高考数学复习中档解答题规范训练(一)
中档解答题规范训练(一)
三角函数及解三角形
(建议用时:60分钟)
1.(2014·惠州模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式,并写出f(x)的单调减区间.
(2)△ABC的内角分别是A,B,C.若f(A)=1,cosB=,求sinC的值.
【解析】(1)由图象最高点得A=1,
由T=-=π,所以T=π=,所以ω=2.
当x=时,f(x)=1,可得sin=1,
因为|φ|<,所以φ=.
所以f(x)=sin.
由图象可得f(x)的单调减区间为,k∈Z.
(2)由(1)可知,f(A)=sin=1,
因为0
0)的最大值为2.
(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间.
(2)△ABC中,f+f=4sinAsinB,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且C=60°,c=3,求△ABC的面积.
【解析】(1)由题意,f(x)的最大值为,
所以=2.
而m>0,于是m=,f(x)=2sin.
2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),
即2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).
所以f(x)在[0,π]上的单调递减区间为.
(2)设△ABC的外接圆半径为R,由题意,得2R===2.
化简f+f=4sinAsinB,
得sinA+sinB=2sinAsinB.
由正弦定理,得2R(a+b)=2ab,a+b=ab. ①
由余弦定理,得a2+b2-ab=9,
即(a+b)2-3ab-9=0. ②
将①式代入②,得2(ab)2-3ab-9=0.
解得ab=3或ab=-(舍去).
S△ABC=absinC=.
5.(2014·长沙模拟)已知A,B分别在射线CM,CN(不含端点C)上运动,∠MCN=π,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.
(1)若a,b,c依次成等差数列,且公差为2.求c的值.
(2)若c=,∠ABC=θ,试用θ表示△ABC的周长,并求周长的最大值.
【解析】(1)因为a,b,c成等差数列,且公差为2,
所以a=c-4,b=c-2.
又因为∠MCN=π,cosC=-,
所以=-,
所以=-,
恒等变形得c2-9c+14=0,
解得c=7或c=2.
又因为c>4,所以c=7.
(2)在△ABC中,==,
所以===2,AC=2sinθ,
BC=2sin.
所以△ABC的周长f(θ)=AC+BC+AB=2sinθ+2sin+
=2+=2sin+,
又因为θ∈,所以<θ+<,
所以当θ+=,
即θ=时,f(θ)取得最大值2+.
6.(2014·广州模拟)已知m=(cosωx+sinωx,cosωx),n=(cosωx-
sinωx,2sinωx),其中ω>0,若函数f(x)=m·n,且f(x)的对称中心到f(x)
对称轴的最近距离不小于.
(1)求ω的取值范围.
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且a=1,b+c=2,当ω取最大值时,f(A)=1,求△ABC的面积.
【解析】(1)f(x)=m·n=cos2ωx-sin2ωx+2sinωx·cosωx=cos2ωx+
sin2ωx=2sin,
因为ω>0,所以函数f(x)的周期T==.
由题意知≥,即≥1,
又ω>0,所以0<ω≤1.
故ω的取值范围是{ω|0<ω≤1}.
(2)由(1)知ω的最大值为1,
所以f(x)=2sin.
因为f(A)=1,所以sin=.
而<2A+<π,
所以2A+=π,所以A=.
由余弦定理可知:cosA==,
所以b2+c2-bc=1,又b+c=2,
联立解得:
所以S△ABC=bc·sinA=.
【加固训练】(2014·济南模拟)若向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,-cosx),函数f(x)=a·b+m(x∈R)的图象过点M.
(1)求函数f(x)的单调递增区间.
(2)将函数f(x)的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,然后将得到的图象上的各点向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象.若当x=n时,g(x)取得最大值,求正实数n的最小值.
【解析】(1)由题意知f(x)=sinxcosx-cos2x+m
=sin2x-(1+cos2x)+m
=sin+m-.
因为点M在函数f(x)的图象上,
所以sin+m-=0,
解得m=,所以f(x)=sin.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+] (k∈Z).
(2)将f(x)的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到y=sin的图象,然后向左平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象,所以g(x)=sin.
因为当x=n时,g(x)取得最大值,
所以n+=2kπ+(k∈Z),
故正实数n的最小值为.
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