高中数学人教a版选修4-1同步辅导与检测：3_3平面与圆锥面的截线

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三　平面与圆锥面的截线 1 ．理解圆锥面的概念． 2 ．了解圆锥面被平面截得的圆锥曲线的各种情况． 1 ． 如图 1 ， AD 是等腰三角形底边 BC 上的高，∠ BAD ＝ α , 直线 l 与 AD 相交于点 P ，且与 AD 的夹角为 β ，则： (1)________ ， l 与 AB ( 或 AB 的延长线 ) 、 AC 相交． (2)________ ， l 与 AB 不相交． (3)________ ， l 与 BA 的延长线、 AC 都相交． 2 ．在空间中，取直线 l 为轴，直线 l ′ 与 l 相交于点 O ，夹角为 α ， l ′ 围绕 l 旋转得到以 O 为顶点． l ′ 为母线的圆锥面．任取平面 π ，若它与轴 l 的交角为 β ( 当 π 与 l 平行时，记 β ＝ 0) ，则 (1)________ ，平面 π 与圆锥的交线为椭圆． (2)________ ，平面 π 与圆锥的交线为抛物线． (3)________ ，平面 π 与圆锥的交线为双曲线． 1 ． (1) β ＞ α 　 (2) β ＝ α 　 (3) β ＜ α 2 ． (1) β ＞ α 　 (2) β ＝ α 　 (3) β ＜ α 研究圆锥的截线，说明双曲线为 β ＜ α 时，平面 π 与圆锥的交线． 解析： 当 β ＜ α 时，平面 π 与圆锥的两部分相交．在圆锥的两部分分别嵌入 Dandelin 球，与平面 π 的两个切点分别是 F 1 、 F 2 ，与圆锥两部分截得的圆分别为 S 1 、 S 2 . 在截口上任取一点 P ，连接 PF 1 、 PF 2 . 过点 P 和圆锥的顶点 O 作母线，分别与两个球相切于点 Q 1 、 Q 2 ，则 PF 1 ＝ PQ 1 ， PF 2 ＝ PQ 2 ，所以 | PF 1 － PF 2 | ＝ | PQ 1 － PQ 2 | ＝ Q 1 Q 2 . 由于 Q 1 Q 2 为两圆 S 1 、 S 2 所在平行平面之间的母线段长，因此 Q 1 Q 2 的长为定值． 由上述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一点到两个定点 ( 即双曲线的两个焦点 ) 的距离之差的绝对值为常数． 如图所示，平面 ABC 是圆锥面的正截面， PAB 是圆锥的轴截面，已知∠ APC ＝ 60° ，∠ BPC ＝ 90° ， PA ＝ 4. (1) 求二面角 A － PC － B 的余弦值． (2) 求正截面圆圆心 O 到平面 PAC 的距离． 已知，圆锥侧面展开图扇形的中心角为 π ， AB 、 CD 是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过 CD 和母线 VB 的中点 E 作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线． 1 ．圆锥的顶角为 60° ，截面与母线所成的角为 60° ，则截面所截得的截线是 ( 　　 ) A ．圆　　　　　　　　　　 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 2 ．圆锥的顶角为 50° ，圆锥的截面与轴线所成的角为 30° ，则截线是 ( 　　 ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 A B C 4 ．用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则会出现四种情况： ________ 、 ________ 、 ________ 和 ________ ． 5 ．用平面截球面和圆柱面所产生的截线形状分别是 ______ 、 ________. 4 ．圆　椭圆　抛物线　双曲线 5 ．圆　圆或椭圆 6 ．已知一圆锥面 S 的轴线为 Sx ，轴线与母线的夹角为 30° ，在轴上取一点 O ，使 SO ＝ 3 cm ，球 O 与这个锥面相切，求球 O 的半径和切圆的半径． 7 ．已知圆锥面 S ，其母线与轴线所成的角为 30° ，在轴线上取一点 C ，使 SC ＝ 5 ，通过点 C 作一截面 δ 使它与轴线所成的角为 45° ，截出的圆锥曲线是什么样的图形？求它的离心率及圆锥曲线上任一点到两个焦点的距离之和． 8. 顶角为 90° 的圆锥面中，有一个半径为 2 的内切球，以该球为 Dandelin 球作一个截面，截线为抛物线，建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的方程 . 解析：如图是几何体的轴截面，其中点 P 为抛物线的顶点，点 Q 为抛物线的焦点，以 PQ 所在直线为 x 轴， P 为坐标原点建立平面直角坐标系 . 9 ．顶角为 60° 的圆锥面中有一个半径为 2 的内切球，以该球为焦球作一截面，使截线为抛物线，求该抛物线的顶点到焦点的距离 和截面与轴的交点到圆锥顶点的距离． 解析： 如图所示是圆锥的截面的轴面，其中 P 为抛物线的顶点， Q 为抛物线的焦点， M 为截面与轴的交点． 设 A 、 B 为球与圆锥的母线的切点． 10 ．已知圆锥面 S ，母线与轴线所成的角为 45° ，在轴线上取一点 C ，使 SC ＝ 5 ，过点 C 作一平面与轴线的夹角等于 30° ，所截得的曲线是什么样的图形？求两个焦球的半径． 1 ． 圆锥面 锥面：设空间有一条定曲线 Σ 和不在 Σ 上的一定点 A ，动点 P 在 Σ 上运动时，直线 AP 上的点的轨迹，叫做以 A 为顶点．以 Σ 为准线的锥面，每条直线 AP 都叫做此锥面的母线． 如甲图所示，为一锥面，其中曲线 Σ 为锥面的准线，定点 A 为锥面的顶点， 准线上任一点 P 与点 A 的连线都是锥面的 母线． 圆锥面：若锥面的准线为一圆，锥 面的顶点在过圆心且垂直于圆所在平面的 直线上，则此锥面叫做圆锥面． 过圆锥面的顶点和它的准线圆的圆心的直线，叫做此圆锥面的轴线． 如乙图所示，为一圆锥面，其准线为⊙ O ，顶点为 A ，过点 A 和点 O 的直线是圆锥面的轴线，且圆锥面上只存在母线的直线，直线 l 垂直于⊙ O 所在的平面，由旋转面和圆锥面的关系知：圆锥面可以看作是两条相交直线，其中一条直线 a 绕另一条直线 l 旋转而得到，于是也可将圆锥面定义为： 一条直线绕着与它相交成定角 θ 的另一条 直线旋转一周，形成的曲面叫做圆锥面，这条直线叫做圆锥面的母线．另一条直线叫做圆锥面的轴． 性质 1 ：圆锥面的轴线和每一条母线的夹角相等；轴线上任一点到每条母线的距离相等． 如丙图所示，设⊙ O 为圆锥面的准线， B 、 C 是⊙ O 上任两点，则 AB 、 AC 为圆锥面 的母线，由 OB ＝ OC ， OA ＝ OA ， ∴ Rt△ AOB ≌Rt△ AOC ， ∴∠ OAB ＝∠ OAC ，即轴线与每一条母 线的夹角相等． 又设 M 为轴线 l 上任一点， MN ⊥ AB 于点 N ，∠ OAB ＝ α ，则 MN ＝ AM sin α . 故点 M 到每一条母线的距离为定值． 2 ．垂直截面 轴截面：经过圆锥面的轴的平面叫做圆锥面的轴截面． 与轴截面相交的两条母线的夹角叫做圆锥面的顶角．轴与母线的夹角叫做圆锥面的半顶角． 如果一平面垂直于圆锥面的轴线，那么这个平面叫做圆锥面的正截面． 性质 2 ：圆锥面的顶点到正截面之间所截的母线上的线段相等；正截面截圆锥的截线是圆，其半径等于 d tan α ，这里 d 是圆锥面的顶点到正截面的距离， α 是圆锥面的半顶角． 3 ．一般截面 若平面 π 不和圆锥面的轴线垂直，称 π 为圆锥面的斜截面，过轴线并垂直于 π 的平面叫做 π 的轴面． 性质 3 ：圆锥面的斜截面的轴面，垂直于它和正截面的交线． 感谢您的使用，退出请按 ESC 键 本小节结束