高三数学复习同步测试：解析几何

高三数学复习同步测试：解析几何

高三同步测试 数学试卷（解析几何综合卷） 时间：90 分钟，满分：120 分 一、选择题（共 60 分，每小题 5 分，说明：选做题 3 选 2） 1. 从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程 22 221xy mn中的 m 和 n,则能组成落在 矩形区域 {( , ) || | 11, | | 9}B x y x y  且 内的椭圆个数为 A.43 B. 72 C. 86 D. 90 2. 若抛物线 pxy 22  的焦点与椭圆 126 22  yx 的右焦点重合，则 p 的值为 A． 2 B． 2 C． 4 D． 4 3. 短轴长为 5 ，离心率 3 2e 的椭圆两焦点为 F1，F2，过 F1 作直线交椭圆于 A、B 两点，则 △ABF2 的周长为） A．3 B．6 C．12 D．24 4. 以双曲线 13 2 2  xy 的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是 A． 4)2( 22  yx B． 2)2( 22  yx C． 2)2( 22  yx D． 4)2( 22  yx 5. 抛物线 2 4 1 xy  的焦点坐标是 A．（ 16 1 ，0） B．（ 0， ） C．（ 0，1） D．（ 1，0） 6. 已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一条渐近线与 x 轴的夹角为 ，且 34   ，则双曲线的离心率的取值范围是 A． )2,1( B． )2,2( C．（ 1，2） D． )2,1( 7.（选作） 设 21,FF 分别是双曲线 19 2 2  yx 的左右焦点．若点 P 在双曲线上,且 021  PFPF 则  21 PFPF A． 10 B． 102 C． 5 D． 52 8. 已知直线 422  yxayx 与圆 交于 A、B 两点，O 是坐标原点，向量OA、OB 满 足 |||| OBOAOBOA  ，则实数 a 的值是 A．2 B．－2 C． 6 或－ D．2 或－2 9. 直角坐标平面内，过点 P（2，1）且与圆 224xy相切的直线 A．有两条 B．有且仅有一条 C．不存在 D．不能确定 10. 双曲线 2 4 x - 2 12 y =1 的焦点到渐近线的距离为 A． 23 B．2 C． 3 D．1 11. （选作）点 P 在直线 :1l y x上，若存在过 P 的直线交抛物线 2yx 于 ,AB两点， 且 | | |PA AB ，则称点 P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 A．直线l 上的所有点都是“ 点” B．直线l 上仅有有限个点是“ 点” C．直线l 上的所有点都不是“ 点” D．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 12. 下列曲线中离心率为 6 2 的是 A． 22 124 xy B． 22 142 xy C． 22 146 xy D． 22 14 10 xy 13. 经过圆 :C 22( 1) ( 2) 4xy    的圆心且斜率为 1 的直线方程为 A． 30xy   B． 30xy   C． 10xy   D． 30xy   二、填空题（共 30 分，每小题 5 分，说明：选作题 4 选 2，注明所选题号。） 14. 若双曲线的渐近线方程为 xy 3 ，它的一个焦点是  0,10 ，则双曲线的方程是 __________. 15. （选作）在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ ABC 顶点 )0,2()0,2( CB 和 ，顶点 A 在椭圆 11216 22  yx 上，则 A CB sin sinsin  ＝ 。 16. （选作）已知 F（C，0）是椭圆 22 221( 0)xy abab    的右焦点，以坐标原点 O 为圆心， A 为半径作圆 P，过 F 垂直于 x 轴的直线与圆 P 交于 A，B 两点，过点 A 作圆 P 的切线交 x 轴 于点 M。若直线 l 过点 M 且垂直于 x 轴，则直线 l 的方程为 ；若|OA|=|AM|，则椭 圆的离心率等于 。 17. 过抛物线 2 2 ( 0)y px p的焦点 F 作直线l ，交抛物线于 ,AB两点，交其准线于C 点. 若 3CB BF ，则直线 的斜率为_________. 18. 已知动直线l 平分圆 22:( 2) ( 1) 1C x y    ，则直线 与圆 3cos ,:(3sin xO y      为参数） 的位置关系是_________. 19. （选作）若经过点 P（－1，0）的直线与圆 224 2 3 0x y x y     相切，则此直线在 y 轴上的截距是 ___ __. 20. 已知过点 ( 2,0)P  的双曲线C 与椭圆 22 125 9 xy有相同的焦点，则双曲线C 的渐近线 方程是 21. （选做）以知 F 是双曲线 22 14 12 xy的左焦点， (1,4),AP是双曲线右支上的动点 PF PA 的最小值为 。 三、解答题（共 30 分，每小题 15 分，说明解答题 6 选 2） 22. 已知 ABC 的三边长| |,| |,| |CB AB CA成 等 差 数 列 ， 若 点 ,AB的坐标分别为 ( 1,0),(1,0) ． （Ⅰ）求顶点C 的轨迹W 的方程； （Ⅱ）若线段CA 的延长线交轨迹 于点 D ，当 52 | | 2CB ≤ 时，求线段 CD 的垂直平 分线l 与 x 轴交点的横坐标的取值范围． 23. 已知点(x, y) 在曲线 C 上，将此点的纵坐标变为原来的 2 倍,对应的横坐标不变,得到的点 满足方程 228xy；定点 M(2,1)，平行于 OM 的直线l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0),直线 与 曲线 C 交于 A、B 两个不同点. （1）求曲线C 的方程； （2）求 m 的取值范围. 24. 已知两点 M（2，0）、 N（-2，0），平面上动点 P 满足 0 NPMNMPMN （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程。 （2）如果直线 )(04 Rmmyx  与曲线 C 交于 A、B 两点，那么在曲线 C 上是否存 在点 D,使得 ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在， 请说明理由 25. 如图，过椭圆 22 221( 0)xy abab    的左焦点 1F 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，点 A 和点 B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，OP∥AB． （1）求椭圆的离心率 e； （2）过右焦点 2F 作一条弦 QR，使 QR⊥AB．若△ 1FQR 的面积为20 3 ，求椭圆的方程． 26. 以知椭圆 22 221( 0)xy abab    的两个焦点分别为 12( ,0) ( ,0)( 0)F c F c c和 ，过点 2 ( ,0)aE c 的直线与椭圆相交与 ,AB两点，且 1 2 1 2/ / , 2F A F B F A F B 。 （1）求椭圆的离心率； （2）求直线 AB 的斜率； （3）设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 2FB上有一点 ( , )( 0)H m n m  在  1AFC 的外 接圆上，求 n m 的值。 27. 已知，椭圆 C 以过点 A（1， 2 3 ），两个焦点为（—1，0）（ 1，0）。 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。 一、选择题 1. B 2. D 3. B 4. D 5. C 6. B 7. B 8. D 9.A 10. A 11 A 12. B 13. A 二、填空题 14. 19 2 2  yx 15. 2 16. 2 2, 2 c ax  17. 22k  18. 相交 19. 1 20. 30xy 21. 9 三、解答题 22. 解：（Ⅰ）因为| |,| |,| |CB AB CA 成等差数列，点 ,AB的坐标分别为( 1,0),(1,0) 所以| | | | 2| | 4CB CA AB   且 4 | |AB 由椭圆的定义可知点C 的轨迹是以 为焦点长轴为 4 的椭圆（去掉长轴的端点）， 所以 2, 1, 3a c b   ． 故顶点 的轨迹W 方程为 22 1( 0)43 xy y   （Ⅱ）由题意可知直线 AC 的斜率存在，设直线 方程为 ( 1)y k x． 由 22 ( 1), 1,43 y k x xy   得 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k     ， 设 ,CD两点坐标分别为 1 1 2 2( , ),( , )x y x y ， 则 2 12 2 8 34 kxx k  ， 1 2 1 2 2 6( 2) 34 ky y k x x k      ， 所以线段CD 中点 E 的坐标为 2 22 43( , )3 4 3 4 kk kk  , 故CD 垂直平分线l 的方程为 2 22 3 1 4()3 4 3 4 kkyxk k k    ， 令 0y  ，得 与 x 轴交点的横坐标为 2 2 2 1 334 4 kx k k      ， 由 52 | | 2CB得 1 152 (4 )22x   ，解得 110x   ， 又因为 22 2 11 22 11 12 3 ( 1) 4( 1) yxk xx  ，所以 2 1 3 1 3 12() 2( 1) xk x    ． 当 时，有 2 1 3 1 3 12( ) 02( 1) xk x   ，此时函数 2 2 1 2 1 12 3 4( 1) xk x   递减， 所以 2 3k  ．所以， 2 1 1 1 3454k       ． 故直线 与 轴交点的横坐标的范围是 11( , ]45． 23. 解：（1）在曲线C 上任取一个动点 P(x, y), 则点(x,2y)在圆 228xy上. 所以有 22(2 ) 8xy. 整理得曲线 C 的方程为 128 22  yx . （2）∵直线l 平行于 OM，且在 y 轴上的截距为 m,又 2 1OMK , ∴直线 的方程为 mxy  2 1 . 由 22 1 ,2 1.82 y x m xy     , 得 222 2 4 0x mx m    ∵直线l 与椭圆交于 A、B 两个不同点， ∴ 22(2 ) 4(2 4) 0,mm     解得 2 2 0mm   且 . ∴m 的取值范围是 2 0 0 2mm    或 . 24. 解：（1） xyCPxy xyx MPMNMPMNyxP 8,8 0)84(24 0,, 22 22     的方程为的轨迹点化简得 ）（得 由）（设 （2）    1 1 2 2 2 2 22 12 22 12 1 2 1 2 1 2 2 2 1 4 0 , , 40 8 32 0 8 64 4 32 0, 2 . , 8 , 3288 ,8 0 8 x my C A x y B x y x my y my yx y y m m yyx x y y m y y tD D t ABD AB DA DB tx                            设直线 与曲线 交于点 、 由 得 次方程有两个不等实根： 、 ， 即 若存在点 满足条件，可设 是以 为斜边的直角三角形， 即          222 2 2 12 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 22 08 8 8 8 8 , , 64 0, 8 96 0 64 4 96 0, 6 66 2, 6 2 2 6 yyt t tx y t y t y t y t y t y t y t y t t mt mm mm m m D                                              2 次方程有实根， 当 或 时，存在点D使得 ABD是以AB为斜边的直角三角形 又m 当 ，或 时，满足条件的点 不存在 25. 解：（1）∵ 1( ,0)Fc ，∴ 2 ( , )bPca ．∵OP∥AB，∴ OP ABkk ，∴ 2b ba ca ， 解得：b=c．∴ 2ac ，故 2 2e  ． （2）由（1）知椭圆方程可化简为 2 2 222xyb．① 易求直线 QR 的斜率为 2 ，故可设直线 QR 的方程为： 2( )y x b．② 由①②消去 y 得： 225 8 2 0x bx b   ．∴ 12 8 5 bxx ， 2 12 2 5 bxx  ． 于是△ 1FQR 的面积 S= 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 ( ) 4c y y c x x b x x x x         = 2 228 2 4 32 ( ) 4 20 35 5 5 bbbb     ，∴ 5b  ． 因此椭圆的方程为 222 50xy，即 22 150 25 xy． 26. 解：（1）由 1FA// 2FB且 12FA 2 F B ，得 22 11 EF F B 1 EF FA 2，从而 2 2 a 1 a 2 cc cc    整理，得 223ac ，故离心率 3 3 ce a （2）解：由（1）得 2 2 2 22b a c c   ，所以椭圆的方程可写为 2 2 22 3 6x y c 设直线 AB 的方程为 2ay k x c  ，即 ( 3 )y k x c. 由已知设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则它们的坐标满足方程组 2 2 2 ( 3 ) 2 3 6 y k x c x y c    消去 y 整理，得 2 2 2 2 2 2(2 3 ) 18 27 6 0k x k cx k c c     依题意， 22 3348 (1 3 ) 0 33c k k      ，得 而 2 12 2 18 23 kcxx k ① 2 222 21 32 627 k cckxx   ② 由题设知，点 B 为线段 AE 的中点，所以 1232x c x ③ 联立①③解得 2 1 2 92 23 k c cx k   ， 2 2 2 92 23 k c cx k   将 12,xx代入②中，解得 2 3k  . （3）解法一：由（II）可知 12 30, 2 cxx 当 2 3k  时，得 (0, 2 )Ac，由已知得 (0, 2 )Cc . 线段 1AF 的垂直平分线l 的方程为 22 2 2 2 cy c x    直线l 与 x 轴的交点 ,02 c  是 1AFC 外接圆的圆心，因此外接圆的方程为 22 2x 22 ccyc             . 直线 2FB的方程为 2( )y x c，于是点 H（m，n）的坐标满足方程组 2 2 2 9 24 2( ) ccmn n m c      ， 由 0,m  解得 5 3 22 3 mc nc     故 22 5 n m  当 2 3k  时，同理可得 22 5 n m  . 解法二：由（II）可知 12 30, 2 cxx 当 2 3k  时，得 (0, 2 )Ac,由已知得 (0, 2 )Cc 由椭圆的对称性可知 B， 2F ，C 三点共线，因为点 H（m，n）在 1AFC 的外接圆上， 且 12//F A F B ，所以四边形 1AFCH 为等腰梯形. 由直线 2FB的方程为 2( )y x c,知点 H 的坐标为( , 2 2 )m m c . 因为 1AH CF ，所以 2 2 2( 2 2 2 )m m c c a    ，解得 m=c（舍），或 5 3mc . 则 22 3nc ，所以 22 5 n m  . 当 2 3k  时，同理可得 n 2 2 5m  27. 解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为 11 2 2 2 2  b y b x 因为 A 在椭圆上，所以 22 19114bb ，解得 2 3b  ， 2 3 4b  （舍去） 所以椭圆方程为 22 143 xy。 （Ⅱ）设直线 AE 方程为： 3( 1) 2y k x   ，代入 得 2 2 23(3 4 ) 4 (3 2 ) 4( ) 12 02k x k k x k       设 (x , y )EEE , (x , y )FFF ,因为点 3(1, )2A 在椭圆上，所以 2 2 43 12)2 3(4 k k xE    3 2EEy kx k   又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以—K 代 K，可得 2 2 34( ) 122x 34F k k    kkxy FF  2 3 所以直线 EF 的斜率 ( ) 2 1 2 F E F E EF F E F E y y k x x kK x x x x       即直线 EF 的斜率为定值，其值为 1 2 。