内蒙古包头市第六中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷

内蒙古包头市第六中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷

内蒙古包头市第六中学 2018-2019 学年高一下学期期中数学 试卷 一.选择题:(每题 5 分,共 60 分) 1.下列结论正确的是（ ）． A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ，则 【答案】C 【解析】 分析：根据不等式性质逐一分析即可. 详解：A. 若 ，则 ,因为不知道 c 的符号，故错误；B. 若 ，则 可令 a=-1，b=-2，则结论错误；D. 若 ，则 ，令 a=1，b=2，可得结论错误，故 选 C. 点睛：考查不等式的基本性质，做此类题型最好的方法就是举例子注意排除即可.属于基础题. 2.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 ， ， ，则 b= A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由余弦定理得 ， 解得 （ 舍去），故选 D. 【考点】余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于 b 一元二次方程,再通 过解方程求 b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！ 3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上 面 节的容积共 升，下面 节的容积共 升，则第五节的容积为（ ） 的 ac bc< a b< 2 2a b< a b< a b> 0c < ac bc< a b< a b> ac bc< a b< 2 2a b< a b< a b< a b> 5a = 2c = 2cos 3A = 2 3 3 9 3 45 A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 【答案】C 【解析】 由题设可得 ，由此可得 ，故应选答 案 C ． 4.在 中 分别为角 所对的边,若 ,则此三角形一定是( ) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰三角 形或直角三角形 【答案】C 【解析】 在 中 ， ， ， 此三角形一定是等腰三角形，故选 C. 【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见 方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关 系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间 的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 5.已知数列 满足 ， ，则数列 的前 6 项和 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由 得 数 列 是 以 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 所 以 ， 故 6.函数 的最大值为( ) 7 8 9 11 1 2 3 2 7 8 9 8 9 3{ {45 15 a a a a a a a a + + = =⇒+ + = = 1 5 1{ 1 2 4 92 a ad = ⇒ = + × == ABC∆ , , ,a b c , ,A B C 2 a bcos C= ABC∆ 2 2 2 2 2 2 cos , 2 cos 22 2 a b c a b cC a b C bab ab + − + −= ∴ = = ⋅ 2 2 2 2a a b c∴ = + − ,b c∴ = ∴ { }na 2 2a = 12 n na a+ = { }na 6S 63 16 63 12 63 8 63 4 12 n na a+ = { }na 1 2 1 4a = 6 1 6 634(1 ) 6364 11 8 2 a qS q ×−= = =− ( ) cos 3sin 3f x x x π = + −   A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 化简得到 ，得到答案. 【详解】 ， 故当 时，函数有最大值 . 故选： . 【点睛】本题考查了三角函数的最值，意在考查学生的计算能力. 7.已知关于 x 的不等式 ax2-x+b≥0 的解集为[-2，1]，则关于 x 的不等式 bx2-x+a≤0 的解集为 （　　） A. [-1，2] B. [-1， ] C. [- ，1] D. [-1，- ] 【答案】C 【解析】 由 题 意 得 为 方 程 的 根 , 且 , 所 以 , 因 此 不 等 式 bx2-x+a≤0 为 ,选 C. 8.已知等比数列 满足 ，则 = A. 1 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 依 题 意 有 ， 故 . 9.在△ABC 中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC 的外接圆的直径为（　　） 为 3 3 1+ ( ) sin 6f x x π = −   3 1( ) cos 3sin sin cos sin3 2 2 6f x x x x x x π π   = + − = − = −       2 23x k π π= + 1 A 1 2 1 2 1 2 2,1− 2 0ax x b− + = 0a < 12 1 , 2 1 1, 2b a ba a − + = − × = ⇒ = − = 2 12 1 0 12x x x− − ≤ ⇒ − ≤ ≤ { }na 1 3 2 410, 5a a a a+ = + = 5a 1 2 1 4 ( )2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 110, 5 , , 82a a q a q a q a a q q q a+ = + = = + = = 4 5 1 1 18 16 2a a q= = ⋅ = A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用三角形面积公式列出关系式，将 a，sinB 以及已知面积代入求出 c 的值，再利用余弦定理 求出 b 的值，最后利用正弦定理求出外接圆直径即可． 【详解】∵在△ABC 中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2， ∴ acsinB＝2，即 c＝4 ， ∴由余弦定理得： ﹣2accosB＝1+32﹣8＝25，即 b＝5， 则由正弦定理得：2R 5 ． 故选 C． 【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本 题的关键． 10.当 时，不等式 恒成立，则 k 的取值范围是（ ） A. B. C. D. （0，4） 【答案】C 【解析】 当 时 ， 不 等 式 可 化 为 ， 显 然 恒 成 立 ； 当 时 ， 若 不 等 式 恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与 轴无交点，则 解 得： ，综上 的取值范围是 ，故选 C. 11.已知等差数列 的前 项为 ，且 ， ，则使得 取最小值时的 为（ ）． A. 1 B. 6 C. 7 D. 6 或 7 【答案】B 【解析】 5 2 2 5 2 6 2 1 2 2 2 2 2b a c= + b sinB = = 2 x∈R 2 1 0kx kx− + > (0, )+∞ [ )0,+∞ [ )0,4 0k = 2 1 0kx kx− + > 1 0> 0k ≠ 2 1 0kx kx− + > x 2 0 4 0 k k k >  = − < 0 4k< < k [ )0,4 { }na n nS 1 5 14a a+ = − 9 27S = − nS n 试 题 分 析 ： 由 等 差 数 列 的 性 质 ， 可 得 ， 又 ，所以 ，所以数列 的通项公式为 ，令 ，解 得 ，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得 取最小值时的 为 ，故选 B． 考点：等差数列的性质. 12.化简 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】C 【解析】 原 式 = = = 二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.已知 ，并且 成等差数列，则 的最小值为_________. 【答案】16 【解析】 由题可得： ，故 14.在等差数列{an}中,若 a1+a7+a13 = 6,则 S13 = ______ . 【答案】26 【解析】 【分析】 根据 得到 ， ，得到答案. 【详解】 ，故 ， . tan 70 cos10 ( 3 tan 20 1)° ° °− sin 70 sin 20cos10 3 1cos70 cos20  ⋅ −        cos20 cos10 3sin 20 cos20 sin 20 cos20  −⋅          ( )cos10 sin 202sin 20 30 1sin 20 sin 20       × − = − = − 0, 0a b> > 1 1 1, ,2a b 9a b+ 1 1 1a b + = 1 1 99 ( 9 )( ) 1 9 16a ba b a b a b b a + = + + = + + + ≥ 1 7 13 73 6a a a a+ + = = 7 2a = 13 713S a= 1 7 13 73 6a a a a+ + = = 7 2a = ( )1 13 13 7 13 13 262 a aS a + ×= = = 故答案为： . 【点睛】本题考查了等差数列求和，意在考查学生对于数列性质的灵活运用. 15.如图，正三棱柱的主视图面积为 2a2，则左视图的面积为________． 【答案】 【解析】 已知正三棱柱的主视图的底边长为 ，正三棱柱的主视图面积为 ，所以该正三棱柱的高为 .因为正三棱柱的底面为边长为 的正三角形，所以左视图的底边长为 ，所以左视图 的面积为 . 16.在数列{an}中,a1=3, ,则通项公式 an = ______. 【答案】 【解析】 【分析】 变换得到 ，利用累加法计算得到答案. 【详解】 ，故 . . 故答案为： . 【点睛】本题考查了裂项相消法，累加法，意在考查学生对于数列方法的灵活运用. 三.解答题(6 个小题,共 70 分) 26 23a a 22a 2a a 3 2 a 232 32S a a a= × = 1 3 ( 1)n na a n n+ = + + 36na n = − 1 3 1 13( 1) 1n na a n n n n+  = − + + −  = 1 3 ( 1)n na a n n+ = + + 1 3 1 13( 1) 1n na a n n n n+  = − + + −  = ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 1 3... 3 1 3 6n n n n na a a a a a a a n n− − −  = − + − + + − + = − + = −   36na n = − 17.解不等式: . 【答案】答案不唯一，详见解析 【解析】 【分析】 变换得到(x-k)(x-1)>0，讨论 三种情况，计算得到答案. 【详解】x2>(k+1)x-k 变形为(x-k)(x-1)>0, 当 k>1 时,不等式的解集是{x|x<1 或 x>k}； 当 k=1 时,不等式的解集是{x|x≠1}； 当 k<1 时,不等式的解集是{x|x1}； 综上所述： 时，解集为{x|x<1 或 x>k}； 时，解集是{x|x≠1}； 时，解集是 {x|x1}. 【点睛】本题考查了解不等式，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握. 18.在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ccosB+bcosC＝2acosA． （1）求 A； （2）若 a＝2，且△ABC 的面积为 ，求△ABC 的周长． 【答案】（1） ；（2）6. 【解析】 试 题 分 析 ： （ 1 ） 由 根 据 正 弦 定 理 可 得 ，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得 ，∴ ；（2）由 的面积为 ，可得 ，再利用余弦定理可得 ，从而 可得 的周长. 试题解析：（1）∵ ，∴ . ∴ ， ∴ . ∵ ，∴ ，∴ ，∴ . （2）∵ 的面积为 ，∴ ，∴ . 2 ( 1)x k x k> + − 1, 1, 1k k k> = < 1k > 1k = 1k < 3 3A π= cos cos 2 cosc B b C a A+ = sin cos sin cos 2sin cosC B B C A A+ = 1cos 2A = 3A π= ABC 3 4bc = 2b c= = ABC cos cos 2 cosc B b C a A+ = sin cos sin cos 2sin cosC B B C A A+ = ( )sin 2sin cosB C A A+ = sin 2sin cosA A A= ( )0,A π∈ sin 0A ≠ 1cos 2A = 3A π= ABC 3 1 3sin 32 4bc A bc= = 4bc = 由 ， 及 ，得 ，∴ . 又 ，∴ . 故其周长为 . 19.已知公差不为零的等差数列{an}满足： ，且 是 与 的等比中项． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}满足 ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn . 【答案】（1） （2） 【解析】 试题分析：（1）根据等差数列 通项公式列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式； （2）利用裂项法求和. 试题解析：（1）设等差数列{an}的公差为 d， ∵a3+a8=20，且 a5 是 a2 与 a14 的等比中项， ∴ ，解得 a1=1，d=2， ∴an=1+2（n-1）=2n-1． （2）bn= = （ ）， ∴Sn=b1+b2+b3+…+bn= （1- + - +…+ ）= （1- ）= ． 点睛：本题主要考查了等差数列，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常 见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于 ，其中 和 分别为特殊数列，裂项相消法类似于 ，错位相减法类似于 ，其中 为等差数列， 为等比数列等. 20.在我校高二年段即将准备开展 数学竞赛活动中，规定评选一等奖和二等奖的人数之和不 超过 10 人，一等奖人数比二等奖人数少 2 人或 2 人以上，一等奖人数不少于 3 人，且一等奖 奖品价格为 30 元，二等奖奖品价格为 20 元，怎样合理安排可以使得本次活动购买奖品的费 用最少？ 【答案】本次活动购买奖品 最小费用为 190 元. 的 的 的 2a = 3A π= 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 24 4b c= + − 2 2 8b c+ = 4bc = 2b c= = 6 3 8 20a a+ = 5a 2a 14a 1 1 n n n b a a + = 2 1na n= − 2 1 n n + n n nc a b= + { } n a { }nb ( ) 1 1na n n = + n n nc a b= ⋅ { } n a { }nb 【解析】 【分析】 先根据条件列出线性约束条件，再根据条件画出可行域，根据目标函数画直线，找出最优解， 求出最值． 【详解】设一等奖人数为 x，二等奖人数为 y，本次活动购买奖品的费用为 ， 目标函数为： ， 约束条件为 画出满足条件的平面区域， 联立 ，得 设直线 ： ，通过平移直线 ，易知 z 在点 处取得最小值 190， 本次活动购买奖品的最小费用为 190 元． 【点睛】本题考查的是线性规划问题，还考查了学生分析问题的能力和数学建模的能力 已知 两个变量间的关系，求它们的线性和最小，根据条件列出线性约束条件，再根据条件画出可 行域，根据目标函数画直线，找出最优解，求出最值 找最优解时注意斜率和倾斜角大小关 系． 21.设 ． （1）求 的单调递增区间； z ∴ z 30x 20y= + * * 10 2 3 N N x y y x x x y + ≤  − ≥ ≥  ∈ ∈ y x 2 x 3 − = = ( )A 3,5 0l 30x 20y 0+ = 0l ( )A 3,5 ∴ . . 2( ) sin cos cos ,4f x x x x x R π = − + ∈   ( )f x （2）在锐角 中， 的对边分别为 ，若 ，求 面积的 最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为 的形式， 将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间； （2）根据 ，求出 ，可得 ，利用余弦定理，利用基本不等式的性 质求出 的最大值，可得 面积的最大值． 【详解】解：（1） ． 化简可得： ， 由 ． 可得： ， 函数 的单调递增区间是： （2）由 ，即 ， 可得 ， ． ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( ) 0, 12 Af a= = ABC∆ , ,4 4k k k Z π ππ π − + + ∈   2 3 4 + ( )y Asin xω ϕ= + 0, 12 Af a  = =   sin A cos A bc ABC∆ 2( ) sin cos cos ,4f x x x x x R π = − + ∈   1 1 1( ) sin 2 cos 22 2 2 2f x x x π = − − +   1 1 1sin 2 sin 22 2 2x x= + − 1sin 2 2x= − 2 2 2 ,2 2k x k k Z π ππ π− + ≤ ≤ + ∈ ( )4 4k x k k Z π ππ π− + ≤ ≤ + ∈ ∴ ( )f x , ,4 4k k k Z π ππ π − + + ∈   02 Af   =   1sin 02A− = 1sin 2A = 0 2A π< < 3cos 2A∴ = 由余弦定理： ， 可得 ． ，当且仅当 时等号成立． ， ． 面积的最大值 ． 故得三角形 面积最大值为 ． 【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函 数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了余弦定理和不等式的性质的运用，属 于中档题． 22.已知数列 的前 项和为 ， ．　 （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）求数列 的前 项和 . 【答案】（Ⅰ） （ ）；（Ⅱ） （ ）． 【解析】 试题分析： （Ⅰ）由 写出当 时， ，两式相减可得数列的递推式，再求得 ，从而确定数列 是等比数列，得通项公式； （Ⅱ）数列 可以看作是一个等差数列和等比数列相乘所得，其前 项和可用错位相减法 求得． 试题解析： （Ⅰ）由 ，① 得 ， ，② 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 21 3bc b c+ = + 2 2 2b c bc+  b c= 1 3 2bc bc+ ∴ 2 3bc ≤ + ABC∆∴ 1 2 3sin2 4S bc A += ≤ ABC 2 3 4 + { }na n nS 2 3n nS a= − { }na { }nna n nT 13 2n na −= ⋅ *n N∈ 3( 1)2 3n nT n= − + *n N∈ 2 3n nS a= − 2n ≥ 1 12 3n nS a− −= − 1a { }na { }nna n 2 3n nS a= − 1 3a = 1 12 3( 2)n nS a n− −= − ≥ ① ②，得 ，即 （ ， ）， 所以数列 是以 3 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 （ ）． （Ⅱ） ， ， 作差得 ， ∴ （ ）． 点睛：本题考查错位相减法求和，对一个等差数列与一个等比数列相乘所得数列，其前 项和 可用错位相减法求解，首先写出和 ，然后在此式两边乘以等比数列的仅 比，并错位，两式相减，可把和式转化为中间部分项是等比数列的和，应用等比数列求和公 式可得结论． 数列求和方法除直接应用等差数列和等比数列前 项和公式外还有分组求和法、裂项相消法、 错位相减法、倒序相加法等等． − 12 2n n na a a −= − 12n na a −= 2n ≥ n N∈ { }na 13 2n na −= ⋅ *n N∈ 0 1 2 13(1 2 2 2 3 2 2 )n nT n −= ⋅ + ⋅ + ⋅ +…+ ⋅ 1 2 32 3(1 2 2 2 3 2 2 )n nT n= ⋅ + ⋅ + ⋅ +…+ ⋅ 0 1 2 13(1 2 1 2 1 2 1 2 2 )n n nT n−− = ⋅ + ⋅ + ⋅ +…+ ⋅ − ⋅ 3( 1)2 3n nT n= − + *n N∈ n 1 2n nS c c c= + + + n