数学卷·2018届江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学等六校联考高二上学期期末数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学等六校联考高二上学期期末数学试卷（文科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学等六校联考高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在相应答题卡内）‎ ‎1． =（　　）‎ A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i ‎2．已知函数，则f（2）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．命题“若a＜b，则a﹣1≤b”的逆否命题为（　　）‎ A．若a﹣1≥b，则a＞b B．若a﹣1≤b，则a≥b C．若a﹣1＞b，则a＞b D．若a﹣1＞b，则a≥b ‎4．命题“对任意x∈R，都有f（x）≤0”的否定是（　　）‎ A．对任意x∈R，都有f（x）＞0 B．存在x∈R，使f（x）＞0‎ C．存在x∈R，使f（x）≥0 D．对任意x∈R，都有f（x）≥0‎ ‎5．已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（　　）‎ A．（0，﹣3） B．（1，2） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）‎ ‎6．点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．函数的单调递增区间是（　　）‎ A． B． C．[1，+∞） D．‎ ‎8．函数y=xex的最小值是（　　）‎ A．﹣1 B．﹣e C． D．不存在 ‎9．已知直线l：（t为参数），则直线的倾斜角为（　　）‎ A．110° B．70° C．20° D．160°‎ ‎10．已知m，n∈R，则“mn＜0”是“方程为双曲线方程”的（　　）条件．‎ A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 ‎11．在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（　　）‎ A． B．1 C．2 D．4‎ ‎12．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x=　　．‎ ‎14．集合A={x||x|≤4，x∈R}，B={x|x＜a}，则“A⊆B”是“a＞5”的　　条件（在“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择一项填空）‎ ‎15．若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，则a+b的值等于　　．‎ ‎16．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若p或q为真，而p且q为假，求实数m的取值范围．‎ ‎18．在直角坐标系x0y中，以0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（0≤θ＜2π）‎ ‎（1）写出C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设线段MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ ‎19．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．‎ ‎（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线（t为参数）距离的最小值及此时Q点坐标．‎ ‎20．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．‎ ‎21．已知椭圆C过点，两个焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）EF是过椭圆焦点F1的动直线，B为椭圆短轴上的顶点，当B到直线EF的距离最大时，求△EFB的面积．‎ ‎22．已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax．‎ ‎（1）当a=2时，求函数f（x）的极值；‎ ‎（2）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学等六校联考高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在相应答题卡内）‎ ‎1． =（　　）‎ A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．‎ ‎【解答】解：化简可得====﹣1+2i 故选：B ‎　‎ ‎2．已知函数，则f（2）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】求出函数的导数，求出f′（2）的值，从而求出f（x）的解析式，求出f（2）的值即可．‎ ‎【解答】解：∵f′（x）=3f′（2）x2﹣，‎ ‎∴f′（2）=12f′（2）﹣，‎ 解得：f′（2）=，‎ 故f（x）=x3+，‎ 故f（2）=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．命题“若a＜b，则a﹣1≤b”的逆否命题为（　　）‎ A．若a﹣1≥b，则a＞b B．若a﹣1≤b，则a≥b C．若a﹣1＞b，则a＞b D．若a﹣1＞b，则a≥b ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若￢q，则￢p”，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：命题“若a＜b，则a﹣1≤b”的逆否命题为“若a﹣1＞b，则a≥b”，‎ 故选：D ‎　‎ ‎4．命题“对任意x∈R，都有f（x）≤0”的否定是（　　）‎ A．对任意x∈R，都有f（x）＞0 B．存在x∈R，使f（x）＞0‎ C．存在x∈R，使f（x）≥0 D．对任意x∈R，都有f（x）≥0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据全称命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案．‎ ‎【解答】解：命题“对任意的x∈R，都有f（x）≤0”的否定是存在x∈R，使f（x）＞0”，‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（　　）‎ A．（0，﹣3） B．（1，2） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】根据已知条件便知P点是直线y=2x﹣3和直线y=﹣3x+2的交点，所以解方程组即得点P坐标．‎ ‎【解答】解：若“p且q”为真命题，则：‎ P既在直线y=2x﹣3上，又在y=﹣3x+2上；‎ 所以点P是直线y=2x﹣3和y=﹣3x+2的交点；‎ ‎∴解得x=1，y=﹣1；‎ ‎∴P（1，﹣1）．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】极坐标刻画点的位置．‎ ‎【分析】利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，先将点M的直角坐标是后化成极坐标即可．‎ ‎【解答】解：由于ρ2=x2+y2，得：ρ2=4，ρ=2，‎ 由ρcosθ=x得：cosθ=，结合点在第二象限得：θ=，‎ 则点M的极坐标为．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．函数的单调递增区间是（　　）‎ A． B． C．[1，+∞） D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=4x2﹣3x﹣1=（4x+1）（x﹣1），‎ 令f′（x）≥0，解得：x≥1或x≤﹣，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．函数y=xex的最小值是（　　）‎ A．﹣1 B．﹣e C． D．不存在 ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的最小值．‎ ‎【解答】解：求导函数，可得y′=ex+xex，令y′=0可得x=﹣1‎ 令y′＞0，可得x＞﹣1，令y′＜0，可得x＜﹣1‎ ‎∴函数在（﹣∞，﹣1）上单调减，在（﹣1，+∞）上单调增 ‎∴x=﹣1时，函数y=xex取得最小值，最小值是 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．已知直线l：（t为参数），则直线的倾斜角为（　　）‎ A．110° B．70° C．20° D．160°‎ ‎【考点】直线的参数方程．‎ ‎【分析】直线l：（t为参数），化为普通方程即可得出．‎ ‎【解答】解：直线l：（t为参数），化为普通方程：y=xtan110°+2+tan110°．‎ 则直线的倾斜角为110°．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．已知m，n∈R，则“mn＜0”是“方程为双曲线方程”的（　　）条件．‎ A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义求出mn＞0，根据充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：“方程为双曲线方程”，‎ 则mn＞0，‎ 则mn＜0是方程为双曲线方程”的既不充分也不必要条件，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（　　）‎ A． B．1 C．2 D．4‎ ‎【考点】抛物线的应用．‎ ‎【分析】由抛物线方程可求得准线方程，进而根据其定义得知4+=5，求得p．‎ ‎【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣，‎ 由抛物线的定义知4+=5，‎ 解得P=2．‎ 故选C ‎　‎ ‎12．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x﹣2的最小距离．‎ ‎【解答】解：过点P作y=x﹣2的平行直线，且与曲线 y=x2﹣lnx相切，‎ 设P（x0，x02﹣lnx0）则有 k=y′|x=x0=2x0﹣．‎ ‎∴2x0﹣=1，∴x0=1或x0=﹣（舍去）．‎ ‎∴P（1，1），‎ ‎∴d==．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x=　2　．‎ ‎【考点】复数相等的充要条件．‎ ‎【分析】化简原式可得∴﹣1+xi=﹣1+2i，由复数相等的定义可得．‎ ‎【解答】解：∵（x+i）i=﹣1+2i，‎ ‎∴﹣1+xi=﹣1+2i，‎ 由复数相等可得x=2‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎14．集合A={x||x|≤4，x∈R}，B={x|x＜a}，则“A⊆B”是“a＞5”的　必要不充分　条件（在“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择一项填空）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】化简集合A，化简条件A⊆B，判断前者能否推出后者；后者能否推出前者，利用条件的定义判断出条件．‎ ‎【解答】解：A={x|﹣4≤x≤4}，‎ 若A⊆B，则a＞4，‎ a＞4推不出a＞5，但a＞5推出a＞4．‎ 故“A⊆B”是“a＞5”的必要不充分条件．‎ 故答案为：必要不充分．‎ ‎　‎ ‎15．若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，则a+b的值等于　﹣3　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣，解方程可得答案．‎ ‎【解答】解：∵直线2x﹣7y+3=0的斜率k=，‎ ‎∴切线的斜率为﹣，‎ 曲线y=ax2+‎ ‎（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，‎ ‎∴y′=2ax﹣，‎ ‎∴，‎ 解得：a=﹣1，b=﹣2，‎ 故a+b=﹣3，‎ 故答案为：﹣3‎ ‎　‎ ‎16．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=　±2　．‎ ‎【考点】函数的图象；函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．‎ ‎【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），‎ 令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；‎ ‎∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，‎ ‎∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值，‎ ‎∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，‎ ‎∴极大值等于0或极小值等于0，‎ ‎∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，‎ ‎∴c=﹣2或2．‎ 故答案为：±2．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若p或q为真，而p且q为假，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】当p∨q为真，p∧q为假时，p，q一真一假，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：∵当p真时，△=m2﹣4＞0，即m＜﹣2或m＞2‎ ‎∵当q真时，△=16（m﹣2）2﹣16＜0，即1＜m＜3‎ 又∵当p∨q为真，p∧q为假时，p，q一真一假 ‎∴当p真q假时，m＜﹣2或m≥3‎ ‎∴当q真p假时，1＜m≤2‎ 综上，m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，2]∪[3，+∞）‎ ‎　‎ ‎18．在直角坐标系x0y中，以0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（0≤θ＜2π）‎ ‎（1）写出C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设线段MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）根据C的极坐标方程以及x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出C的普通方程即可；‎ ‎（2）本题先根据曲线C的方程求出曲线C与x轴、y轴的交点坐标，再用中点坐标公式求出中点P的坐标，得到直线OP的极坐标方程 ‎【解答】解：（1）C：可化为，‎ ‎∴C的普通方程为直线：；‎ ‎（2）∵曲线C的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=1，‎ ‎∴令θ=0，ρcos（﹣）=1，ρ=2，M点的极坐标为（2，0）；‎ 令θ=，ρcos（﹣）=1，ρ=，N点的极坐标为（，）．‎ ‎∵，‎ ‎∴点M、N的直角坐标分别为（2，0），（0，）．‎ ‎∴MN的中点P的三角坐标为P（1，）．‎ ‎∴直线OP的斜率为，θ=，‎ ‎∴直线OP的极坐标方程为θ=，ρ∈（﹣∞，+∞）．‎ ‎　‎ ‎19．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．‎ ‎（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线（t为参数）距离的最小值及此时Q点坐标．‎ ‎【考点】圆的参数方程；参数方程化成普通方程；直线的参数方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）把曲线的参数方程消去参数，化为直角坐标方程．‎ ‎（Ⅱ）当t=时，求得Q（8cosθ，3sinθ），M（﹣2+4cosθ，2+），C3为直线x﹣2y﹣7=0，由M到C3的距离d=|sin（α﹣θ）﹣|，由此求得d取得最小值以及此时对应的θ，可得此时Q点的坐标．‎ ‎【解答】（Ⅰ）把曲线C1：（t为参数），消去参数化为普通方程为：（x+4）2+（y﹣3）2=1；‎ 把曲线C2：（θ为参数），消去参数化为普通方程为：．‎ ‎（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+），‎ C3为直线x﹣2y﹣7=0，M到C3的距离d=|4cosθ﹣3sinθ﹣13|=|cosθ﹣sinθ﹣|‎ ‎=|sin（α﹣θ）﹣|，其中，sinα=，cosα=，‎ 从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值，‎ 所以此时Q点的坐标为（，﹣）．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．‎ ‎【分析】（1）利用极值的意义，建立方程，即可求a，b；‎ ‎（2）设切点坐标．利用导数的几何意义求切线方程，然后利用切线过原点，确定切点坐标即可 ‎【解答】解：（1）f′（x）=3ax2+2bx﹣3，‎ 依题意，f′（1）=f′（﹣1）=0，‎ 即，‎ 解得a=1，b=0．‎ ‎（2）曲线方程为y=x3﹣3x，点A（0，16）不在曲线上．‎ 设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0=x03﹣3x0．‎ 因f′（x0）=3（x02﹣1），故切线的方程为y﹣y0=3（x02﹣1）（x﹣x0）‎ 注意到点A（0，16）在切线上，有16﹣（x03﹣3x0）=3（x02﹣1）（0﹣x0），‎ 化简得：x03=﹣8，解得x0=﹣2．‎ 所以，切点为M（﹣2，﹣2），切线方程为9x﹣y+16=0．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆C过点，两个焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）EF是过椭圆焦点F1的动直线，B为椭圆短轴上的顶点，当B到直线EF的距离最大时，求△EFB的面积．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由已知可得c，设椭圆方程为，把A的坐标代入椭圆方程求得b，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）不妨取，则，由题意知EF⊥BF1，求得，得到直线EF的方程，代入3x2+4y2=12，得：13x2+8x﹣32=0．设E（x1，y1），F（x2，y2），利用根与系数的关系可得E、F的横坐标的和与积，求得EF的长度，再求出BF1‎ 的长度，可得当B到直线EF的距离最大时△EFB的面积．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，c=1，可设椭圆方程为．‎ ‎∵A在椭圆上，∴，‎ 解得b2=3，‎ ‎∴椭圆方程为；‎ ‎（2）不妨取，则，‎ 当B到直线EF的距离最大时，EF⊥BF1，∴，‎ ‎∴直线EF：，将其代入3x2+4y2=12，得：13x2+8x﹣32=0．‎ 设E（x1，y1），F（x2，y2）‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax．‎ ‎（1）当a=2时，求函数f（x）的极值；‎ ‎（2）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，求出函数f（x）的最大值，最小值，问题等价于对任意a∈（﹣3，﹣2），恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞1+2a﹣（2﹣a）ln3﹣﹣6a，即 ‎，求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）‎ 当，‎ 令f′（x）=﹣+4=0，得x1=；x2=﹣（舍去），‎ ‎；，‎ 所以，函数f（x）的极小值为f（）=4，无极大值． ‎ ‎（2）∵，‎ 令，‎ ‎∵，即，‎ ‎∴；，‎ ‎∴上是减少的 因此，f（x）在[1，3]上也是减少的，‎ ‎∴，‎ 所以，对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，‎ 恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，‎ 等价于：对任意a∈（﹣3，﹣2），‎ 恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞1+2a﹣（2﹣a）ln3﹣﹣6a，‎ 即，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎　‎