高二数学上学期第三次月考试题 理（含解析）

高二数学上学期第三次月考试题 理（含解析）

‎【2019最新】精选高二数学上学期第三次月考试题 理（含解析）‎ 高二数学（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.1.“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由“直线与平面内无数条直线都垂直”不能得到“直线与平面垂直”，反之，由“直线与平面垂直”可得到“直线与平面内无数条直线都垂直”，所以“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的必要非充分条件 考点：充分条件与必要条件 ‎2.2.若命题“∃x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为（ ）‎ A. 1≤a≤3 B. －1≤a≤3 C. －3≤a≤3 D. －1≤a≤1‎ ‎【答案】B 15 / 15‎ ‎【解析】‎ 由命题“，使”是假命题，得无解，即恒成立，则，解得；故选B.‎ ‎3. 如图程序框图输出的结果为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 故选A．‎ 考点：循环结构，裂项求和 ‎4.4.设函数在定义域内可导，的图象如图，则导函数的图象可能为 （ ）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由f（x）的图象判断出f（x）在区间（-∞，0）上递增；在（0，+∞）上先增再减再增，∴在区间（-∞，0）上f′（x）＞0，在（0，+∞）上先有f′（x）＞0再有f′（x）＜0再有f′（x）＞0‎ 考点：函数的单调性与导数的关系 ‎5.5.有下列四个命题：①“若，则互为倒数”的逆命题；‎ ‎②“相似三角形的周长相等”的否命题；‎ ‎③“若，则方程有实根”的逆否命题；‎ 15 / 15‎ ‎④“若，则”的逆否命题.‎ 其中真命题是（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎“若，则互为倒数”的逆命题“若互为倒数，则”是真命题，即①正确；“相似三角形的周长相等”的否命题“两三角形不相似，则三角形的周长不相等”是假命题，即②错误；若，则，即方程有实根，即“若，则方程有实根”是真命题，其逆否命题为真命题，即③正确；若，则，即“若，则”及其逆否命题都为假命题，即④错误；故选C.‎ ‎6.6.如右图在一个二面角的棱上有两个点，，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，则这个二面角的度数为( )‎ A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 过点作且，连接，则，即为二面角的平面角，由题意，得，由余弦定理，得，则，即这个二面角的度数为；故选B.‎ 15 / 15‎ ‎7.7.如图是某次拉丁舞比赛七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1、a2，则a1、a2的大小关系是（ ）‎ A. a1＝a2 B. a1>a2 C. a2>a1 D. 无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由茎叶图，得甲、乙两名选手得分的平均数分别为，，即；故选C.‎ ‎8.8.曲线上的点到直线的最短距离是（ ）‎ A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：∵曲线y=ln（2x-1），‎ ‎∴y′=，分析知直线2x-y+8=0与曲线y=ln（2x-1）相切的点到直线2x-y+8=0的距离最短，‎ y′═=2，解得x=1，把x=1代入y=ln（2x-1），‎ ‎∴y=0，∴点（1，0）到直线2x-y+8=0的距离最短，‎ ‎∴d=，‎ 故答案为B．.‎ 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离．.‎ 15 / 15‎ ‎9.9.如图，圆C内切于扇形，，若在扇形内任取一点，则该点在圆C内的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设圆的半径为，连接并延长交于点，作，因为圆内切于扇形，且，所以，由几何概型的概率公式，得在扇形内任取一点，则该点在圆内的概率为；故选D.‎ ‎10.10.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是（ ）‎ A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎11.11.若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点，为坐标原点，的面积为，则该双曲线的离心率（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为，所以，设，则，‎ 所以，设过点作渐近线的垂线，‎ 15 / 15‎ 分别交于点，则，‎ 所以，即，‎ 则该双曲线的离心率为；故选A.‎ 点睛：解决本题的关键是正确作出图形确定的形状（尤其是顶点的位置：是在第二象限，还是在第四象限，如判断错误，将大大增加运算量，且劳而无功），而往往是学生容易忽视的条件.‎ ‎12.12.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 显然，0不是的零点，令，则，则函数存在唯一零点，且等价于函数和的图象有唯一交点，且交点在轴右侧，因为，所以函数在单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值2，又因为函数为奇函数，所以函数的图象所图所示，由图象，得函数和的图象有唯一交点，且交点在轴右侧，则，即函数存在唯一零点，且，则；故选C.‎ 点睛：本题利用分离参数法将含参数的函数的零点问题转化为两个函数和的图象交点问题，这是处理含参数问题的常见方法，也较好地避免了分类讨论，减小了计算量.‎ 15 / 15‎ 二、填空题（每小题5分，共20分，把正确的答案写在题中横线上．）‎ ‎13.13.已知点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P满足的方程___‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：：∵动点P到点（3，0）的距离比它到直线x=-2的距离大1，‎ ‎∴将直线x=-2向左平移1个单位，得到直线x=-3，‎ 可得点P到点（3，0）的距离等于它到直线x=-3的距离．‎ 因此，点P的轨迹是以（3，0）为焦点、x=-3为准线的抛物线，‎ 设抛物线的方程为（p＞0），可得，得2p=12‎ ‎∴抛物线的方程为，即为点P的轨迹方程 考点：抛物线的标准方程 ‎14.14.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是___‎ ‎【答案】(－1,0]‎ ‎【解析】‎ ‎，令，得，即函数的单调递增区间为，又因为函数在区间上单调递增，所以，解得；故填.‎ 点睛：已知函数在所给区间上单调递增，求有关参数的取值范围，往往采用以下两种方法：‎ 15 / 15‎ ‎①求出函数的单调递增区间，通过所给区间是该函数的单调递增区间的子集进行求解；‎ ‎②将问题转化为在所给区间上恒成立进行求解.‎ ‎15.15.从集合中任意取出两个不同的数记作，则方程表示焦点在轴上的双曲线的概率是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 从集合中任意取出两个不同的数记作，共有个基本事件，其中满足方程表示焦点在轴上的双曲线，即的基本事件有3个，由古典概型的概率公式，得方程表示焦点在轴上的双曲线的概率是；故填.‎ ‎16.16.设，若函数，有大于零的极值点，则的取值范围是__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 令，则，‎ 所以，，所以，所以。‎ 三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字、过程和步骤）‎ ‎17.17.已知椭圆的顶点与双曲线的焦点重合，它们的离心率之和为，若椭圆的焦点在轴上，求椭圆的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 15 / 15‎ 试题分析：由双曲线方程可求得其焦点和离心率，进而可求得椭圆的顶点或椭圆的离心率，从而求得椭圆中的的值，得到椭圆方程 试题解析：设所求椭圆方程为，其离心率为，焦距为2，双曲线的焦距为2，离心率为，则有：‎ ‎，＝4‎ ‎∴‎ ‎∴，即①‎ 又＝4 ②‎ ‎③‎ 由①、 ②、③可得 ‎∴ 所求椭圆方程为 考点：椭圆双曲线方程及性质 ‎18.18.如图（1），等腰直角三角形的底边，点在线段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2））‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，直线与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）要证，只要证平面即可，由已知可证，可证平面；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标，设，写出相应点的坐标，求出平面的法向量，由，解方程求出的值即可.‎ 15 / 15‎ 试题解析： （1）.‎ 又平面.‎ 平面，.‎ ‎（2）由（1）知，且，所以两两垂直.分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.‎ 设，则，，，，可得 ‎.‎ 设平面的法向量为，则，‎ 所以，取.‎ 直线与平面所成的角为,且，‎ ‎.‎ 解之得，或（舍去）.‎ 所以的长为.‎ 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.‎ 15 / 15‎ ‎【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质与空间向量的应用，中档题.利用空间向量求空间角的常见类型及策略为：1.求直线与直线所成的角：求出两直线的方向向量，设两直线的夹角为，则；2.求直线和平面所成的角：求出直线的方向向量与平面的法向量，则；3.求两个平面所成的角：求出两个平面的法向量，通过法向量的夹角求两个平面的法向量即可，但要注意结合图形判断二面角的大小是锐角还是钝角；或分别在两个平面内找到与棱垂直的且以垂足出发的向量，则这两个向量的大小就是二面角的大小.‎ ‎19.19.为了解某校高三毕业生报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图，已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12.‎ ‎（Ⅰ）求该校报考体育专业学生的总人数；‎ ‎（Ⅱ）已知A，是该校报考体育专业的两名学生，A的体重小于55千克，的体重不小于70千克，现从该校报考体育专业的学生中按分层抽样分别抽取体重小于55千克和不小于70千克的学生共6名，然后再从这6人中抽取体重小于55千克学生1人，体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组，求A不在训练组且在训练组的概率.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用频率分布直方图的实际意义进行求解；（Ⅱ）列出所有基本事件，找出满足条件的基本事件，利用古典概型的概率公式进行求解.‎ 试题解析：（1）设该校报考体育专业的人数为n，前三小组的频率为，则由题意可得，.又因为，故.‎ 15 / 15‎ ‎（2）由题意，报考体育专业的学生中，体重小于55千克的人数为，记他们分别为体重不小于70千克的人数为，记他们分别为，从体重小于55千克的6人中抽取1人，体重不小于70千克的3人中抽取2人组成3人训练组，所有可能结果有：(A,a,b)，(A,a,c)，(A,b,c)，(B,a,b)，(B,a,c)，(B,b,c)，(C,a,b)，(C,a,c)，(C,b,c)，(D,a,b)，(D,a,c)，(D,b,c)，(E,a,b)，(E,a,c)，(E,b,c)，(F,a,b)，(F,a,c)，(F,b,c)，共18种；‎ 其中A不在训练组且a在训练组的结果有(B,a,b)，(B,a,c)，(C,a,b)，(C,a,c)，(D,a,b)，(D,a,c)，(E,a,b)，(E,a,c)，(F,a,b)，(F,a,c)，共10种.‎ 故概率为 ‎20.20.已知函数，其中为常数.‎ ‎（Ⅰ）若对任意恒成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当>1时，判断在上零点的个数，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）在上有两个零点 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求导，通过导函数的符号变换研究函数的单调区间、极值和最小值，再利用最小值非负进行求解；（Ⅱ）利用函数的单调性和零点存在定理进行判定.‎ 试题解析：（1）由题意可知在R上连续，且，令得 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增；‎ 15 / 15‎ 故时，为极小值也是最小值.令.‎ 即对任意恒成立时，的取值范围是.‎ ‎（2）当时，.‎ 且在上单调递减，‎ 在上有一个零点.‎ 又，令，当时，，‎ 在上单调递增.‎ ‎，即.‎ 在上有一个零点.‎ 故在上有两个零点.‎ 点睛：在利用导数研究函数的零点个数问题时，往往是先利用导数的符号变化研究函数的单调性和极值，再通过函数的极大值、极小值的符号判定函数零点的个数问题.‎ ‎21.21.在平面直角坐标系中，动点到两点的距离之和等于4，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出的面积的最大值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）的最大值为 ‎【解析】‎ 15 / 15‎ 试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义进行求解；（Ⅱ）设出直线方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、三角形的面积公式得到表达式，再利用换元思想和函数的单调性进行求解.‎ 试题解析：（1）由椭圆定义知，点的轨迹是以为焦点，长半轴长为2的椭圆.故曲线的方程为.‎ ‎（2）存在面积的最大值 因为直线过，可设直线的方程为.‎ 则 整理得 由 设 解得 则 设 则在区间上为增函数 所以 所以当且仅当时取等号 所以的最大值为 ‎22.22.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）判断的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若在上的最小值为2，求的值.‎ 15 / 15‎ ‎【答案】（1）当时,在上是增函数;当时,在上是减函数,在上是增函数（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求导，讨论的符号，研究导函数的符号变换，进而研究函数的单调性；（Ⅱ）结合（1）的单调性，通过讨论参数和所给区间的关系进一步研究函数在所给区间上的最值.‎ 试题解析：(1)由题意得的定义域为,.‎ ‎①当时,,故在上为增函数;‎ ‎②当时,由得;由得;由得;‎ ‎∴在上为减函数;在上为增函数.‎ 所以,当时,在上是增函数;当时,在上是减函数,在上是增函数.‎ ‎(2)∵,.由(1)可知:‎ ‎①当时,在上为增函数,,得,矛盾!‎ ‎②当时,即时,在上也是增函数,‎ ‎,∴(舍去).‎ ‎③当时,即时,在上是减函数,在上是增函数,‎ ‎∴,得(舍去).‎ ‎④当时,即时,在上是减函数,有,‎ ‎∴.‎ 综上可知:.‎ 15 / 15‎