数学卷2018届浙江省萧山第三高级中学高二第一学期期中试卷（2016-11）

数学卷2018届浙江省萧山第三高级中学高二第一学期期中试卷（2016-11）

杭州市萧山第三高级中学高二年级第一学期期中考试试题卷 学科： 数学 满分： 150 分 考试时间： 120 分 考生须知：1、本卷共 4 页； 2、本卷答案必须做在答案卷上，做在试卷上无效； 球的表面积公式 , 球的体积公式 , 其中 表示球的半径。 圆柱侧面积 ，其中 ， 分别表示圆柱的底面半径和母线。 圆锥侧面积 ，其中 ， 分别表示圆锥的底面半径和母线。 锥体的体积公式 , 其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高。 柱体体积公式 , 其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．关于直线 ： ，以下说法正确的是 （　 　） A．直线 倾斜角为 0 B．直线 倾斜角不存在 C．直线 斜率为 0 D．直线 斜率不存在 2．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是以 为直角顶点的等腰直角 ，若 ，那么原 的面积是 （ ） A． B． C． D． 3. 已知圆锥的底面半径为 1，高为 1，则圆锥的侧面面积 ( ) A. B. C. D. 4．数列 满足 ,则 的前 10 项和等于（ ） A . B. C. D. 5．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 (　 　) 24S Rπ= 34 3V Rπ= R 2S rlπ= r l S rlπ= r l 1 3V Sh= S h V Sh= S h l 01 =−x l l l l B′ OBA ′′′∆ 1=′′BO ABO∆ 2 1 2 2 2 22 =S π π2 π 2 2 π22 { }na 1 2 43 0, 3n na a a+ + = = − { }na ( )103 1 3−− ( )101 1 39 −− ( )106 1 3−− − ( )103 1+3− A′ B′ y′ x′O′ 第 2 题 6．已知点 , , ,若线段 和 有相同的中垂线，则点 的坐标是 ( ) A． B． C． D． 7. 点 P 是底边长为 2 3，高为 2 的正三棱柱表面上的动点， 是该棱柱 内切球表面上的动点，则 的取值范围是 （ ） A．[0, ] B．[0, ] C．[0,3] D．[1, ] 8.已知数列 的前 项和为 ，当数列 的通项公式为 时， 我们记实数 为 的最小值，那么数列 取到最大值时 的项数 为 （ ） A.33 B. 34 C.35 D.36 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分． 9. 已知直线 ，直线 ，且 的倾斜角为 ， 则 = ▲ ；若 ，则两直线间的距离为 ▲ ． 10.已知实数 满足 ，则点 构成的区域的面积为 __▲_, 的最大值为__ ▲ __． 11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积为_ ▲ ___,表面积为__ ▲ __． 12.已知数列 满足 ，则 ▲ ；若数列 满足 ， 为数列 的前 项和，则 ▲ 13. 已知点 A（-1,2），B（1,0）， 直线 方程为： ,若点 P 是直 线 上任意一点，则 + 取得最小值时点 P 的坐标为 ▲ . ( )0,2A ( )4,2−B ( )8,5C AB CD D ( )5,4 −− ( )6,7 ( )4,5 −− ( )7,6 Q | |PQ 3 1+ 5 1+ 5 1+ { }an n S n { }an 1 1 += nan λ SS nn − 2 λ100 1 −= nbn n 012:1 =−+ yaxl 03:2 =−+ yxl 1l 4 π a 21 //ll ,x y 3 3 0 1 0 1 x y x y y + − ≤  − + ≥  ≥ − ( , )P x y 2x y+ { }an 1......21 += naaa n =a3 { }bn )1( 2+= n ab n n S n { }bn n =S n l 2=+ yx l PA PB 14．设点 A（1，0），B（2，1），如果直线 与线段 AB 有一个 公共点，那么 的最小值为 ▲ ． 15．已知数列 满足 ， ，其前 项和 为 ，若对于任意的 ，总有 成立，则 　 ▲ 　． 　 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤． 16．（本题满分 14 分）已知直线 ： ， ： ． （1）当 时，直线 过 与 的交点，且垂直于直线 ，求 直线 的方程； （2）求点 到直线 的距离 的最大值 17. （本题满分 15 分）设 满足约束条件 （1）求 最大值； （2）若目标函数 z= 的最大值 为 4，求 的最小值； （3）若目标函数 最小值的最优解有无数个，求值 . 1=+ byax ba 22 + { }an )(2 * 1 Naa nnn ∈+=+ aa 52 3= n S n Nn *∈ SS kn ≥ =+++ + aaa kk 151 .... l1 )0(0243 >=−+ aayx l2 022 =++ yx 1=a l l1 l2 012 =−− yx l M      1,3 5 l1 d yx, 3 6 0, 2 0, 0, 0. x y x y x y − − ≤  − + ≥  ≥ ≥ yx 2+ ( 0, 0)ax by a b+ > > 1 2 3a b + ykxz += k 18. （本题满分 15 分）已知等差数列 的公差 ，记 的前 项和 为 ，且满足 ． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，求使得 的正整数 的 值． 19. （本题满分 15 分）如图，矩形 OABC 的边长 OA= ，OC=1，点 A，C 分别在 ， 正半轴上，D 在 AC 上， = ，直线 垂直 AC 于 D，且交直线 BC 于点 E，交 轴于点 F． （1）写出 AC 中点及 D 坐标（用 表示）； （2）若直线 交 轴于负半轴，求 的取值范围； （3）若直线 交 轴于正半轴，且 分矩形两部分的面积 之比是 2：7，求|CE|． 20. （本题满分 15 分）已知正项数列 的前 项和为 ，数列 满 足 ， (1)求数列 的通项公式； (2)设数列 的前 项和为 ，求证：对于任意正整数 ，都有 成立； (3)数列 满足 ，它的前 项和为 ,若存在正整数 ，使 得不等式 成立，求实数 的取值范围。 { }na 1d = { }na n nS 3 5 6S S S+ = { }na 2 na nb = 1 2 2 1 240k k k kb b b b+ + −+ + + + = k a x y l y a l y a l y l { }an n S n { }an 11 =a )1(2 += aaS nnn { }an       + )2( 2 1 an n An n 2 1=−+ aayx l2 022 =++ yx 1=a l l1 l2 012 =−− yx l M      1,3 5 l1 d 又 M（ ）， ∴点 M 到直线 l1 的距离 d 的最大值为|MN|= .......14 分 17. （本题满分 15 分）设 x,y 满足约束条件 （1）求 x+2y 最大值； （2）若目标函数 z= 的最大值为 4，求 的最小值； （3）若目标函数 z=kx+y 最小值的最优解有无数个，求值 k . 解.(1) C(4，6) 时取最大值 16；............4 分 (2) .............8 分 原式= ；..........10 分 (3)k=0 或-3 ...........15 分 18. （本题满分 15 分）已知等差数列 的公差 ，记 的前 项和为 ， 且满足 ． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，求使得 的正整数 的值． 3 6 0, 2 0, 0, 0. x y x y x y − − ≤  − + ≥  ≥ ≥ ( 0, 0)ax by a b+ > > 1 2 3a b + 34 6 4 12a b a b+ = ⇒ + = 1 2 3 3 2( )( ) 2 43 2 2 3 b aa ba b a b + + = + + ≥ { }na 1d = { }na n nS 3 5 6S S S+ = { }na 2 na nb = 1 2 2 1 240k k k kb b b b+ + −+ + + + = k 19．（本题满分 15 分）如图，矩形 OABC 的边长 OA=a，OC=1，点 A，C 分别在 x， y 正半轴上，D 在 AC 上， = ，直线 l 垂直 AC 于 D，且交直线 BC 于点 E，交 y 轴于点 F． （1）写出 AC 中点及 D 坐标（用 a 表示）； （2）若直线 l 交 y 轴于负半轴，求 a 的取值范围； （3）若直线 l 交 y 轴于正半轴，且 l 分矩形两部分的面积之比是 2： 7，求|CE|． 解：（1）∵A（a，0），C（0，1）， ∴AC 中点坐标 ， =（a，﹣1） ∴ = =（ ，﹣ ） ∴D 的坐标为 ，............ .......... ..........4 分 （2）∵直线 l 垂直 AC 于 D，且交直线 BC 于点 E， ∴直线 AC 的斜率为﹣ ∴直线 l 的斜率为 a， ∴直线 l 的方程为 y﹣ =a（x﹣ ）， 当 x=0 时，y= ﹣ ＜0， 解得 a＞ ；............. ......... ......... .........10 分 （3）且分矩形两部分的面积之比是 2：7， 即 S△CFE= S 矩形 OABC= ， 由（2）可知直线 l 的方程为 y﹣ =a（x﹣ ）， 当 x=0 时，y= ﹣ ＞0，即 0＜a＜ ∴CF=1﹣（ ﹣ ）= + 当 y=1 时，1﹣ =a（x﹣ ），解得 x= + ∴CE=x= + ， ∴S△CFE= CE•CF= （ + ）（ + ）= ， 解得 a= ， 即|CE|= ．.... ......... ......... .........15 分