数学卷·2018届陕西省宝鸡中学高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届陕西省宝鸡中学高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年陕西省宝鸡中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．抛物线y2=8x的焦点坐标为（　　）‎ A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（1，0）‎ ‎2．命题“∀x∈R，ex＞x”的否定是（　　）‎ A． B．∀x∈R，ex＜x C．∀x∈R，ex≤x D．‎ ‎3．函数的导数是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．物体的运动位移方程是S=10t﹣t2（S的单位：m；t的单位：s），则物体在t=2s的速度是（　　）‎ A．2m/s B．6m/s C．4m/s D．8m/s ‎5．椭圆的焦距为2，则m的值等于（　　）‎ A．5或3 B．8 C．5 D．或 ‎6．F1（﹣1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，过F1的直线l交椭圆于M、N，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．抛物线y2=4x，直线l过焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，x1+x2=3，则AB中点到y轴的距离为（　　）‎ A．3 B． C． D．4‎ ‎8．若函数f（x）满足，则f'（1）的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎9．若椭圆的弦被点（2，1）平分，则此弦所在的直线方程是（　　）‎ A．x+y﹣3=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+13y﹣14=0 D．x+2y﹣8=0‎ ‎10．抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是（　　）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎11．过抛物线x2=4y的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p，q，则等于（　　）‎ A． B．2 C．1 D．16‎ ‎12．双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2=4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B．1 C．1 D．2‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知函数f（x）=ax2+bx﹣1图象上在点P（﹣1，3）处的切线与直线y=﹣3x平行，则函数f（x）的解析式是　　．‎ ‎14．抛物线x=ay2（a≠0）的准线方程是　　．‎ ‎15．P为椭圆上一点，F1、F2为左右焦点，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为　　．‎ ‎16．P为双曲线=1右支上一点，F为双曲线C的左焦点，点A（0，3）则|PA|+|PF|的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线的离心率e∈（1，2），若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．‎ ‎18．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且|AF|=4．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过点M（8，0）作直线l交抛物线于B，C两点，求证：OB⊥OC．‎ ‎19．已知函数y=x3﹣3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．‎ ‎20．一动圆与圆内切，与圆外切．‎ ‎（1）求动圆圆心M的轨迹L的方程；‎ ‎（2）设过圆心F2的直线l：x=my+1与轨迹L相交于A，B两点，请问△ABF1的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年陕西省宝鸡中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．抛物线y2=8x的焦点坐标为（　　）‎ A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（1，0）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的标准方程，进而可求得p，根据抛物线的性质进而可得焦点坐标．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=8x，‎ 所以p=4，‎ ‎∴焦点（2，0），‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．命题“∀x∈R，ex＞x”的否定是（　　）‎ A． B．∀x∈R，ex＜x C．∀x∈R，ex≤x D．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据已知中的原命题，结合全称命题否定的定义，可得答案．‎ ‎【解答】解：命题“∀x∈R，ex＞x”的否定是，‎ 故选：D ‎　‎ ‎3．函数的导数是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】利用导数的运算法则求出函数的导数即可．‎ ‎【解答】解：y′==，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．物体的运动位移方程是S=10t﹣t2（S的单位：m；t的单位：s），则物体在t=2s的速度是（　　）‎ A．2m/s B．6m/s C．4m/s D．8m/s ‎【考点】变化的快慢与变化率．‎ ‎【分析】此类运动问题中瞬时速度问题的研究一般借助函数的导数求其某一时刻的瞬时速度，解答本题可以先求质点的运动方程为s=﹣t2+10t的导数，再求得t=3秒时的导数，即可得到所求的瞬时速度 ‎【解答】解：∵质点的运动方程为s=﹣t2+10t ‎∴s′=﹣2t+10‎ ‎∴该质点在t=2秒的瞬时速度为|﹣2×2+10|=6．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．椭圆的焦距为2，则m的值等于（　　）‎ A．5或3 B．8 C．5 D．或 ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据椭圆方程的标准形式，求出a、b、c的值，即得焦距 2c 的值列出方程，从而求得n的值．‎ ‎【解答】解：由椭圆得：‎ ‎2c=2得c=1．‎ 依题意得4﹣m=1或m﹣4=1‎ 解得m=3或m=5‎ ‎∴m的值为3或5‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．F1（﹣1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，过F1的直线l交椭圆于M、N，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】由题意可知△MF2N的周长为4a，从而可求a的值，进一步可求b的值，故方程可求．‎ ‎【解答】解：由题意，4a=8，∴a=2，∵F1（﹣1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，‎ ‎∴b2=3，∴椭圆方程为，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．抛物线y2=4x，直线l过焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，x1+x2=3，则AB中点到y轴的距离为（　　）‎ A．3 B． C． D．4‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】利用已知条件求出A、B的中点的横坐标即可．‎ ‎【解答】解：直线l过抛物线的焦点且与抛物线y2=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，x1+x2=3，‎ AB中点的横坐标为：，则AB中点到y轴的距离为：．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．若函数f（x）满足，则f'（1）的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】先根据f（x）=x3﹣f′（1）•x2﹣x求导，再把x=1代入，求f′（1）的值即可．‎ ‎【解答】解；求函数f（x）=x3﹣f′（1）•x2﹣x的导数，‎ 得，f′（x）=x2﹣2f′（1）x﹣1，‎ ‎ 把x=1代入，得，f′（1）=1﹣2f′（1）﹣1，‎ ‎∴f′（1）=0，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．若椭圆的弦被点（2，1）平分，则此弦所在的直线方程是（　　）‎ A．x+y﹣3=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+13y﹣14=0 D．x+2y﹣8=0‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】设直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），把两点坐标代入椭圆方程，利用点差法求得斜率，然后求解直线方程．‎ ‎【解答】解：设直线与椭圆交于点A，B，再设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由题意得，‎ 两式相减，得（x12﹣x22）+2（y12﹣y22）=0，‎ 即=﹣，‎ ‎∵点M（2，1）是AB的中点，‎ ‎∴kAB=﹣=﹣1，‎ 则所求直线方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是（　　）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】首先判断出直线和抛物线无交点，然后设出与直线平行的直线方程，可抛物线方程联立后由判别式等于0求出切线方程，然后由两条平行线间的距离求出抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值．‎ ‎【解答】解：由，得3x2﹣4x+8=0．‎ ‎△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．‎ 所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x2无交点．‎ 设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0‎ 联立，得3x2﹣4x﹣m=0．‎ 由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，得 m=﹣．‎ 所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x2相切的直线方程为．‎ 所以抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．过抛物线x2=4y的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p，q，则等于（　　）‎ A． B．2 C．1 D．16‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】本题是选择题，可以利用特殊值法求解，设PQ的斜率 k=0，因抛物线焦点坐标为（0，1），把直线方程 y=1代入抛物线方程得p，q的值，代入可得答案．‎ ‎【解答】解：抛物线x2=4y的焦点F为（0，1），‎ 设PQ的斜率 k=0，‎ ‎∴直线PQ的方程为y=1，‎ 代入抛物线x2=4y得：x=±2，‎ 即p=q=2，‎ ‎∴=+=1，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2=4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B．1 C．1 D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．‎ ‎【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c=1，‎ 又由已知得|AF2|=|F1F2|=2，而抛物线准线为x=﹣1，‎ 根据抛物线的定义A点到准线的距离=|AF2|=2，‎ 因此A点坐标为（1，2），由此可知是△AF1F2是以AF1为斜边的等腰直角三角形，‎ 因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，‎ 所以双曲线的离心率e=====+1．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知函数f（x）=ax2+bx﹣1图象上在点P（﹣1，3）处的切线与直线y=﹣3x平行，则函数f（x）的解析式是　f（x）=﹣x2﹣5x﹣1　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】利用函数的导数求出切线的斜率，然后利用函数经过的点，代入求解即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=ax2+bx﹣1，可得f′（x）=2ax+b，函数f（x）=ax2+bx﹣1图象上在点P（﹣1，3）处的切线与直线y=﹣3x平行，‎ 可得：，解得a=﹣1，b=﹣5．‎ 所求的函数的解析式为：f（x）=﹣x2﹣5x﹣1．‎ 故答案为：f（x）=﹣x2﹣5x﹣1；‎ ‎　‎ ‎14．抛物线x=ay2（a≠0）的准线方程是　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】直接利用抛物线方程，化简求解即可．‎ ‎【解答】解：抛物线x=ay2（a≠0）的标准方程为：y2=x，准线方程：；‎ 故答案为：；‎ ‎　‎ ‎15．P为椭圆上一点，F1、F2为左右焦点，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先利用椭圆定义求出|PF1|+|PF2|和|F1F2|的值，因为知道焦点三角形的顶角，利用余弦定理求出|PF1||PF2|的值，再代入三角形的面积公式即可．‎ ‎【解答】解：由椭圆方程可知，a=5，b=3，∴c=4‎ ‎∵P点在椭圆上，F1、F2为椭圆的左右焦点，‎ ‎∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8‎ 在△PF1F2中，cos∠F1PF2=‎ ‎=‎ ‎===cos60°=‎ ‎∴72﹣4|PF1||PF2|=2|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|=12‎ 又∵在△F1PF2中， =|PF1||PF2|sin∠F1PF2‎ ‎∴=×12sin60°=3‎ 故答案为3‎ ‎　‎ ‎16．P为双曲线=1右支上一点，F为双曲线C的左焦点，点A（0，3）则|PA|+|PF|的最小值为　8　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的定义，设双曲线的右焦点，将|PA|+|PF|转化为|PA|+|PE|+4，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由双曲线=1的方程可知a=2，设右焦点为E，‎ 则E（，0）‎ 则由双曲线的定义可得|PF|﹣|PE|=2a=4，‎ 即|PF|=4+|PE|，‎ ‎|PA|+|PF|=|PA|+|PE|+4≥|AE|+4=+4==8，‎ 当且仅当A，P，E三点共线时取等号．‎ 故答案为：8‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线的离心率e∈（1，2），若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】先求出命题p、q真时m的取值范围，若p∨q为真，p∧q为假，则p、q一真一假，求出m即可．‎ ‎【解答】解：命题p真：1﹣m＞2m＞0⇒，‎ 命题q真：，且m＞0，⇒0＜m＜15，‎ 若p∨q为真，p∧q为假，‎ p真q假，则空集；p假q真，则；‎ 故m的取值范围为．‎ ‎　‎ ‎18．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且|AF|=4．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过点M（8，0）作直线l交抛物线于B，C两点，求证：OB⊥OC．‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】（1）根据抛物线的定义求出p，即可求抛物线C的方程；‎ ‎（2）法一：因为直线当l的斜率不为0，设直线当l的方程为x=ky+8，与抛物线方程联立，利用向量知识求解即可；‎ 法二：①当l的斜率不存在时，l的方程为x=8，当l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x﹣8），与抛物线方程联立，利用向量知识求解即可．‎ ‎【解答】（1）解：设抛物线方程为C：y2=2px（p＞0），‎ 由其定义知|AF|=4=2+，‎ 所以p=4，y2=8x；‎ ‎（2）证明：法一：设B、C两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），‎ 因为直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=ky+8，‎ 由方程组得y2﹣8ky﹣64=0，y1+y2=8k，y1y2=﹣64，‎ 因为，‎ 所以=（k2+1）y1y2+8ky（y1+y2）+64=0‎ 所以OB⊥OC．‎ 法二：①当l的斜率不存在时，l的方程为x=8，此时B（8，8），C（8，﹣8），‎ 即，有，所以OB⊥OC．‎ ‎②当l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x﹣8），‎ 方程组得k2x2﹣（16k2+8）x﹣64k2=0，ky2﹣8y﹣64k=0，所以x1x2=64，y1y2=﹣64，‎ 因为，所以，‎ 所以OB⊥OC，由①②得OB⊥OC．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数y=x3﹣3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】判断点与曲线的关系，设出切点坐标，利用导数求解斜率，推出切线方程，代入点的坐标，化简求解即可．‎ ‎【解答】解：曲线方程为y=x3﹣3x，点A（0，16）不在曲线上，‎ 设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足，‎ 因，故切线的方程为．‎ 化简得，解得x0=﹣2．‎ 所以切点为M（﹣2，﹣2），切线方程为9x﹣y+16=0．‎ ‎　‎ ‎20．一动圆与圆内切，与圆外切．‎ ‎（1）求动圆圆心M的轨迹L的方程；‎ ‎（2）设过圆心F2的直线l：x=my+1与轨迹L相交于A，B两点，请问△ABF1的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】（1）利用圆内切，与圆外切，可得|MF1|+MF2|=4，由椭圆定义知M在以F1，F2为焦点的椭圆上，从而可得动圆圆心M的轨迹L的方程；‎ ‎（2）表示出三角形的面积，利用换元法，结合函数的单调性，求得最值，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：（1）设动圆圆心为M（x，y），半径为R，由题意，得|MF1|=R+1，|MF2|=3﹣R，‎ 所以|MF1|+MF2|=4，由椭圆定义知M在以F1，F2为焦点的椭圆上，且a=2，c=1，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=4﹣1=3．‎ 动圆圆心M的轨迹L的方程为．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0），‎ 则，‎ 由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，‎ ‎∴，，‎ 令，则t≥1，且m2=t2﹣1，有，‎ ‎∵在[1，+∞）递增，∴，‎ ‎∴，此时t=1，m=0，‎ ‎∴存在直线l：x=1，△ABF1的面积最大值为3．‎ ‎　‎