公比为2的等比数列的前三项均可)．(填出满足条件的一组即可)‎ 解析：设{an}的公比为q，a2＋a3＝6a1⇒a1q＋a1q2＝6a1⇒q＋q2＝6⇒q＝－3或q＝2，又数列{an}单调递增，所以q＝2，所以只要填写首项为正数，公比为2的等比数列的前三项均可，如1,2,4.‎ ‎9．(2020·广东广州模拟)某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5 000元，则2019年一月该员工的月工资收入为13_795.16元．(结果保留两位小数，1.0715≈2.759 032)‎ 解析：由题可得该员工2004年至2019年的月工资收入构成首项a1＝5 000，公比q＝1.07的等比数列，所以2019年的月工资收入a16＝5 000×1.0715≈13 795.16(元)．‎ ‎10．(2020·洛阳联考)已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x－1)＋1，an＝g＋g＋g＋…＋g(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝2n－1.‎ 解析：因为f(x)＝，所以f(－x)＝＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．因为g(x)＝f(x－1)＋1，所以g(x)的图象关于点(1,1)对称，若x1＋x2＝2，则有g(x1)＋g(x2)＝2，所以an＝g＋g＋g＋…＋g＝2(n－1)＋g(1)＝2n－2＋f(0)＋1＝2n－1，即an＝2n－1，故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.‎ ‎11．(2020·济宁模拟)若数列{an}满足：只要ap＝aq(p，q∈N*)，必有ap＋1＝aq＋1，那么就称数列{an}具有性质P.已知数列{an}具有性质P，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a5＝2，a6＋a7＋a8＝21，则a2 020＝16.‎ 解析：根据题意，数列{an}具有性质P，且a2＝a5＝2，‎ 则有a3＝a6＝3，a4＝a7，a5＝a8＝2.‎ 由a6＋a7＋a8＝21，可得a3＋a4＋a5＝21，‎ 则a4＝21－3－2＝16，‎ 5‎ 进而分析可得a3＝a6＝a9＝…＝a3n＝3，a4＝a7＝a10＝…＝a3n＋1＝16，a5＝a8＝…＝a3n＋2＝2(n≥1)，则a2 020＝a3×673＋1＝16.‎ 三、解答题 ‎12．(2020·昆明诊断)已知数列{an}是等比数列，公比q<1，前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设m∈Z，若Sn0，所以Sn单调递增．‎ 又S3＝7，所以当n≥4时，Sn∈(7,8)．‎ 又Sn2 018成立的最小正整数n的值．‎ 解：(1)令n＝1得，a1－2a2＋a3＝0，解得a2＝5.‎ 又由an－2an＋1＋an＋2＝0知，an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1＝2，‎ 故数列{an}是首项a1＝3，公差d＝2的等差数列，‎ 于是an＝2n＋1，bn＝a2n－1＝2n＋1.‎ ‎(2)由(1)知，bn＝2n＋1.‎ 于是b1＋b2＋…＋bn＝(21＋22＋…＋2n)＋n＝＋n＝2n＋1＋n－2.‎ 令f(n)＝2n＋1＋n－2，易知f(n)是关于n的单调递增函数，‎ 又f(9)＝210＋9－2＝1 031，‎ f(10)＝211＋10－2＝2 056，‎ 故使b1＋b2＋…＋bn>2 018成立的最小正整数n的值是10.‎ 5‎