2019年高考数学练习题汇总高考模拟试卷(二)
高考模拟试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合P＝{x|x2≥9}，Q＝{x|x>2}，则P∩Q等于( )
A．{x|x≥3} B．{x|x>2}
C．{x|2
2}，
∴P∩Q＝{x|x≥3}．故选A.
2．设数列{an}的通项公式为an＝kn＋2(n∈N*)，则“k>2”是“数列{an}为单调递增数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当k>2时，an＋1－an＝k>2，则数列{an}为单调递增数列；若数列{an}为单调递增数列，则只需an＋1－an＝k>0即可，所以“k>2”是“数列{an}为单调递增数列”的充分不必要条件．故选A.
3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由三视图易知该几何体为三棱锥．
该几何体的体积V＝××＝(cm3)．故选B.
4．已知y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 ∵y＝f(x)＋x是偶函数，∴f(x)＋x＝f(－x)－x，
当x＝2时，f(2)＋2＝f(－2)－2，又f(2)＝1.
∴f(－2)＝5.故选D.
5．等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5等于( )
A．45 B．42 C．21 D．84
答案 A
解析 由题意得，a1＋a2＋a3＝3a2＝21，a2＝7，故d＝a2－a1＝4，
a3＋a4＋a5＝(a1＋a2＋a3)＋6d＝21＋24＝45.故选A.
6．由函数y＝cos 2x的图象，变换得到函数y＝cos的图象，这个变换可以是( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
答案 B
解析 由函数y＝cos 2x的图象，变换得到函数y＝cos＝cos的图象，只需将y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．故选B.
7．若不等式组表示一个三角形内部的区域，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 x＋y>a表示直线的右上方，若构成三角形，点A在x＋y＝a的右上方即可．
又A，所以＋>a，即a<.故选C.
8．若|a|＝|b|＝|c|＝2，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的取值范围是( )
A．[0,2＋2] B．[0,2]
C．[2－2,2＋2] D．[2－2,2]
答案 D
解析 如图所示，＝a，＝b，＝c，＝a＋b.
∵(a－c)·(b－c)≤0，∴点C在劣弧AB上运动，
|a＋b－c|表示C，D两点间的距离|CD|.
|CD|的最大值是|BD|＝2，|CD|的最小值为|OD|－2＝2－2.
故选D.
9．已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝45°，则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为( )
A. B. C．1 D.
答案 B
解析 设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，由椭圆、双曲线的对称性，不妨设|PF1|>|PF2|，则根据椭圆及双曲线的定义知，
|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，
∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，
设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝45°，
则在△PF1F2中，由余弦定理得，
4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos 45°，
化简得，(2－)a＋(2＋)a＝4c2，
即＋＝4，
又∵＋≥＝ ，
∴≤4，即e1·e2≥，
即椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为.
故选B.
10．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为( )
A．2 B．1 C. D.
答案 C
解析 ∵球心在面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，
∴∠BAC＝90°，底面外接圆圆心N位于BC的中点处，△A1B1C1外心M在B1C1中点上，
设正方形BCC1B1的边长为x，在Rt△OMC1中，OM＝，MC1＝，OC1＝R＝1，
∴2＋2＝1，
即x＝，则AB＝AC＝1，
∴＝×1＝.
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)
11．若复数z＝4＋3i，其中i是虚数单位，则|z|＝________；z2＝________.
答案 5 7＋24i
解析 ∵复数z＝4＋3i，∴|z|＝＝5，z2＝(4＋3i)2＝16＋24i－9＝7＋24i.
12．一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是________；若X表示摸出黑球的个数，则E(X)＝________.
答案
解析 从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是
P＝＝＝；
X可取0,1,2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
13．若n的展开式各项系数之和为64，则n＝________；展开式中的常数项为________．
答案 6 －540
解析 令x＝1，易得2n＝64，n＝6；
通项公式为Tk＋1＝C(3)6－kk＝C(－1)k36－kx3－k，
令k＝3，得常数项为C(－1)336－3x3－3＝－C33＝－540.
14．若正实数m，n满足2m＋n＋6＝mn，则mn的最小值是________．
答案 18
解析 因为正实数m，n满足2m＋n＋6＝mn，
则2＋6≤2m＋n＋6＝mn，
即2＋6≤mn，令＝t(t>0)，
则2t＋6≤，即t2－4t－12≥0，解得t≤－2(舍)或t≥6.
即≥6，mn≥18，∴mn的最小值是18.
15．当1≤x≤3时，|3a＋2b|－|a－2b|≤|a|·对任意实数a，b都成立，则实数m的取值范围是________．
答案
解析 当a＝0时，不等式显然成立；
当a≠0时，－≤x＋＋1，
而－≤＝4，
∴x＋＋1≥4，即m≥3x－x2，其中x∈[1,3]
当1≤x≤3时，3x－x2≤3×－＝，∴m≥，
故实数m的取值范围是.
16．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，A＝60°，＝m＋，则||的最小值为________，若⊥，则m＝________.
答案
解析 因为＝m＋，
所以||2＝m2||2＋||2＋2m·＝9m2＋4＋2m||||·cos 60°
＝9m2＋6m＋4＝92＋3.
当m＝－时，||2取得最小值3，
所以||的最小值为.
在△ABC中，AB＝3，AC＝2，A＝60°，
所以BC2＝4＋9－2×2×3cos 60°＝7，
所以BC＝，所以cos B＝＝，cos C＝＝ .
因为⊥，所以·＝0，
所以(m＋)·＝0，
所以m·＋·＝0，
所以m||||cos(π－B)＋||||cos C＝0，
所以－3mcos B＋2cos C＝0，
所以m＝＝××＝.
17．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若存在实数a∈[1,2]，对任意x∈[1,2]，都有f(x)≤1，则7b＋5c的最大值是________．
答案 －6
解析 由对任意x∈[1,2]，
都有f(x)≤1得f(x)max≤1，x∈[1,2]，由二次函数的性质易得f(x)max＝max{f(1)，f(2)}，
所以
存在a∈[1,2]使上述不等式组成立，所以即在平面直角坐标系内画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界)，由图易得当目标函数z＝7b＋5c经过平面区域内的点(－3,3)时，z＝7b＋5c取得最大值zmax＝7×(－3)＋5×3＝－6，所以7b＋5c的最大值为－6.
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
18．(14分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.
(1)求角A的值；
(2)若a＝2，求b＋c的取值范围．
解 (1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，
即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝(－2舍去)．
∵02，∴2e－1成立？
解 (1)当a＝1时，f(x)＝x－ln x，f′(x)＝1－，
∴曲线y＝f(x)在点处的切线的斜率为f′＝1－＝－1.
所求切线方程为y－＝－，
即x＋y－ln 2－1＝0.
(2)成立．理由如下：
假设当a<1时，在内存在一实数x0，
使f(x0)>e－1成立，
则只需证明当x∈时，f(x)max>e－1即可．
f′(x)＝1＋－＝＝(x>0)，
令f′(x)＝0得x1＝1，x2＝a－1，当a<1时，a－1<0，
当x∈时，f′(x)<0；当x∈(1，e)时，f′(x)>0.
则函数f(x)在上单凋递减，在[1，e]上单调递增，
∴f(x)max＝max.
于是，只需证明f(e)>e－1或f >e－1即可，
∵f(e)－(e－1)＝e－－a－(e－1)＝>0，
∴f(e)>e－1成立，
∴假设正确，即当a<1时，在内存在一实数x0，使f(x0)>e－1成立．
20．(15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，E为CD的中点，∠ABC＝60°.
(1)求证：直线AE⊥平面PAB；
(2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．
(1)证明 ∵∠ADE＝∠ABC＝60°，
ED＝1，AD＝2，∴AE⊥CD，
又∵AB∥CD，∴AE⊥AB，
又∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
∴PA⊥AE，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
∴直线AE⊥平面PAB.
(2)解 方法一 过A点作AH⊥PE于H点．
∵CD⊥EA，CD⊥PA，EA∩PA＝A，EA，PA⊂平面PAE，
∴CD⊥平面PAE，又AH⊂平面PAE，∴CD⊥AH，
又∵AH⊥PE，PE∩CD＝E，PE，CD⊂平面PCD，
∴AH⊥平面PCD，
∴∠AEP为直线AE与平面PCD所成的角，
在Rt△PAE中，PA＝2，AE＝，
∴sin∠AEP＝＝＝.
∴直线AE与平面PCD所成角的正弦值为.
方法二 建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
P(0,0,2)，E(0，，0)，C(1，，0)，D(－1，，0)．
＝(0，，0)，＝(1，，－2)，＝(2,0,0)，
设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，解得n＝，
cos〈·n〉＝＝.
∴直线AE与平面PCD所成角的正弦值为.
21．(15分)如图，已知抛物线x2＝y，过直线l：y＝－上任一点M作抛物线的两条切线MA，MB，切点分别为A，B.
(1)求证：MA⊥MB；
(2)求△MAB面积的最小值．
(1)证明 设M ，显然MA，MB的斜率均存在，
设MA，MB的斜率分别为k1，k2.
过点M的切线方程为y＋＝k(x－x0)，
由
得x2－kx＋kx0＋＝0，
Δ＝k2－4kx0－1＝0，
所以k1k2＝－1，所以MA⊥MB.
(2)解 由(1)可设A，B，
k1k2＝－1，k1＋k2＝4x0，
|MA|＝|y1－y2|＝＝，
同理，|MB|＝，
所以S△MAB＝|MA|·|MB|＝×＝
＝＝≥＝(x0＝0时，等号成立)．
综上，△MAB面积的最小值为.
22.(15分)已知正项数列{an}满足S＝a＋a＋…＋a(n∈N*)，其中Sn为数列{an}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：＜＋＋＋…＋＜3.
(1)解 ∵S＝a＋a＋…＋a(n∈N*)，
∴S＝a＋a＋…＋a(n≥2)，
两式相减得S－S＝a，
∴an(Sn＋Sn－1)＝a，
∴Sn＋Sn－1＝a，
则Sn－1＋Sn－2＝a(n≥3)，
两式相减得an＋an－1＝a－a，
得an－an－1＝1(n≥3)，
又S＝a，∴a1＝1，
∵S＝a＋a，
∴a2＝2，∴a2－a1＝1，∴an＝n.
(2)证明 根据(1)知＝ .
∵k(2n＋2－k)≤2＝(n＋1)2，
∴＋＞≥，
即＋＞2，
令k＝1,2,3，…，n，累加后再加，得＋＋＋…＋
＞2＋2＋2＋…＋2＋
＝(2n＋1)＝.
又∵＋＋＋…＋＜3⇔
＋＋…＋＜2，
而＝＜＝
＝＜＝2.
令k＝2,3,4，…，2n＋1，累加得
＋＋…＋
＜2＋2＋…＋2＝2＜2，
∴＜＋＋＋…＋＜3.
