2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（九）

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（九）

‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（九）‎ ‎17．设数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）由······①，‎ ‎······②，‎ ‎①－②得，∴，‎ 又当时，，即，（符合题意）‎ ‎∴是首项为1，公比为3的等比数列，∴．‎ ‎（2）由（1）得：，∴······③，‎ ‎······④，‎ ‎③－④得：‎ ‎∴．‎ ‎18．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次（指针停在任一位置的可能性相等），并获得相应金额的返券．若指针停在区域返券60元；停在区域返券30元；停在 区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．‎ ‎（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；‎ ‎（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元）．求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】设指针落在区域分别记为事件．则，，，‎ ‎（1）消费128元的顾客，只能转一次，若返券金额不低于30元，则指针落在或区域，其概率，‎ 即消费128元顾客返券金额不低于30元概率是．‎ ‎（2）该顾客可转动转盘2次．随机变量的可能值为0，30，60，90，120．‎ ‎；；；‎ ‎；；‎ 所以，随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎30‎ ‎60‎ ‎90‎ ‎120‎ 其数学期望．‎ ‎19．在四棱锥中，底面为平行四边形，‎ ‎，点在底面内的射影在线段上，且，，为的中点，在线段上，且．‎ ‎（1）当时，证明：平面平面；‎ ‎（2）当平面与平面所成二面角的正弦值为时，求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明：连接，作交于点，则四边形为平行四边形，‎ ‎，在中，，，，由余弦定理得．‎ 所以，从而有．‎ 在中，分别是的中点，则，，‎ 因为，所以．‎ 由平面，平面，得，‎ 又，，得平面，‎ 又平面，所以平面平面．‎ ‎（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，‎ ‎，．‎ 平面的一个法向量为．设平面的法向量为，‎ 由，，得，令，得．‎ 由题意可得，，‎ 解得，所以四棱锥的体积．‎ ‎20．已知点在圆上，而为在轴上的投影，且点满足，设动点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若，是曲线上两点，且，为坐标原点，求的面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）设，∴，∵轴，所以，‎ 又设，由有代入有．‎ 即曲线的方程为．‎ ‎（2）设，，直线方程为：，‎ 联立得，‎ 故，，‎ 由，得，‎ 故原点到直线的距离，∴，令，‎ 则，又∵，‎ 当时，．‎ 当斜率不存在时，不存在，综合上述可得面积的最大值为1．‎ ‎21．设函数．‎ ‎（1）研究函数的极值点；‎ ‎（2）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围；‎ ‎（3）证明：．‎ ‎【答案】（1）∵，∴的定义域为，‎ ‎，‎ 当时，，在上无极值点，‎ 当时，令，∴，随的变化情况如下表：‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 从上表可以看出：当时有唯一的极大值点；‎ ‎（2）当时在处取得极大值也是最大值，要使恒成立，‎ 只需，∴，即的取值范围为；‎ ‎（3）令，由（2）知，，∴，∵，‎ ‎∴，∴，‎ ‎，∴结论成立．‎