高考数学复习 17-18版 附加题部分 第3章 选修4－1 第69课 相似三角形的判定与有关性质

高考数学复习 17-18版 附加题部分 第3章 选修4－1 第69课 相似三角形的判定与有关性质

第四章　几何证明选讲 选修4－1　几何证明选讲 第69课 相似三角形的判定与有关性质 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 相似三角形的判定与性质定理 ‎√‎ 射影定理 ‎√‎ ‎1．平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．‎ 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．‎ 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边．‎ ‎2．平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．‎ 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．‎ ‎3．相似三角形的判定及性质 ‎(1)判定定理：‎ 内容 判定定理1‎ 两角对应相等的两个三角形相似 判定定理2‎ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 判定定理3‎ 三边对应成比例的两个三角形相似 ‎(2)性质定理：相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．‎ ‎4．直角三角形的射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．‎ ‎(1)一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其他直线上截得的线段也相等．(　　)‎ ‎(2)两组对应边成比例，一组对应边所对的角相等的两个三角形相似．(　　)‎ ‎(3)三角形相似不具有传递性．(　　)‎ ‎(4)相似多边形不具有面积比等于相似比的平方的性质．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)如图691，D是△ABC中BC边上一点，点E，F分别是△ABD，△ACD的重心，EF与AD交于点M，则＝________.‎ 图691‎ ‎2　[连结AE，AF，并延长交BC于G，H.‎ 因为点E，F分别是△ABD，△ACD的重心，‎ 所以＝＝2，‎ 所以EF∥GH，所以＝2.]‎ ‎3．(教材改编)如图692所示，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________.‎ 图692‎ ‎9　[因为ABCD是平行四边形，所以AB∥DC，且AB＝DC，于是△CDF∽△AEF，且＝＝3.‎ 因此＝2＝9.]‎ ‎4．如图693，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，若AB＝10，AC＝5，则AD＝________.‎ 图693‎ ‎2　[由AC＝5，AB＝10，得BC＝5.‎ ‎∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，‎ ‎∴AC2＝BC·CD，则CD＝，从而BD＝BC－CD＝4.‎ 又AD2＝BD·CD＝20，故AD＝2.]‎ ‎5．(2015·广东高考)如图694，AB为圆O的直径，E为AB延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D.若AB＝4，CE＝2，则AD＝________.‎ 图694‎ ‎3　[由CE2＝BE·AE得(2)2＝BE·(4＋BE)，解得BE＝2.连结OC(图略)，则OC＝2，OC⊥DE.‎ 又AD⊥DE，∴AD∥OC，则＝，‎ 即AD＝＝＝3.]‎ 平行线分线段成比例定理 ‎　如图695，将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE＝5，折痕为PQ，求. 【导学号：62172362】‎ 图695‎ ‎[解]　如图所示，过M作MN∥AD交DC于N，‎ 所以＝.‎ 又因为AM＝ME，‎ 所以DN＝NE＝DE＝，‎ 所以NC＝NE＋EC＝＋7＝.‎ 因为PD∥MN∥QC，‎ 所以＝＝＝.‎ ‎[规律方法]　1.利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．‎ ‎2．解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题．‎ ‎[变式训练1]　如图696，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.‎ ‎(1)求证：OE＝OF；‎ ‎(2)求＋的值．‎ 图696‎ ‎[解]　(1)证明：∵AD∥BC，EF∥AD，‎ ‎∴EF∥AD∥BC，‎ ‎∴＝，＝，‎ ‎∵EF∥AD∥BC，∴＝.‎ ‎∴＝，∴OE＝OF.‎ ‎(2)∵OE∥AD，∴＝.‎ 由(1)知，＝，‎ ‎∴＋＝＋＝＝1.‎ 相似三角形的判定与性质 ‎　如图697，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C.‎ ‎(1)求证：△ABF∽△EAD；‎ ‎(2)若AB＝4，∠BAE＝30°，AD＝3，求BF的长．‎ 图697‎ ‎[解]　(1)证明：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BAF＝∠AED.‎ 又∵∠BFE＝∠C，‎ ‎∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠EDA，‎ ‎∴∠BFA＝∠ADE.‎ ‎∴△ABF∽△EAD.‎ ‎(2)在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，AB＝4.‎ ‎∴cos 30°＝，则AE＝.‎ 根据(1)知，△ABF∽△EAD.‎ 则＝，‎ 因此BF＝·AD＝.‎ ‎[规律方法]　1.相似三角形的一般思路 ‎(1)先找两对内角对应相等．‎ ‎(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两边是否对应成比例．‎ ‎(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．‎ ‎2．利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用．‎ ‎[变式训练2]　(2016·江苏高考)如图698，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，点D为垂足，E为BC的中点．求证：∠EDC＝∠ABD.‎ 图698‎ ‎[证明]　在△ADB和△ABC中，‎ 因为∠ABC＝90°，‎ BD⊥AC，∠A为公共角，‎ 所以△ADB∽△ABC，‎ 于是∠ABD＝∠C.‎ 在Rt△BDC中，因为E是BC的中点，‎ 所以ED＝EC，从而∠EDC＝∠C.‎ 所以∠EDC＝∠ABD.‎ 直角三角形中的射影定理 ‎　如图699所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F，G分别为垂足．‎ 图699‎ 求证：AF·AC＝BG·BE. 【导学号：62172363】‎ ‎[证明]　因为CD垂直平分AB，‎ 所以∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝DB.‎ 在Rt△ADC中，因为DF⊥AC，‎ 由射影定理，AD2＝AF·AC.‎ 同理，在Rt△BDE中，有BD2＝BG·BE，‎ 从而AF·AC＝BG·BE.‎ ‎[规律方法]　1.利用射影定理解决问题，首先要确定直角边及其射影．‎ ‎2．(1)要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式．‎ ‎(2)注意射影定理与勾股定理的结合应用 .‎ ‎[变式训练3]　如图6910，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.‎ 图6910‎ 求证：EF∶DF＝BC∶AC.‎ ‎[证明]　∵∠BAC＝90°，且AD⊥BC.‎ 由射影定理得AC2＝CD·BC，∴＝.①‎ ‎∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴＝.‎ 又BE平分∠ABC，且EA⊥AB，EF⊥BC，‎ ‎∴AE＝EF，∴＝.②‎ 由①②得＝，即EF∶DF＝BC∶AC.‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．平行线分线段成比例定理、射影定理是通过三角形相似证明的，故掌握好三角形相似的判定是解决本节问题的关键．‎ ‎2．平面几何中的判定定理、性质定理是几何证明的依据，另外要利用好平行、垂直关系，适当添加辅助线．‎ ‎3．善于进行比例式与等积式的转化，抓住平行线分线段成比例定理和三角形相似中的比例线段．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．在应用平行线截割定理时，一定要注意对应线段成比例．‎ ‎2．防止写三角形相似时，两个三角形的顶点不对应；一定要注意对应角和对应边，否则容易出错．‎ ‎3．防止应用射影定理时，线段的位置记错．‎ 课时分层训练(十三)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．如图6911，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，求＋的值．‎ 图6911‎ ‎[解]　由平行线分线段成比例定理得 ＝，＝，‎ 故＋＝＋＝＝1.‎ ‎2．如图6912所示，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是BC的中点，CN⊥AM，垂足是N.求证：AB·BM＝AM·BN. 【导学号：62172364】‎ 图6912‎ ‎[证明]　∵在Rt△ACM中，‎ CM2＝MN·AM.‎ 又∵M是BC的中点，即CM＝BM，‎ ‎∴BM2＝MN·AM，‎ ‎∴＝.‎ 又∵∠BMN＝∠AMB，‎ 所以△AMB∽△BMN，‎ ‎∴＝，∴AB·BM＝AM·BN.‎ ‎3．如图6913，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E，F分别在AB，AC，BC上，AE＝AC，BD＝AB，且CF＝BC.‎ 图6913‎ 求证：(1)EF⊥BC；‎ ‎(2)∠ADE＝∠EBC.‎ ‎[证明]　设AB＝AC＝3a，‎ 则AE＝BD＝a，CF＝a.‎ ‎(1)＝＝，＝＝.‎ 又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，‎ 由∠BAC＝90°，得∠EFC＝90°，‎ 故EF⊥BC.‎ ‎(2)由(1)得EF＝·AB＝a，‎ 故＝＝，＝＝，‎ ‎∴＝，∵∠A＝∠EFB，‎ ‎∴△ADE∽△FBE，‎ 所以∠ADE＝∠EBC.‎ ‎4．如图6914所示，已知在△ABC中，点D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.‎ 图6914‎ ‎(1)求证：△ABC∽△FCD；‎ ‎(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长. 【导学号：62172365】‎ ‎[解]　(1)证明：∵DE⊥BC，D是BC边上的中点，‎ ‎∴EB＝EC，∴∠B＝∠ECD，‎ 又AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴△ABC∽△FCD.‎ ‎(2)过点A作AM⊥BC，‎ 垂足为点M，‎ ‎∵△ABC∽△FCD，‎ BC＝2CD，‎ ‎∴＝2＝4，‎ 又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20，‎ 又S△ABC＝×BC×AM＝×10×AM＝20，‎ 解得AM＝4，又DE∥AM，∴＝，‎ ‎∵DM＝CD＝，BM＝BD＋DM＝5＋＝，‎ ‎∴＝，解得DE＝.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．如图6915所示，平行四边形ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.‎ 图6915‎ ‎(1)求证：△ABF∽△CEB；‎ ‎(2)若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．‎ ‎[解]　(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD.‎ ‎∴∠ABF＝∠CEB.‎ ‎∴△ABF∽△CEB.‎ ‎(2)∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AB∥CD.‎ ‎∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.‎ ‎∵DE＝CD，‎ ‎∴＝2＝，＝2＝，‎ ‎∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8.‎ ‎∴S四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16.‎ ‎∴S四边形ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF ‎＝16＋8＝24.‎ ‎2．如图6916，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE的延长线交BC于F.‎ 图6916‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若△BEF的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2，求S1∶S2的值．‎ ‎[解]　(1)过点D作DG∥BC，并交AF于G点，‎ 因为E是BD的中点，所以BE＝DE.‎ 又因为∠EBF＝∠EDG，‎ ‎∠BEF＝∠DEG，‎ 所以△BEF≌△DEG，则BF＝DG，‎ 所以BF∶FC＝DG∶FC.‎ 又因为D是AC的中点，则DG∶FC＝1∶2，‎ 则BF∶FC＝1∶2，即＝.‎ ‎(2)若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，‎ 则由(1)知BF∶BC＝1∶3.‎ 又由BE∶BD＝1∶2可知h1∶h2＝1∶2，‎ 其中h1，h2分别为△BEF和△BDC的高，‎ 则＝×＝，则S1∶S2＝1∶5.‎ ‎3．如图6917所示，AD，BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于H.求证：DF2＝GF·HF.‎ 图6917‎ ‎[证明]　∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠H＝∠GBF.‎ 又∠AFH＝∠GFB＝90°.‎ ‎∴△AFH∽△GFB，‎ 因此＝，即AF·BF＝GF·HF.‎ 因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，∴DF2＝AF·BF，所以DF2＝GF·HF.‎ ‎4．△ABC中，D，E，F分别是BC，AB，AC上的点，AD，EF交于点P，若BD＝DC，AE＝AF.‎ 求证：＝.‎ 图6918‎ ‎[解]　过F作MN∥AD分别交BA的延长线和DC于点M，N.对△MEF，有＝ 因为AE＝AF，‎ 所以＝.‎ 对△MBN，有＝，‎ 因为BD＝DC，所以＝.‎ 对△ADC，有＝，所以＝.‎ 所以＝，所以＝.‎