高考数学专题复习练习：第二章 2_8函数的零点
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
【知识拓展】
1．有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
2．三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( × )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × )
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( × )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( √ )
(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( √ )
1．(教材改编)函数的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 f(x)是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝，
∴f(0)f(1)<0，∴f(x)有且只有一个零点．
2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．y＝cos x B．y＝sin x
C．y＝ln x D．y＝x2＋1
答案 A
解析 由于y＝sin x是奇函数；y＝ln x是非奇非偶函数；y＝x2＋1是偶函数但没有零点；只有y＝cos x是偶函数又有零点．
3．(2016·吉林长春检测)函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是( )
A．(，1) B．(1,2)
C．(2，e) D．(e,3)
答案 C
解析 因为f()＝－＋－e－2<0，f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－<0，f(e)＝＋e－－2>0，
所以f(2)f(e)<0，所以函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在区间是(2，e)．
4．函数f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零点个数为________．
答案 2
解析 由f(x)＝0，得|log0.5x|＝x，
作出函数y＝|log0.5x|和y＝x的图象，
由图象知两函数图象有2个交点，
故函数f(x)有2个零点．
5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 ∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得
f(－1)f(1)<0，
∴(－3a＋1)·(1－a)<0，解得
0，
∴x0∈(2,3)，故选C.
(2)令f(x)＝x3－()x－2，则f(x0)＝0，易知f(x)为增函数，且f(1)<0，f(2)>0，∴x0所在的区间是(1,2)．
命题点2 函数零点个数的判断
例2 (1)函数f(x)＝的零点个数是________．
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是( )
A．多于4 B．4
C．3 D．2
答案 (1)2 (2)B
解析 (1)当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.
(2)由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．
在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如图，
观察图象可以发现它们有4个交点，
即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．
思维升华 (1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．
(1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
(2)函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
答案 (1)C (2)C
解析 (1)因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)．
(2)由f(x)＝xcos x2＝0，得x＝0或cos x2＝0.
又x∈[0,4]，所以x2∈[0,16]．
由于cos(＋kπ)＝0(k∈Z)，
而在＋kπ(k∈Z)的所有取值中，只有，，，，满足在[0,16]内，故零点个数为1＋5＝6.
题型二 函数零点的应用
例3 (1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________________．
答案 (1)C (2)(0,1)∪(9，＋∞)
解析 (1)因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.所以0＜a＜3.
(2)设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，
在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示．
由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，
所以有两组不同解，
消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，
所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，
解得a<1或a>9.
又由图象得a>0，∴09.
引申探究
本例(2)中，若f(x)＝a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是________________．
答案 (0，)
解析 作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的图象如下：
当x＝－时，y1＝；当x＝0或x＝－3时，y1＝0，
由图象易知，当y1＝|x2＋3x|和y2＝a的图象有四个交点时，00且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
(2)若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为________．
思想方法指导 (1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围．
(2)“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域解决．
解析 (1)函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，即方程ax－x－a＝0有两个根，即函数y＝ax与函数y＝x＋a的图象有两个交点．
当01时，图象如图②所示，此时有两个交点．
∴实数a的取值范围为(1，＋∞)．
(2)由方程，解得a＝－，设t＝2x(t>0)，
则a＝－＝－(t＋－1)
＝2－[(t＋1)＋]，其中t＋1>1，
由基本不等式，得(t＋1)＋≥2，当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2.
答案 (1)(1，＋∞) (2)(－∞，2－2]
1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 B
解析 ∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，
∴f(1)·f(2)<0，
∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，
∴f(x)的零点所在的区间是(1,2)．
2．(2016·潍坊模拟)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A. B．－2
C．0或 D．0
答案 D
解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，
又因为x>1，所以此时方程无解．
综上，函数f(x)的零点只有0，故选D.
3．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则( )
A．a0且f(x)为R上的递增函数．
故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)．
∵g(2)＝0，∴g(x)的零点b＝2；
∵h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，
且h(x)为(0，＋∞)上的增函数，
∴h(x)的零点c∈，因此a0)的解的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 (数形结合法)
∵a>0，∴a2＋1>1.
而y＝|x2－2x|的图象如图，
∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．
5．已知函数f(x)＝则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是( )
A．(1,2)
B．(－∞，－2]
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
答案 D
解析 当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.
6．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝－a(x≠0)有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是________________．
答案 ∪[，)
解析 当00的解集是________________．
答案 {x|－0，
即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0，
解集为{x|－a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象(图略)可得a<0或φ(a)>h(a)，即a<0或a3>a2，解得a<0或a>1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．
9．(2016·天津)已知函数f(x)＝ (a>0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是____________．
答案
解析 因为函数f(x)在R上单调递减，
所以 解得≤a≤.
作出函数y＝|f(x)|，y＝2－的图象如图．
由图象可知，在[0，＋∞)上，|f(x)|＝2－有且仅有一个解；在(－∞，0)上，|f(x)|＝2－同样有且仅有一个解，所以3a<2，即a<.综上可得≤a<，
所以a的取值范围是.
*10.(2016·衡水期中)若a>1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则＋的最小值为________．
答案 1
解析 设F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m>0，n>0)．
因为F(x)与G(x)关于直线y＝x对称，
所以A，B两点关于直线y＝x对称．
又因为y＝x和h(x)＝4－x交点的横坐标为2，
所以m＋n＝4.
又m>0，n>0，
所以＋＝(＋)·
＝(2＋＋)≥(2＋2 )＝1.
当且仅当＝，即m＝n＝2时等号成立．
所以＋的最小值为1.
11．设函数f(x)＝(x>0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当00.
又∵a>0，f(x)＝a[(x－1)2－4]≥－4，
且f(1)＝－4a，
∴f(x)min＝－4a＝－4，a＝1.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.
(2)∵g(x)＝－4ln x
＝x－－4ln x－2 (x>0)，
∴g′(x)＝1＋－＝.
令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
当03，
又g(e5)＝e5－－20－2>25－1－22＝9>0.
故函数g(x)只有1个零点且零点x0∈(3，e5)．
